Главная » Просмотр файлов » 2_Основы_логики.

2_Основы_логики. (1019116), страница 2

Файл №1019116 2_Основы_логики. (Мацнев А.П. - Математическая логика и теория алгоритмов - 2004) 2 страница2_Основы_логики. (1019116) страница 22017-07-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1. Импликация с ложным антецедентом всегда истинна.

2. Импликация с истинным консеквентом всегда истинна.

3. Импликация ложна тогда и только тогда, когда ее антецендент истинный, а консеквент ложный.

Принятое определение импликации соответствует употреблению союза "если... то" в предложении "Если будет хорошая погода, то я приду к тебе в гости", которое вы расцените как ложь в том случае, когда пого­да хорошая, а приятель к вам не придет.

Вместе с тем определение импликации вынуждает считать истинным предложения как "Если 2х2=4, то Москва столица России"; "Если 2х2=5, то я самая красивая девушка России". Это связано с тем, что определениями логических операций смысл составляющих высказываний не учитывается, они рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством - быть истинными либо ложными.

Рис. 2.9 диаграма Венна (импликация)

Эквиваленция или равнозначность

Эквивалвниией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое символом А В (или ,), которое истинно тогда и только тогда, когда значения истинности высказываний А и В совпадают. (см. таблицу).

Логическая операция, называемая эквивалентностью, соответствует союзу "тогда и только тогда, когда" и читается "А эквивалентно В", "Для того, чтобы А необходимо и достаточно, чтобы В".

Когда мы говорим "А только тогда, когда В" то имеем в виду, что оба предложения А и В одновременно истинны, либо одновременно ложны. Например, говоря: "Я поеду в Ленинград тогда и только тогда, когда ты поедешь в Киев", мы утверждаем, что-либо произойдет и то и другое, либо ни того, ни другого. Можно доказать используя таблицу истинности, что для любых высказываний А и В высказывание (А  В) = 1 тогда и только тогда, когда (А  В) = 1 и (В  А) = 1.

Это утверждение используется при доказательстве теорем вида А  В. Одним из способов доказательства истинности высказывания А  В является доказательство истинности высказывания А  В (необходимость) и истинности высказывания В  А (достаточность).

Высказывания А и В называются равносильными., если (А В) = 1 говорят, что формулы F1 и F2 равносильны, если их эквиваленция F1 F2 - тавтология (тождественно истинное высказывание).

Рис. 2.10 Диаграмма Венна (эквиваленция)

Запись F1  F2 читается : "формула F1 равносильна формуле F2"

А  В  (А  В)  (В  А)

Равносильность есть отношение между формулами (также как равенст­во отношение между числами, параллельность - отношение между прямыми). Отношение равносильности обладает следующими свойствами:

а) рефлективности F  F

б) симметричности: если F1 F2 то F2 F1

в) транзитивности: если F1F2и F2 F3, то F1 F3

Таким образом, в математической логике для записи более сложных высказываний используются следующие логические операции над простыми высказываниями:

 НЕ

& И

 ИЛИ

 влечет

 совпадает.

Логическое выражение служит для задания вычислительного процесса нахождения логического значения, подобно тому, как в математике арифметическое выражение служит для задания правил вычисления некоторого числового значения. Напомним, что логическое выражение может иметь только одно из двух возможных значений true (1) или false (0).

Все рассмотренные логические операции иллюстрируются в сводной таблице ##, где булевские числа true и false заменены 1 и 0 соответственно.

Порядок старшинства логических операций следующий: , &, , , .

Для изменения порядка выполнения логических операций используются круглые скобки. В первую очередь выполняются операции в скобках, затем все остальные логические операции в порядке старшинства слева направо.

2.5 Вопросы для самопроверки.

1. В данных составных предложениях выделите составляющие их элементарные предложения и логические связки:

а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам;

б) треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы конгруэнтны.

2. Определите значение истинности высказываний A, B, C, D, если:

а) А  (2 * 2) = 4 – истинное высказывание;

б) В  (2 * 2) = 4 – ложно;

в) С  (2 * 2) = 5 – истинно;

г) В  (2 * 2) = 5 – ложно;

3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, коор­динаты которых обращают следующие высказывательные формы в истинные высказывания :

а) (х > 0)  (у > 0), б) (х > 0)  (у < 0), в) (х < 0)  (у < 0)

г) (х = 0)  (у = 0), д) (х = 0)  (у = 0), е) (х > 0)  (у > 0)

ж) (х > 0)  (у = 0), з) (х > 0) (у < 0).

4. Сформулируйте и запишите в вида конъюнкции или дизъюнкции условие истинности каждого предложения :

а) ab  0, б) ab = 0, в) а2 + b2 = 0, г) а / b = 0, д) | а | > 2, е) | а | < 2

5. Следующие предложения запишите без знака отрицания :

6. Определите значения истинности следующих высказываний :

а) если 12 делится на 6, то 12 делится на 3;

б) если 11 делится на 6, то 11 делится на 3;

в) если 15 делится на 6, то 15 делится на 3;

г) если 15 делится на 3. то 15 делится на 6;

д) если Париж расположен на Темзе, то белые медведи живут в Африке;

е) 12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3;

ж) 11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3;

з) 15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3.

7. Пусть через А обозначено высказывание "9 делится на З", а через В - высказывание "10 делится на З". Определите значения истин­ности следующих высказываний:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

8. Определите значение истинности высказываний A, B, C, D в предложениях, а, б, д, е из которых истинны, а в, г, ж, з – ложны:

а) Если 4 нечетное число, то А;

б) Если В, то 4 нечетное число;

в) Если 4 четное число, то С;

г) Если D, то 4 нечетное число;

д) А  (2 < 3);

е) В  (2 > 3);

ж) С  (2 < 3);

з) D  (2 > 3).

9. Придумайте по два примера : а) истинной импликации с истинным антецедентом; б) истинной импликации с ложным консеквентом; в) ложной импликации; г) истинной эквивалентности; д) ложной эквива­лентности.

10. Сформулируйте в виде импликации: "Диагонали ромба взаимно перпендикулярны", "Во всяком треугольнике сумма внутренних углов равна 180°".

11. Найдется ли такой день недели, когда: а) утверждение "Если сегодня понедельник, то завтра пятница" истинно; б) "Если сегодня понедельник, то завтра вторник" ложно.

12. Известно, что если число делится на 6, оно делится на 3 и 2. Сформулируйте это в виде импликации.

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
360,5 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее