Математическая логика. Шапорев С.Д (1019113), страница 26
Текст из файла (страница 26)
детси иа (а,Ь) текин точка с, что у(Ь) — у(а)=1 (с)(Ь вЂ” и) Пусть предикет Р(а,Ь,х) выражает свойство функции у = Т(х) быть непрерывной на [а,Ь] и дифференцируемой на (а,б), а ! Г(а,Ь,с)= ='ъг(Ь) — У(а)=У (с)(Ь вЂ” а)у Тогда сама теорема Лагранжа может быть сформулирована так: Чсц (а,б](Р(а,Ь, х) — ъ й(а,Ь,с)). В свою очередь, предикат Р(а,Ь,х) может быть расшифрован более полробно: С! Т(х) непРсРывна в точке хе, т.е. !ип У(х) = у(тс) или угв>Опб>О!ухи еМ(0<]х — х ]<бе]у(х)-у(х„)]<с), где М вЂ” область определения У(х); О Т(х) непрерывна на [а, Ь] нли туп[аЬ](тс>03б>ОухпМ(0<]х — у[<б-ъ]у(х) — у(у)]<с)).
Аналогично с помощью языка е-б мажет быть вырюкепо свойство дифференцированности на (а,Ь). Напомним, что если существует производная у(х) — у(х,) Т(х) в точке х, то !пп = Г (х ). Излишняя детализация усх — х а повий часто не нужна, т. е.
моягно ограничиться формулой 3 с н (и, ЬУ Р е ! Г) . Гла 3. д гика 7 редикаюв 777 Форма теоремы мозкет быть иной Рассмотрим слслуюшу7о теорему из ли- нейной алгебры Лгобые четыре вектора в 77 линейно звиисвмы. Эта 7сареь7а молгст бь7ть сформуянролена в вндс зух и 77 Р(.т), где Р(л) —. доказываемое свойство (предики, выража7ощий мо свойство).
Дсузствите юно, нусгь «,Ь,с н 77— векторы из ((, а а,((,т и б — ненулсвь7с лейся витальные числа Тогда Ууаб ЯкйЬн тгззусн ут*зйп б'Вап 77((0)ЭОп 77((0)Эун 7('7(0)Эбн 77( ( (0)(па ь ((Ь ь ус ь бт( = 0). Построение противоположных утверждений и доказательство методом от противного Эю задача, легка сволящаяся к формщзы7ым преобразованиям Есяи есть утверждение А, то построить Л ножно с помощью равносильнык преобразований. Иногла это, правла, приводит к тому, что А даст негативное (неконсзруктив77«ез определение.
Чаще и здесь получаются полояозгельные (конструктивнь сз оцределени». Например, возьмем опрслеление бесконечно ищюй и найдем его а 7 рицы ис 777.7 йк+ Ж 1Ь-и( У7*7 Ч7г» (7 ~(~» — «7 <Б777Р х~» е) мйе>0770(с)>ОЭхп М(0<(л — «~<б«77п(х) >в). Это негативное определение. Оно подойдет для формирования конгрпрнмера лля того, чтобы показать, что п(х) -- не бесконечно малая величина в то~ке « Позитивное опрслеление бесконечно большой такое: (цпа(.с)= , т с.
згс > 0 Лб > 0 зух н М (О < )т — «~ < б -7 (7х(х) > е). Особый интерес представляет построение утвер>кления, отрицаювзего справедливость некоторой теоремы: зух и М(Р(х) — ь Д(х)) 7гхб М(Р(х~~йГх))«Эхп М(Р(х)лд(т)). Следовззтсль77«, ггабы доказать, что теорема тгх и м(Р(х) — з 7х(х)) неверна, достаточно указать такой элемент х и М, для которого Р( т) истинна, а ( 7(х) ложно, т с.
привести контрпримср. продемонстрируем зю на следующем примере. Рассмозрим утверждение "если фуняцна непрерывна в ~очке х„, то она и лифференци- Чвпь 1 Ыагеьмгичссяая логик» Пг руема в этой точке". Конечно,зто не так. Из курса математического анализа известно, что дифференцируемость более строгое требование. Из днфференцируемости следует непрерывность, из непрерывности дифференцируемость не следует. Сформулируем основное утверждение.
Пусть М вЂ” множество всех функций, определенных в точке хе, Рг,г)— предикат, выражающий свойство функции быть непрерывной, а Д1г)— свойств» быть дифференцируемой в точке хс . Тогда основная теорема имеет стандартный вид угУ ц м гР~т'у) — г йф). противаполоигное утверждение имеет вид 3 Рц м~РЯА ыту )), т.
е. найдется функпия, определенная в точке хс, которая нелрермвна но не имеет производной в хе. Рис. 3.10 Тшнх функций ьгнажестао, зю вге функции, содержащие точку икшома или точку позврата. Простейшая из них у = ~я( (рис. 3.10). В точке х = 0 она непрерывна, но не дифференцируеьга. Следовательно, основная теорема неверна.
Аналогично обстоит дело и с формой тухРт т) . Рассмотрим уже разобранный пример из линейной алгебры и найдем к нему противоположное высказывание. Ыа ц и"ттЬц К'Ус и й'тЯ ц кэлпц й1 (0)й0ц 1г 'г 10)йуц ЯУ (0)0бц кг Чу И+ + =~~як 'д чь ' ' сне+ Ыг св - ВУ г 53=Ц ~и мьд и к'пуд к' упб ку)о)угбц ду)0)Чуб и)0) убб ку)о) 'уз о + Оь ь ус + ба' а 0). Глмял 3. Логика и адякагсв Г 73 Схема доказательства от противного очень похожа на только что рассмотренный случай и такола прелполвгаегс», что теореь«а тхе М(Р(«) — «СЭ(х)) не* * т«РЕУ с(Ъг махе м(Р(з) г йТх)) Бели из последней формулы путем логических рассуждений прикодят к неверному утверждени«о. то леластся лыаод о том, что исходная теорема а рпа.
По этой схеме противопола кное высказыгшнис палс овести к ложному, т. е доказать истинность формулы С тпьтл сЖ ° . ° ° — »-,--* - - и е ййРйП У гТбьт т' ьнтлйбУ о*Э (г. 'ь ° «Ухе М(Р(х) — «««(х)). Формулировка обратных и противоположных теорем Рассмотрим четыре схемы теорем: П УУхЕ М(Р(х) — «0(х)); 2. «Ухн М(Д(х) — «Р(х)); З.
Чхе М~Р7х')-~Ж4; 4. Мхе М(Ях) — «РТт)). Две теоремы, у которых условие одной является заключением другой, а условия второй заключением первой, называннск езшивю оброшлылю, т. е тх Е М(Р(х) — «г"«(х)) и «ухе М(й(х) — «Р(х)) взаимно обратны н «Ухе М(РТт) — «ы(х)) и «Ухе М(ы(х) — «РГг)) также взаимно обратны Перва» теорема обычно называется врямой теорязюй, а вторая — оораялюй Две теоремы, у которых условие н заключение одной являются отрииаиисм условия и заключения другой, называются сэа«шно про «ггкгопг«ло. пп ь«г«г.
В нашей схеме «ухе М(Р(х)-он«(х)) и «ухе М(Р(х)-эцТх)) — взаимна противоположны и згхе М(й(х) — + Р(х)) и Хгх е М(ы(х) — «РТх)) также взаимно противоположны Праман и обратная теоремы в обпгеь«случае не равносильны, т. е, олив из пик может быль истинной, а другая ло«ю«ои Но теоремь«1 и 4 и 2 и 3 всегда равносильны, и это легко доказывается: «ухе м(Р(х) — +«х(т))— = тхе м(ггх)«гб«(х))и «ухе м(РГх) «й(х))= — «Ухе М)УЗТх) " .РТт)~— = «Ухе М(Д(х) «Р(х)) —.= «Ухе М(««(х) — «!7х)) гтв Часп !. Ыагемапгчг квялопмв Анаяогично зух и М(й(х) — э Р(х))и эух и М (Р(х) -ч (с(х)).
Пример 1. Возьмем простую теорему из теории днфференциыьнык ! уравнений. Пусть у +а,у +иву=Π— линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, а у,(х) и у, (х) — два частных решения этого уравнения из множества М всех частнь!х решений. Р(уп уз) — предикат, выражающий тот факт, что У,(х) н Уз(х) Явлаютсв частными РешениЯми УРавнениЯ у!+а у ч-и,у =О, а й(Е)= у (х)+ у,(х) — также частное решение этого уравнения Если у,(х) и у,(х) — два любых частнмх решения уравнения у +ау с~у=О, то у(х)+у,(х) есть глюке решение этого уравнения.
Итак, основная теорема эуу!Тгуз и М(Р(у,,уэ)-+ Д(Е)) верна. Тогда сбРвтнаа теоРема эУУ!!ггУз и М(й(Е) -г Р(У! У )) невеРна. Дейшвительно, она звучит следующим образом: "если у(х)+у (х) решенно удлинение У + а У + аэу = О, то У (х) и Уз(х) тоже Реп!вина этого уравнения". пропаюполшкная теорема му, эУуэ н м (Р (уп у ) — э д(е)) также неверна, ибо утвержяаег, что "если у (х) и у, (х) не являююл частными Решениами УРавнениЯ Уа+а,у ьпзУ=О, то У,(х)-!-Уз(х) также не частное решение этого уравнения".
Наконец, теорема, противоположны обРатной эУУ!зУУз И М(ЯГЕЛА -+ Р~Уп Уз )), веРна: "если у,(х)+ уэ(х) не является частным решением уравнения у +гг!у +!эту=ф то у!(х) и уг(х) — также не частные решения данного дифференциального уравненюу'. Проверим все сделанные утверждения на прссшйшсм примере. у чу' — 2У=0,1 т/с — 2=0,1!=1,уз= — 2,у,=е",уз=с Истинность основной теоремы проверяетс» подстановкой -т ! ! -э г я -э у,+у,=е" +е ', у, +уз =с" — 2е ', у, +уэ =е" +4е у +у -2у=е'+4е '+с" — 2е "-2е" — 2е '=О, г ! -э -з -з Проверим истинность обратной теоремы. Пусть У!+Уз =У!+Уз =, -г, -з* -з, + ' М' е" ье е +е * е +е * е +е Глав 3 Логика п едикаюе гтз с'+2е" счы -г «'+е е'ч-с -л тогда, например, уз +уз — 2уз еб, т.е. обратная теорема неверна.
Точно з.аяксе проверяется истинность всея остальных ранее высказанньж гзредзоженид. Форддулировка необходимых и достаточных условий Некоторые теоремы математики, в частности теоремы сушсствавания, арормулированы в виде ".. лл» гого побы, гмобходимо и досгаъзчно, что ..", или " . зогла и только тогда, котла., ". Эга конструкпня приводит к эквиваленпни, г е, имеет вид зУх и м(Р(х) +-з й(х)) . если вернуться к уже рассмотреннои форме зух и м( РЫ вЂ” з 13( х)), то можно вспомнить, что в импликапин предикат 12(х) логически следует из преднказа РЫ , поэтому Р(х) называют досеюяюгюыи углоешлг лля Ц(з), а О(х) называюг ягоо Д В ходимыж гглоангн лля РЫ зУгб М Р(х) з 'мз(з)) . Если теорема имеет форму Мх н М(Р(х) ч-з 12(л)), Мхи М(Р(т) ч-з (У(х)) и Чх и М((Р(х)-ь Д(х))л (Д(х) — ь Р(х))) и и Мхи М(Р(х) — г зг(х))л тхи М(1д(х) -з Р(х))Таким образом, Р(х) явпяетс» необходимь|м н достаточным условием лля 1х(х), а й(з) нсобзолимо н достаточно для РЫ .
Пример 2. В следующих прсдлал'синяк поставить аюва "иеобьоднмо, на недостаточно", "достаточно, но не необходимо", "нс нсобхолимо и недос|аточно" или "необходимо и достаточно". Для того чтобы х — 5хч-6= 0..., побы х= 3. Пусть РЫ = (х — 5х 1- б = О), ()(х) = (.т = 3) . Корни уравнения .т — 5х+6=0 равны л, = 2, хз = 3 Расслготрим 1гх и (23 ( РЫ -ь Д(х) ) . 11рн з = 2, Р(2) = 1, Д(2) = О, 1 — ь О = О . т.с. Р1т) й1х). Слеловательно, лл» Р(х) О(х) не является необходимым. Теперь рассмотрим противополажну о ампяикапию Чаюь 1 Д)вгемвгвчесщя линка Ф ц (с3)(()(к)-ЬР(к)~ .Здесь пРи х=2, Р(2)=1, О)(2)мб, Π— з)м) и крн х= 3, Р(3) =1, й(3) =1, ! -о 1=1, втори импликация верна.
Значит, для Р(.х) 1')(к) является достаточным условием. Итак, перво- начальное предложение должно быть сформулировано следующим об- разом: "Дяя того, чтобы к — бх+б= О достаточно, на не необходимо, чтобы х= 3". Пример 3. Дла того чтобы функция Г(х) была иитегрирусма на от- резке (а,Ь1,, чтобы Г(к) была ограничена. Пусть Р(к) — преликат, выражающий свойство функции )" (х) быть интегрируемой на (а,Ь1, а предпкат (х(х) выражает свойство ограни- ченности этой функции на отрезке (и,Ь). Из курса математического анщсиза известна, что если функция интегрируеыа по Рнману на!а,Ь1, то она и ограничена; сели же функция ограничена, то из этого не сле- дует ее иитегрируемость по Риману.
Как пример можно привести 1, т — рациональное, функцию Дирихге Д(к)= таким образом, (О, д — иррациональное. сукн (п,Ь1 РО) — с Дх)) и ук(п,Ь) й(к)«р~х)~, т. е. для Р(к) й(к) является необходимым, но не достаточным условием. Итак, лля того чтобы функция Т (х) была нптегрируема на отрезке (а, Ь1, необхо- димо, но не достаточно, чтобы У(х) была ограничена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
