Математическая логика. Шапорев С.Д (1019113), страница 27
Текст из файла (страница 27)
3.9. Практическое занятие 1(ОО Э. Применение языка логики предикатов в математике 3.9.1. Записать на языке логики прсдикатов следующие определения; 1, Двух равных вещественных чисел (Два вещественных числа х п у называются равными х = у, если ие выполнено ии одно из соотношений х> у или у>х). 2 Огранссченного сверху (снизу) ~полового мио:ксства г( (Мссожесббо г(с)2 нюывается огрел чгссссым сверку (сказу), если существует Глава а Логика лредиквгов такое вегцестзеннсе число х, что для всех чисел ай А выполнено условие а < х„, (а >л,„)1. 3. Линейно независимьж векторов х,,хы,х, !Векторы хохз,,х, называются лнг ей о завпсг чыыи, если существукп такис вещественные числа п,,а„...,а„не все равные нулю.
что п,х, ч-зхх, ч-...ч-а,,, =О. В противном случае векторы х,,х,,...,х, называются линейно независимыми). 4. Определение двух перпендикулярных векторов из И !Два вектора и и Ь из И перпендикучяриы, сели их скалярное произвсленне равна нулю). 5. Предела числовой последовательности (х„).
(Последовательность (х„) называется схадлггзетгсл к числу х, соли существует такое пгсло з, что для любого с > О найдется такой номер М = М(в), что прн всех п>М имеет место неравенство !х„— х!<с. х называется пределом последовательности (х„).! б. Строго монотонной последовательностн. !Последовательность (х„) называется еогрогтаюнзей Обилию»!ей!, если прн п=!,2,... х„о >х„(х„н <з„). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.) 7. Фундаментальной последовательности (з„). (Последовательность (х„) называется фз Фа е»глояыгой, если для любого е > О найдется такой номер М = М(с), что при всех и,! > М(в) выполняется неравенство !х, — хг! < е.) 8.
Периодической функции. !Функция /(з) называется ггерггодгггесьо», если существует такое число Т и О, что при любом з из области опрелеления функции числа х — Т и хе 7' также принадлежат этой области и выполняется условие / (х Ф Т) = г (х) 1 9. 85оьготонгго возрастающей функции. !Функцив у (х) называется монотонно вгжрастагощей, если из неравенства х, <хз,л',,хан М следует, по Т(х,) < Г(хз) ) Чяшь 1 Матеша яшее хая логике 1О. Предела функции 5 (х) при х — 1 Р . !Число А наэываетс» иределом фуггкщш у (х) лрн х — 1 ь, если для лиубого е > 0 найдется АУ(а)> О, что при всех хн М, удовлегворяющик условию х > М, выполняется неравенство !5 (х) — уц с с.) 3.9.2. Сформулировать на языке логики предикатов следующие теоремы из математического анализа: 1. Пргонак Лейбница.
!Пусть х„ > х„н ВО и !ппх„ = О. Тогда энако- чередующийся ряд ~ ( — 1) х„сходится.) 2. Теорему Вейерштрасса !Нецрсрывная на отрезке [а,Ь] функция 5"(х) ограничена на этом отрезке.). 3. Теорему Рояля . (Пусть функция 5(х) непрерывна на отрезке !а,Ь], дифференнируема на интервале (а,Ь) н у (а)ш 3(Ь), тогда найдется хотя бы одна точка об (а Ь) такы, что 5" (с) = О ) 4. Теорему о среднем для определенного интеграла.
!Пусть функция 5 (х) непрерывна на отрезке [а,Ь]. Тогда существует такая точка сц [а,Ь], что ] 1"(х))х = 5 (с)(Ь вЂ” а).) 5. Критерий Коши' для последовательностей.(Для того чтобы последовательность (х„ ) была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.) 3.9.3. Доказать несправедливость утверждений: 1. Если функция 2'(х) интегрируема на отрезке [а,Ь], то она монотонна на этом отрезке. 2. Если дифференцируемы функция 5 (х) имеет в точке х„вторую производную, равную нулю 11 (хе)шО), таточка х — точка экс- 1 ег тремума функции. К Сэ Н все~шве с !1515-1а571 — шкна Мвш я Р и 1Ы52-1715) — фрв у Я мьммшвв.
Ь у Лу Ксшк0155-1В52) 9. ЬШ ву «И Глава Э. Логика еднкаюв ! Гв 3 Если функция 1 (х) ограничена на отрезке [а,Ь), то аиа интсгрируема(пориману1 на этом отрезке. 4. Если функция Г(х) диффереицируема е точке х, то сна имеет в этой точке локазьззый экстремум. 5. если функция Г[х) средственна рядом тейлора ца отрезке [гнут], то этот ряд сходится к Г[х) во всех точках этого отрезка. б Если формула логики предикатов выполнима, то сна общезначима. Используя приведенную гкновную теорему, сформулировать к ней обратную, противонолаэкпую и обратную к противоположной теореые, и проиерить их истинность, приведя необходимые примеры.
1. Если в четырехугольнике диагонзли взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник — ромб. 2. Пусть функция Г [х) непрерывна на отрезке [а, 1з) и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда между точками и и Ь найдется па крайней мере одна точка сн [а,Ь), е которой функция обращается в нуль: Г[с) = 0 3.9.4 3. Если функция у [х) дифференцирусма в некоторой точке х, то она в этой точке непрерывна. 4. Если дифференцируемая функция у'[х) имеет е точке хя максимум или минимум, то ее произиодная обращается в нуль в этой точке. 5. Если числовой ряд ~зг„ сходится, то его и -й член стремится к ну- но", "необходимо и недостаточно".
"достазочно, но не необхалимо" или "не необходимо и недостаточно", сформулировав необхолнмыс и достаточные услони». 1 Для того чтобы два треугольника была равны,..., чтобы все углы одного треугояьник» были равны соответствующим у~лам другого. Б яы елг 1звзб — 1вьб1 — с юяв и юяк люпри и — ьч 3.9.5. Доно знить сзедующис прсллоягсния словами "необходимо и достаточ- Чашь Г. Маг магич сяаялопгяа 2. Дая того чтобы все стороны многоугольника были равны,..., чтобы этот многоугольник был правильным. 3. Для того чтобы два вектора в 22 были линейно зависимы,..., чтобы г они были ксллинеариы. 4. Для того чтобы функция у=С,у, -ьСзуз+...+С„у„, где С„Сз, „ф— произвольные постоянные, была обжим решением дифференциального уравнения у~ ~+а,у~ б+...+а„уь =О,..., чтобы функции у„у„..., у„были линейно независимыми решениями этого уравнения.
5. Для того чтобы функции Е;(х) и Ьз(х) были двумя первообразнымн от функции г'(х) на отрезке (а,Ь),..., чтобы разность между ними была равна лассаль~ному числу. Глава 4 Исчисление предикатов 4.1. Синтаксис языка исчисления предикатоа Исчисление высказываний — очень узкая логическая система. Есть такие типы ло|ических рассуждений, которые не могут быть осуществлены в рампах исчислешив высказываний, например, "простое число два — четное. следовательно, существувт простые четные числа".
Корректность этого умозаключения основана на внутренней структуре самого прсдлолгения и на смысле слова "существует". Поэтому возникает потребность расширения исчисления путем введения в него даполнительньж понятий и символов. Дополнительными понятиями явяв~ется преликаты, а символами — символы кванторов.
Для того птзбы формально описать язык исчисления предикатов как язык формальной теории, необходима задать множество его символов и правила построения формул языка, т. е, синтаксис. В алфавит исчисления предикатов входят: О строчные латинские оуквы с индексами и без нах а,Ь,е,, лбу,х, Л„...к — предметные переменные; О прописные латинские буквы с индексами внизу н без иих А, В„ ,,~, ~...
персмснныс высказывания; О прописные латинские буквы с индексами вверху Рт,сг,...,Яг, гг и этн же символы с индексами внизу Д,)тзг.,бг,бг",...Дг, Взг — переменные предикатыот р переменных, О символы лог ичсеких оп с рачий л ч, - э, О скобки и запятые б ),,; О символы кванторов зэ. В. гад Ч ге э. Маг млп мс»аялогнк Так же как в исчислении высказываний, а не»велении предикатов определ»- ется формула и подформула Формулой считаются следующие вюледовательнасти символов аяфаипа: О каждое переменное высказывание; О Г" (а„аэ,,..,а„) — формула, если Р" — символ переменною прелиюта, а а„пэ,,,.аг — символы предметных переменных; О если А --.
формула, содержаща» переменную .т, то слова ЧхА и ЗхА также формулы, причем переменная х в зухА и ЛхА нвзылается связанной; О если А и В формулы,то АпВ,А гВ,А — э В,А тожеформулы. Примеры формул; й Эхтт (х)-+ 'еуС (у, э). Это формула, т. к, Сз (у,я) — предметный предикат, содеркгащий две свободные перемениыс, т е элементарна» формула, ТэуС (у, ) — также формула, содержащая свободную переменную ' тг, и переменную у, связанную квантором всеобщности. В формулал Г'(х) и С'(у,г) нет переменных, связанных в одной формуле и свободных в другой.
2. Вхсг(х)лЛуС(х у) — не формуле т к в Г(х) переменная х связана, а С (х,!г) свободна. Под формулой элементарной формулы А является, ва-первых, она сама. Вели ЧхА или ЛхА — бюрчулы, то А — подформула, и всяка» ее часть — подфармуяа Вели А* В формула, где в= (ьзг,-э, ~ то ее подформулами являютса А н В и все ихподформулы. Вводитса понятие области действия квантора. Пусть формула имеет вил ЗУхА или ЛхА. Тогда областью действия квантора ТГх тсоответстеенно Лх'г нюывается формула А . Прн этом необходимо, чтобы выполнялись следующие услови»: П В формуле свободные в связанные переменные обозиачаются разными буквами. 2. Если какой-либо квантор находите» н области действия другого кванторл, то переменные, связанные этими кааиторами, обозначаются йаэными буквами. Рлавя 4.
Ие нсленне о диквюа Нарушение этих двух условий в исчислении прсдикатов называется коллизией нсрсигнсы . Например, выражение»ух(у(х) — » Лх0(х,у)) нс является формулой, т. к. не удовлетворяет второму условию. Теоусни 4.1 Если в формуле А изменить обозннчепип кяк «вободвы», так и «вязанных переменных, меняв букву на другую всюду, где она ихо!ппз так, чтобы при этом удовлетворнлнсь первое н второе условия, то полученное таким образом новее выражение будет формулой.
4.2. Аксиомы и основные правила вывода Акс»гома» входят в конечное число некоторых заданных формул, которые за- ранее считаются выводимыми. Аксиомы делатся иа пять групп, причем пер- вые четыре группы представляют собой не что иное, «ак аксиомы исчисления высказываний. 1. А — «(В-»А); 2 (А — + ( — » С)) — » ((А — » В) — »(А — »С)); К 3. Ал — »А; 4. Ал — » В, Е (Л-» В) — » ((А — » С)-» (Л-оВлС)); Ш. б А»АоВ; 7. В -+ А о В: 8. (А -» С) — » ((В -+ С) — А,А ч  — + С)); р. (А -» В) — » (В -» А); У1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
