Главная » Просмотр файлов » Игошин Математическая логика и теория алгоритмов

Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110), страница 26

Файл №1019110 Игошин Математическая логика и теория алгоритмов (Игошин Математическая логика и теория алгоритмов) 26 страницаИгошин Математическая логика и теория алгоритмов (1019110) страница 262017-07-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Следовательно, эти функции равны и доказываемая формула справедлива. Совершенно аналогично доказывается в т о р а я формула. С) Заметим, что подобным образом могут быть записаны формулы разложения булевой функции по любой ее переменной. Запишите, например, такие разложения по последней переменной. 103 Теорема 10.5 (о представлении булевых функций через коньюнкцию, дизъюнкцию и отрицание). Всякая булева функция Яхь хъ „,, х„) может быть представлена в виде суперпозиции коньюнкции, дизьюнкции и отрицания; причем знак отрицания стоит только непосредственно около переменной и не стоит ни перед одной из внутренних скобок.

Доказательство будем вести методом математической индукции по числу и аргументов функции у". В предыдущем параграфе перечислены все булевы функции от одного аргумента. Их всего четыре. Напомним их (используя равенства теоремы 9.3, и): Ях) = 0 = х х', ~~(х) = х, Л(х) = х', ~(х) = 1 = х ~~ х'.

Отсюда видно„что все функции от одного аргумента выражаются через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание; причем знак отрицания стоит только непосредственно около переменных. Это означает, что утверждение теоремы справедливо при и = 1. Предположим, что теорема верна для всех функций от к аргументов. Докажем ее для функций от к+ 1 аргумента.

Пусть|(хь ..., хы хь,,) — произвольная булева функция от /с+ 1 аргумента. На основании предыдущей леммы запишем разложение данной функции по последней переменной: з(хь ..., х„, хь,,) = (хь,| з(хь ..., х, 1)) ч (х'„.)"(хв ..., х, О)). Как отмечалось в начале настоящего параграфа, фиксирование в булевой функции одного аргумента приводит к булевой функции с числом аргументов на единицу меньшим, нежели число аргументов исходной функции. Так что каждая из функций ~(хь ..., хы 1) и Яхь ..., хм О) есть булева функция от к аргументов. Но согласно предположению индукции, все такие функции выражаются через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, причем знак отрицания стоит только непосредственно около переменных и не стоит ни перед одной из внутренних скобок.

Принимая это во внимание, видим, что правая часть последнего равенства представляет собой суперпозицию лишь трех функций — конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Причем отрицание стоит около переменной х„,, Это и доказывает окончательно теорему. П Булевы функции и формулы алгебры высказываний.

Установим сначала соответствие между формулами алгебры высказываний и булевыми функциями. Это делается следующим образом. Во-первых, определяется взаимно-однозначное соответствие между пропозициональными переменными и булевыми переменными, при котором прописная буква, обозначающая пропозициональную переменную, соответствует той же самой строчной букве, обозначающей булеву переменную: Р, О, Л, Х У, 2, Хь Хъ ." )'о ~'з ,о, а, г, х, у, 7, хо х,, ..., уь уъ 104 Во-вторых, устанавливается соответствие между знаками логических связок и одноименных булевых функций: Наконец скобкам ставятся в соответствие те же скобки. Тогда каждой формуле алгебры высказываний соответствует единственная булева функция, а каждой булевой функции соответствует формула алгебры высказываний.

Чтобы найти для данной формулы алгебры высказываний соответствующую ей булеву функцию, достаточно каждую прописную букву формулы заменить на такую же строчную букву, а каждый символ логической операции — на символ одноименной булевой функции. Например„формуле (Р ~-э Д) -+ ((-,Х, ~ Х,) л У) соответствует булева функция (р +.э д') — > ((х,' ~ хг) г'). Если булева функция задана с помощью формулы, то для того чтобы найти соответствующую этой функции формулу алгебры высказываний, нужно в выражении для булевой функции заменить строчные буквы такими же прописными буквами, а каждый символ булевой функции ',, ~~, — ~, <-+ заменить соответственно символом одноименной логической операции, л, ~, ->, ~-э. Здесь возникает неоднозначность такого обратного соответствия, поскольку булева функция может иметь множество различных формульных выражений.

Например, функция, рассмотренная в предыдущем абзаце, имеет также следующие формульные выражения: (Р е-> Д') -Ф (х,' . 2' ъ хз . з'); ((Р— ~ м7) ' (Д + Р)) + ((х~ '4 хз) 7) ((р' ч д') (р ч д)) -+ (х,' г' г х, г') и т.д. Этим выражениям сопоставляются соответственно следующие формулы алгебры высказываний: (Р~-> -О) — ~ (( Х1 л У) и (Хг л У)); ((Р— > О) л (- Д вЂ” > Р)) -> (( Л; ч Хт) л - У); И-Р -О) (Р В)- И Х,. К) (Х, ' г))и..д.

Следовательно, все перечисленные формулы соответствуют одной и той же булевой функции. Возникает вопрос, всякой ли булевой функции соответствует некоторая формула алгебры высказываний. другими словами, всякая ли булева функция может быть выражена (представлена) некоторой формулой алгебры высказываний. Если булева функция задана с помощью формулы, то соответствующая этой функции Формула алгебры высказываний отыскивается так, как описано в предылущем абзаце. Если же булева функция задана не в виде Формулы, то, в силу теоремы 10.5, формульное выражение для нее тем не менее существует, и, следовательно, представляющая !05 ее формула алгебры высказываний может быть найдена по правилу, описанному выше. Итак, отметим еше раз„что каждой формуле алгебры высказываний соответствует единственная определяемая этой формулой булева функция, что будет для нас важным в дальнейшем.

Нормальные формы булевых функций. На основе теоремы 10.5 всякая булева функция может быть представлена некоторой формулой алгебры высказываний. Нетрудно понять, что всякая формула алгебры высказываний, равносильная формуле, представляющей некоторую булеву функцию ~; будет представлять функцию, равную ~ В частности, одной из таких представляющих формул будет совершенная дизъюнктивная нормальная форма (если данная булева функция не равна тождественно О, т.е. представляющая формула не тождественно ложна) или совершенная конъюнктивная нормальная форма (если данная булева функция не равна тождественно 1, т.

е. представляющая формула не является тавтологией). Отыскав совершенную нормальную форму для формулы алгебры высказываний, представляющей данную булеву функцию (применяя правила, полученные в теоремах 5.2 и 5.4), можно перейти от этой формы к формульному выражению для данной булевой функции. Его будем называть совершенной (дизьюнктивной или коньюнктивной) нормальной формой данной булевой функции, сокращенно СДН-формой или соответственно СКН-формой. Каждая из них для данной булевой функции, если она существует, единственна.

Приобретя опыт работы с булевыми функциями, можно отыскивать их нормальные формы, не переходя к символике алгебры высказываний. При этом, если функция задана каким-то формульным выражением, то для его тождественного преобразования следует пользоваться свойствами булевых функций, установленными в теоремах 9.3 — 9.5, а если функция задана своими значениями на всех наборах значений аргументов (т.е.

если она задана таблично), то следует применять правила, полученные в теоремах 5.2 и 5.4, переведя их предварительно на язык булевых функций. й 11. Системы булевых функций В теореме 10.5 доказано, что всякая булева функция может быть представлена в виде суперпозиции трех булевых функций: дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. В настоящем параграфе тема представления булевых функций в виде суперпозиций функций из некоторой системы развивается и доводится до определенного конца: приводятся необходимые и достаточные условия (теорема 11.4 Поста), которым должна удовлетворять система булевых функций для того, чтобы всякая булева функция могла быть представлена в виде суперпозиции функций из этой системы. 106 Полные системы булевых функций.

Напомним, что понятие суперпозиции булевых функций обсу»клалось в 5 10 (определение 10.2). Определение 11.1. Система булевых функций называется нолной, если всякая булева функция является суперпозицией функций из этой системы, Теорема 11.2. Следующие системы булевых функций являются полными: 1)( ~», ., '); 2)(+,, '); 3)(н, '); 4)(, '); 5)(-», '); 6)( ! ); 7)М Доказательство. Полнота первой системы доказана втеореме 10.5.

Эго можно использовать лля доказательства полноты остальных систем, приведенных в теореме. В силу полноты системы ( ~~,, ') каждая булева функция является суперпозицией дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Если мы сможем выразить дизъюнкцию через функции +, и ', то тем самым докажем, что всякую функцию можно выразить через эти функции, т.е. докажем полноту системы функций (+,, ').

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,65 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6499
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее