В.И. Игошин - Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов - 2007 (1019105), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тогда тождественно истин- ным будет и предикат ((х > 1) ~ (х < 2)) +» (х = х), а значит, данное высказывание (чх)[((х > 1) ~ (х < 2)) ++ (х = х)1 по опре- делению операции взятия квантора общности истинно. 9.4. Из следующих предикатов с помощью кванторов построй- те всевозможные высказывания и определите, какие из них ис- тинны, а какие ложны (х в 11): а) хз+ 2х 1 = (х 1)~; б) (х — 3) (х+ 3) < х', в) е1'> < 1п ~ х ~ (х , -О); г) ф + 1 = О) -+ ((х = 1) ч (х = 2)); д) (х < О) ч (х = О) ч (х > О); е) ~х — у~ >1х! — ~у1; ж) зш х = зш у; з) х'=у' — » х=у; и) (х+у)' =х'+ 2ху+у', к) ~х — у)< 3; л) х1=25; м) хз + у' = 16.
Решен и е. л) Из этого одноместного предиката с помощью кванторов можно построить два высказывания: «(чх)(х' = 25)» и «(Зх)(х' = 25)». Первое высказывание читается так: «Квадратлюбо- го действительного числа равен 25». Оно ложно и с точки зрения здравого смысла, и согласно определению операции взятия кван- тора общности: предикат «х' = 25» не является тождественно ис- тинным, и потому высказывание «(»'х)(х' = 25)» ложно. Второе 1бб высказывание читается так: «Существует действительное число, квадрат которого равен 25». Это высказывание истинно, так как предикат «х' = 25» не является тождественно ложным. м) Предварительно полезно ознакомиться с решением задачи 9.3, а. Из данного двухместного предиката «х' + у' = 16» можно построить четыре высказывания с помощью комбинаций двух кванторов («х)(Фу)(х + у' = 16), (Зх)('»у)(х2+ у1 = 16), (ту)(Лх)(х2+ + у2 = 16), (Зу)(Зх)(хз + у2 = 16).
Чтение этих высказываний на русском языке предоставляется читателю. Займемся исследованием вопроса об их истинности. Посмотрим на первые два высказывания. Они получены из одноместного предиката «(ту)(х'+ у' = 16)» с помощью кванторов общности и существования. Этот предикат превращается в ложное высказывание при подстановке вместо него предметной переменной х любого действительного числа.
Другими словами, этот предикат тождественно ложен. Следовательно, применение к этому предикату как квантора общности, так и квантора существования приводит к ложным высказываниям. Итак, оба первых высказывания ложны. Обратимся теперь к двум последним высказываниям. Они получены из одноместного предиката «(Зх)(х'+ у' = 16)» с помощью кванторов общности и существования. Этот предикат не является тождественно истинным (так как, например, при у = 5 получаем ложное высказывание «(Зх)(х'+ 25 = 16)»).
Поэтому применение к нему квантора общности приводит к ложному высказыванию. Таково третье высказывание. Этот же предикат «(Зх)(х'+ у' = 16)» не является и тождественно ложным (так как, например, при у = О он превращается в истинное высказывание «(ЗхКх2 + О = 16)»). Поэтому применение к нему квантора существования приводит к истинному высказыванию. Таково последнее высказывание. Итак, из четырех высказываний последнее истинно, а остальные ложны. 9.5. Пусть переменная х пробегает конечное множество М= (аь а„..., а„).
Каким высказываниям без кванторов будут эквивалентны в этом случае высказывания (тхКР(х)) и (Лх)(Р(х))? Множество исгиииости иредиката. Множеством истинности предиката Р(х„х,, ..., х„), заданного над множествами Мп М„ ..., М„, называют совокупность всех упорядоченных и-систем (а„ а„..., а,) е М, х М, х ... х М„, таких, что данный предикат обращается в истинное высказывание Р(а„а„..., а„) при подстановке х, = аь х,= а„..., х„=а„. Обозначение: Р = К аь а,, ..., а„): Х(Р(аь аь ..., а„)) = 1). Предикат Р(х„хь ..., х„) называют тождественно истинным (тождественно ложным), если при любой подстановке вместо переменных хь хм ..., х„конкретных элементов из соответствующих множеств он превращается в истинное (ложное) выска- 167 зывание. Предикат Р(х„хв ..., х„) называют выполнимым (опоовержимым), если при некоторой подстановке вместо предметных переменных х„х„..., х„конкретных элементов из соответствующих множеств он превращается в истинное (ложное) высказывание.
9.6. Найдите множества истинности следующих предикатов, заданных над указанными множествами: а) «х кратно 3», М = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); б) «х кратно 3», М = (3, 6, 9, 12); в) «х кратно 3», М = (2, 4, 8); г) «хл + 4 > 0», М = Я; д) «з(их > 1», М= Я; е) «х1 + х — 6 = 0», М= Я; ж) «х2~ + х1 2= 0», М, = М, = Я; 3) «х, < х2», М, = (1, 2, 3, 4, 5», М, = (3, 5, 7); и) «х,делитх2», М,=М~=(2, 3,4,6); к) «! х, ~ + хз > 12», М, = ( — 2, 4, 8), М1 = (О, 7, 9, 11); л) «х1 + х2 < О»> М~ = (-3, -2, -1, О, 1, 2, 3), М2 = (-3, 1, 2).
Р е ш е н и е. л) Множеством истинности этого предиката будет подмножество декартова произведения множеств М, и М„т.е. множества М, х М, = ((-3, -3), (-3, 1), (-3, 2), ( — 2, -3), (-2, 1), (-2, 2), (-1, 1), (-1, -3), (-1, 2), (О, -3), (О, 1), (О, 2), (1, -3), (1, 1), (1, 2), (2, -3), (2, 1), (2, 2)„(3, -3), (3, 1), (3, 2)), состоящие из всех таких упорядоченных пар (хп х2), что х1 о Мп хг а Мг их1 + х2< < О. Выберем из множества М, х М, все такие пары: Р' = К вЂ” 3, -3), (-3, 1), (-3, 2), (-2, -3), (-2, 1), (-1, -3), (О, -3), (1, -3), (2, -3)). Это и есть множество истинности данного предиката.
9.7. Изобразите на координатной прямой множества истинности следующих заданных на Я одноместных предикатоьс а) х<3; ж) хз+ бх — 16 < 0; б) ~х~=4; з) х' > 0; в) ~х~< 2; и) ! х — 1 1 < ) 2х+ 4 ~; г) ~ х ~ > 2; к) ) Зх — 1 ~ + ~ 2х+ 4 ~ > 3; д) ~х — 4)>1; л) 1х+2~<5.
е) ~х+3/< 2; Р е ш е н и е. л) Множество истинности данного предиката представляет собой множество решений неравенства. Поэтому, прежде чем изобразить это множество на числовой прямой, найдем его, т.е. решим данное неравенство. Абсолкл ная величина некоторого числа меньше 5 тогда и только тогда, когда само число больше -5 и меньше 5: -5 < х+ 2 < 5. Первое из этих неравенств равносильно следующему: — 7 < х, а второе — следующему: х < 3.
Решением неравенства и областью истинности данного предиката является пересечение двух множеств: 1 — 7, оо( г1 1-«о, 3( = ) — 7, 3(. Изображение полученного множества на числовой прямой предоставляется читателю. 168 9.й. Изобразите на координатной плоскости множества истинности следующих двухместных предикатов, заданных на множестве действительных чисел В: а) х = у; ж) х+ Зу ( 6; б) )х[=]у); з) (х — у~)/(х+ у) = х — у; в) х' + у' = 9; и) ху= 0; г) хз + уз — 4х+ бу+ 14 = 0; к) у = 1я(х+ 1); д) х2 < у; л) х'=у'. е) у=1/х; Решение.
л) Обозначим этот предикат Р(х, у) и будем отыскивать его множество истинности: Р' = ((х, у): х2 = у2» = ((х, у): х'-у'=О» = [(х,у): (х — у) (х+у) =О» = [(х, у): х — у= 0 или х+у= = О» = ((х, у): х — у = О» и ((х, у):х + у = О» = ((х, у): х = у» н [(х, у): у = — х» = Р; и Р;.
Первое из объединяемых в результате множеств представляет собой прямую, являющуюся биссектрисой первого и третьего координатных углов, а второе — прямую, являющуюся биссектрисой второго и четвертого углов. 9.9. Среди предикатов из задач 9.4, 9.6, 9.7, 9.8 укажите: а) тождественно истинные предикаты; б) тождественно ложные предикаты. 9.10.
Найдите множества истинности следующих предикатов, заданных на множестве всех точек плоскости (А, В и С вЂ” различные фиксированные точки плоскости, 1 — фиксированная прямая плоскости): а) Отрезок [АВ] виден из точки Х под прямым углом; б) Точка Х располагается по одну сторону с точкой А от прямой 1 (предполагается, что точка А не лежит на прямой 1); в) Точка Х располагается на прямой !и одинаково удалена от точек А и В; г) Точка Х симметрична с некоторой точкой отрезка [АВ] относительно точки С; д) Точка Х равноудалена от точек А и В; е) Точка Х находится на данном расстоянии от точки В; ж) Точка Х удовлетворяет двум условиям: она одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С; з) Точка Х лежит на прямой между точками А и В; и) Точка В лежит на прямой между точками А и Х; к) Точка Х одинаково удалена от точки А и прямой 1 (А я 1); л) Точка Х симметрична с некоторой точкой отрезка [АВ] относительно прямой 1.
Решение. л) По условию нам даны прямая 1, отрезок [АВ] и сказано, что точка Х симметрична с некоторой точкой, принадлежащей отрезку «АВ]. Отметим на отрезке [АВ] произвольно точку Хь Проведем прямую а через точку Х, перпендикулярно прямой 1 Тогда а л 1= Р. Отложим от точки Р на продолжении прямой а отрезок [ХР] = [Х,Р].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
