ЛИНЕЙКА(2сем) (1019096), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Угловые миноры 

Теорема: пусть миноры 1…n матрицы (aij) квадратичной формы A(x,x) отличны от нуля. Тогда существует единственное треугольное преобразование базисных векторов e1…en с помощью которого форму A(x,x) можно привести к каноническому виду.

Треугольное преобразование:

f1=e1;

f2=a21e1+e2;

f3=a31e1+a32e2+e3;

……………………………

fn=an1e1+an2e2+…+en

Формулы для канонических коэффициентов:

1=1; 2=2/1; n=n/n-1;

Знакоопределение формы. Квадратичная форма называется положительно определенной, если A(x,x)>0 "x¹0, отрицательно определенной, если A(x,x)<0 "x¹0. Утверждение: форма называется положительно определенной т. и т. т. когда её положительный индекс равен r и отрицательный индекс равен 0 и наоборот. Критерий Сильвестра. Лемма: Знак определения квадратичной формы не изменяется при переходе к другому базису.

Теорема (критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма A(x,x) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства 1>0…n>0. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем 1<0.

Док-во: 1) необходимость. Докажем, что из условия знакоопределенности квадратичной формы A(x,x) следует i0, i=1…n. Убедимся, что предположение k=0 ведет к противоречию – при этом предположении существует ненулевой вектор x, для которого A(x,x)=0, что противоречит знакоопределенности формы. Итак, пусть k=0. Рассмотрим следующую квадратную однородную систему линейных уравнений:

a111+a122+…+a1kk=0

a211+a222+…+a2kk=0

……………………………...

ak11+ak22+…+akkk=0

Так как k – определитель этой системы и k=0, то система имеет ненулевое решение 1…k (не все i равны 0). Умножим первое из уравнений на 1, второе на 2 и т.д., последнее на k и сложим полученные соотношения. В результате получим равенство: сумма от i и j равных 1 до n aijij равна 0, левая часть которого представляет собой значение квадратичной формы A(x,x) для ненулевого вектора x с координатами (1…k,0…0). Это значение равно нулю, что противоречит знакоопределенности формы. Итак, мы убедились, что i0, i=1…n. Поэтому мы можем применить метод приведения формы к сумме квадратов и воспользоваться формулами для вычисления канонических коэффициентов. Если A(x,x) – положительно определенная форма, то все канонические коэффициенты положительны. Но тогда из соотношений для их нахождения следует, что 1>0…n>0. Если же A(x,x) – отрицательно определенная форма, то все канонические коэффициенты отрицательны. Но тогда из формул для их нахождения следует, что знаки угловых миноров чередуются, причем 1<0. 2) Достаточность. Пусть выполнены условия, наложенные на угловые миноры I в формулировке теоремы. Так как i0, i=1…n, то форму A можно привести к сумме квадратов, причем канонические коэффициенты i могут быть найдены по формулам. Если 1>0…n>0, то из этих формул следует, что все i>0, т.е. форма A(x,x) положительно определенная. Если же знаки i чередуются и 1<0, то из соотношений следует, что форма A(x,x) отрицательно определенная. Теорема доказана.

Евклидовы пространства. V – линейное пространство.

(x,y)=(y,x); (x₁+x₂,y)=(x₁,y)+(x₂,y); (lx,y)= l(x,y);

Скалярное произведение – симметричная билинейная форма. Скалярное произведение называется евклидовым, если: (x,x)³0 "x причем (x,x)=0 ó x=0. Линейное пространство в котором задано евклидово скалярное произведение называется евклидовым пространством.

Примеры: V³ [(a,b)=|a||b|cos(ab)]; Rⁿ X=(x₁…x_n) Y=(y₁…y_n) (X,Y)=x₁y₁…x_ny_n;

Теорема. В любом конечномерном вещественном линейном пространстве можно определить скалярное произведение.

Матрица Грамма – матрица евклидовых скалярных произведений в каком-либо базисе. Матрица будет является матрицей Грамма т. и т. т. когда она симметрична и все её главные миноры положительны.

Теорема (неравенство Коши-Буняковского). Для любых x, y Î L справедливо неравенство (x, y)²<=(x, x)(y, y).

Док-во. Пусть x, y Î L. Выберем произвольное вещественное число l. Домножим обе части равенства (lx – y, lx - y)=l²(x, x) - 2l(x, y) + (y, y) на (x, x) и в правой части выделим полный квадрат: (x, x)(lx-y, lx-y)=l ²(x, x) ² - 2l(x, x)(x, y) + (x, x)(y, y)= (l(x, x)-(x, y))² + ((x, x)(y, y)-(x, y)²). Выберем l₀ так, чтобы выполнялось равенство l₀(x, x) – (x, y)=0. Для этого при x<>0 полагаем l₀=(x, y)/(x, x); если x=0, то (x, x)=0, (x, y)=0, и в качестве l₀ можно взять любое число. При выбранном l=l₀ имеем: (x, x)(l₀x-y, l₀x-y)=(x, x)(y, y)-(x, y)². В силу неравенств (x, x)>=0, (l₀x-y, l₀x-y)>=0, левая часть последнего равенства неотрицательна. Поэтому неотрицательна его правая часть: (x, x)(y, y)-(x, y)²>=0, т.е. (x, y)² <= (x, x)(y, y).

Нормой (длиной) вектора x называется число: ||x||=Ö(x,x).

Норма вектора обладает следующими свойствами: 1) ||x||>=0, ||x||=0 тогда и только тогда, когда x=0; 2) для любого a Î R ||ax|| = |a|*||x||; 3) ||x+y||<=||x||+||y|| (неравенство треугольника). Докажем св-во 3. Для любых x, y Î L ||x+y||² = (x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y) = ||x||² + 2(x,y)+||y||². Оценим второе слагаемое с помощью неравенства Коши-Буняковского: ||x+y||² <= ||x||² + 2||x||*||y||+||y||² = (||x||+||y||)². Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем требуемое неравенство.

Будем говорить, что векторы x, y Î L сонаправлены, если выполняется хотя бы одно из следующих двух условий: 1) существует такое a>=0, что y=ax; 2) b>=0, что x=by.

Будем говорить, что векторы x, y Î L противоположно направлены, если выполняется хотя бы одно из следующих двух условий: 1) существует такое a<=0, что y=ax; 2) существует такое b<=0, что x=by.

Теорема. Равенство (x, y)=||x||*||y|| имеет место тогда и только тогда, когда векторы x, y сонаправлены.

Расстояние между векторами x, y Î L называется число r(x, y) = ||x-y||. Эта характеристика обладает обычными свойствами: 1) r(x, y)>=0, r(x, y)=0 тогда и только тогда, когда x=y; 2) r(x, y)=r(y, x); 3) r(x, y)<=r(x, z)+r(z, y) (неравенство треугольника). Докажем св-во 3. r(x, y)=||x-y||=||(x-z)+(z-y)<=||x-z||+||z-y||=r(x, z)+r(z, y).

Угол j между ненулевыми векторами x, y Î L определяется условиями cosj = (x, y)/(||x||*||y||), 0<=j<=p. Если хотя бы один из векторов x, y равен нулю, то угол между ними считается неопределённом.

Векторы x, y евклидова пространства L называются ортогональными, если (x, y)=0.

Система векторов называется ортогональной, если любые два элемента этой системы являются ортогональными.

Теорема Пифагора. Пусть x1, x2,…, xk – ортогональная система векторов. Тогда || x1 + x2 + … + xk||²=||x1||² + ||x2||² + … + ||xk||².

Док-во. По определению нормы имеем: ||å(xi)(i=1..k)||² = (å(xi)(i=1..k), å(xj)(i=1..k))=åå(xi, xj)(i,j=1..k). Отбрасывая нулевые слагаемые, отвечающие значениям i<>j, получаем, что последняя сумма равна å(xi, xi)(i=1..k)=å||xi||²(i=1..k).

Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Док-во. Пусть x1, x2, …, xm – ортогональная система векторов и xi<>0 при i=1,2,…,m. Допустим, что a1x1+a2x2+…+amxm=0 для некоторых a1, a2,…, amÎR. Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор x1: (a1x1+a2x2+…+amxm, x1)=(0, x1), a1(x1, x1)+a2(x2,x1)+…+am(xm,x1)=0. По условию xi^xj при 1<=I, j<=m, I<>j. Поэтому (x2, x1)=…=(xm, x1)=0, и последнее равенство даёт a1(x1,x1)=0. Так как x1<>0, то число (x1,x1)<>0, и тогда a1=0. Аналогично получаем, что a2=0,…, am=0. Это означает, что рассматриваемая система линейно независима.

Базис, векторы которого ортогональны друг другу называется ортогональным базисом. Базис называется ортонормированым, если его векторы попарно ортогональны и их длины равны единице.

Теорема: Во всяком n-мерном евклидовом пространстве V существует ортонормированый базис.

Док-во: согласно определению размерности в пространстве V найдется n линейно-независимых элементов f1…fn. Докажем, что можно построить n элементов e1…en линейно выражающихся через f1…fn и образующих ортонормированый базис. Если имеется только один элемент f1, то для построения элемента e1 с нормой равной 1 достаточно нормировать элемент f1 т.е. умножить этот элемент на число [(f1,f1)]-1 обратное его норме. Мы получим при этом элемент e1 с нормой, равной единице. Считая, что m – целое число, меньше n предположим, что нам удалось построить m элементов e1…em линейно выражающихся через f1…fm попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице. Докажем, что к этим элементам e1…em можно присоединить еще один элемент em+1 линейно выражающийся через f1…fm+1 ортогональный к каждому из элементов e1…em и имеющий норму, равную единице. Убедимся в том, что элемент em+1 имеет вид: (1) e_m+1=_m+1[f_m+1-(f_m+1,e_m)e_m-(f_m+1,e_m-1)e_m-1-…-(f_m+1,e₁)e₁] где _m+1 - некоторое вещественное число. В самом деле: элемент em+1 линейно выражается через f1…fm+1 (в силу того, что он линейно выражается через e1…em, fm+1, а каждый из элементов e1…em линейно выражается через f1…fm). Отсюда сразу же следует, что при _m+1 не равном 0 элемент em+1 заведомо не является нулевым (ибо, в противном случае, являлась бы нулевым элементом некоторая линейная комбинация линейно независимых элементов f1…fm+1 в которой в силу (1) отличен от 0 коэффициент при fm+1). Далее из того что элементы e1…em попарно ортогональны и имеют нормы, равные единице и из соотношения (1) сразу же вытекает, что скалярное произведение (em+1,ek) равно нулю для любого номера k, равного 1…m. Для завершения индукции осталось доказать, что число _m+1 можно выбрать так, что норма элемента (1) будет равна единице. Выше уже установлено, что при _m+1 не равном 0 элемент em+1 а стало быть и элемент, заключенный в (1) в квадратные скобки не является нулевым. Стало быть, для того, чтобы нормировать элемент, заключенный в квадратные скобки, следует взять число _m+1 обратным положительной норме этого, заключенного в квадратные скобки, элемента. При этом норма em+1 будет равна 1. Теорема доказана.

Данная теорема приводит к следующему осуществляемому шаг за шагом алгоритму построения по данной системе n линейно-независимых элементов f1…fn системы n попарно ортогональных элементов e1…en норма каждого из которых равна 1:

e1=f1/((f1,f1)); e2=g2/((g2,g2)), где g2=f2-(f2,e1)e1; e3=g3/((g3,g3)), где g3=f3-(f3,e2)e2-(f3,e1)e1

en=gn/((gn,gn)), где gn=fn-(fn,en-1)en-1-…-(fn,e1)e1

Указанный алгоритм называют процессом ортогонализации.

В ортонормированом базисе матрица Грама единична.

Св-ва ортонормированных базисов:

1) координаты a1,a2,…an вектора x в ортонормированном базисе {e} можно вычислить по фрмуле: ak=(x, ek), k=1,2,…,n.

2) Пусть x_e=(x1, x2,…, xn)^T, y_e=(h1, h2,…, hn)^T – координатные векторы элементов x и y в ортонормированном базисе {e}. Тогда (x, y)=x1h1+x2h2 + …+xnhn=(x_e,y_e), ||x||=Ö(x1²+x2²+…+xn²)=||x_e||.

Оператор A* из L(V,V) называется сопряженным к линейному оператору A, если для любых x и y из V выполняется соотношение: (Ax,y)=(x,A*y). Оператор A* - сам является линейным оператором. Теорема: каждый линейный оператор имеет единственный сопряженный. Линейный оператор A из L(V,V) называется самосопряженным (симметрическим), если справедливо равенство: A*=A.

Операторы A и B коммутируют, если AB=BA.

Теорема: для того, чтобы произведение AB самосопряженных операторов A и B было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали.

Теорема: собственные значения самосопряженных операторов вещественны.

Теорема: Если оператор A самосопряженный, то для любого xV скалярное произведение (Ax,x) – вещественное число. Док-во: справедливость утверждения теоремы вытекает из следующего свойства скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве (Ax,x)=отрицание (x,Ax) и определения самосопряженного оператора.

Теорема: Если A – самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора, ортогональны. Док-во: Пусть 1 и 2 – различные собственные значения (12) самосопряженного оператора A, а x1 и x2 – соответсвенно отвечающие им собственные векторы. Тогда имеют место соотношения Ax1=1x1, Ax2=2x2. Поэтому скалярные произведения (Ax1,x2) и (x1,Ax2) соотвественно равны следующим выражениям: (Ax1,x2)= 1(x1,x2), (x1,Ax2)= 2(x1,x2). Так как оператор A самосопряженный то скалярные произведения (Ax1,x2) и (x1,Ax2) равны, и поэтому из последних соотношений путем вычитания молучаем равенство (2-1)(x1,x2)=0. Поскольку 12, то из последнего равенства следует равенство нулю скалярного произведения (x1,x2), т.е. ортогональность собственных векторов x1 и x2. Теорема доказана.

Теорема: для того, чтобы линейный оператор A был самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы Im(Ax,x)=0 (т.е. число (Ax,x) – вещественно, т.к. его мнимая часть равно 0).

Теорема: у каждого самосопряженного линейного оператора A, действующего в n-мерном евклидовом проста\ранстве V, существует n линейно-независимых попарно ортогональных и единичных собственных векторов.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)