ЛИНЕЙКА(2сем) (1019096), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Симетрический оператор имеет n собственных значений, если каждое значение сосчитать столько раз, какова его кратность в характеристическом уравнении.

Теорема: все корни характеристического уравнения симетрического оператора действительны.

Док-во: пусть =+i - корень характеристического уравнения det(A-E)=0 симетрического оператора A. Фиксируем в V какой-либо базис {ek} и обозначим через ajk элементы матрицы оператора A в этом базисе (отметим, что ajk – вещественные числа). Будем искать ненулевое решение следующей системы линейных однородных уравнений относительно 1…n: сумма от k равного 1 до n (ajkk) равна j, j=1…n, где =+i. Так как определитель системы уравнений равен det(A-E) (определитель матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса и этот определитель равен нулю), то система однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение k=xk+iyk, k=1…n. Подставляя это решение в правую и левую части системы учитывая при этом что =+i, и отделяя затем вещественную и мнимую части полученных соотношений, найдем, что наборы (x1…xn) и (y1…yn) вещественных чисел (все эти числа не равны нулю) удовлетворяю следующей системе уравнений: сумма от k равного 1 до n (ajkxk) равна xj-yj, сумма от k равного 1 до n (ajkyk) равна yj+xt, j=1…n. Рассмотрим в данном базисе e1…en векторы x и y c координатами x1…xn и y1…yn соответственно. Тогда приведенные выше соотношения (суммы) можно переписать в виде: Ax=x-y, Ay=y-x. Умножим первое из полученных соотношений скалярно на y, а второе на x. Очевидно получим равенства: (Ax,y)=(x,y)-(y,y), (x,Ay)=(x,y)+(x,x). Так как оператор А симетричный, то (Ax,y)=(x,Ay). Поэтому путем вычитания этих соотношений получим равенство: [(x,x)+(y,y)]=0. Но (x,x)+(y,y)0 (если бы это было так, то xk=0 и yk=0, k=1…n, следовательно решение k=xk+iyk было бы нулевым, тогда как по построению это решение ненулевое. Поэтому =0, а так как  - мнимая часть корня =+i характеристического уравнения, то, очевидно, что  - вещественное число. Теорема доказана.

(U^)={vV:(v,U)=0 uU} –ортогональное дополнение множества U.

План приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональными преобразованиями: 1) рассмотреть матрицу квадратичной формы, как матрицу симметрического оператора в некотором ортонормированом базисе, 2) составить характеристическое уравнение и найти его корни, 3) для каждого собственного числа найти собственные векторы (если кратность собственно го значения n, то ему должно соответствовать n линейно независимых собственных векторов), 4) ортогонализировать систему собственных векторов для каждого собственного значения (при этом они отсанутся собственными), нормировать (разделить на длину), 5) Составить матрицу перехода от первоначального базиса к ортонормированному собственному базису, 6) (T)^tAT=A’, 7) сумма от i равного 1 до т (i(yi)²) y=(T)^-1X=(T)^tX.

Ллинейный оператор P, действующийв вещественном евклидовом пространстве V, называется ортоганальным, если для любых x и y из V выполняется равентсво (Px,Py)=(x,y). Таким образом ортоганальный оператор сохраняет скалярное произведение. Теорема: для того, чтобы линейный оператор P был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор P^-1 и было выполнено равенство P*=P^-1, где P* - оператор, сопряженный к P, а P^-1 – оператор, обратный к P. Матрица P называется ортогональной, если P’P=PP’=E, где P’ – транспонированная матрица. Если e1…en – ортонормированый базис в евклидовом пространстве V, то оператор P является ортогональным тогда и только тогда, когда его матрица в базисе {ek} ортогональна.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)