ЛИНЕЙКА(2сем) (1019096), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Теорема (критерий существования обратного оператора в терминах ядра). Обратный оператор существует тогда и только тогда, когда ядро оператора тривиально.  A^-1kerA={0}ОСЛАУ Ax=0 имеет тривиальное решение detA<>0 A^-1.

Теорема. Линейный оператор А, действующий в линейном пространстве L, обратим тогда и только тогда, когда kerA={0}, imA=L. Док-во. Допустим, что оператор А обратим. Для вектора x  kerA последовательно получаем: Ax=0, A^-1Ax=A^-10, Ix=0, x=0. Следовательно, kerA={0}. Для произвольного вектора y  L положим x=A^-1y. Тогда y=Ax  imA. Следовательно, imA=L. Пусть kerA={0}, imA=L. Из условия imA=L следует, что для любого вектора yL существует такой вектор xL, что Ax=y. Покажем, что вектор x определяется вектором y однозначно. Действительно, допуская, что Ax’=y для некоторого x’L, имеем: A(x’-x)=Ax’-Ax=y-y=0, (x’-x)  kerA, x’-x=0, x’=x. Мы показали, что для каждого вектора yL существует единственный вектор xL, такой, что Ax=y. Определим оператор B:L->L, полагая By=x. Покажем, что AB=BA=I. Действительно, пусть yL. Найдём такой вектор xL, что Ax=y. Тогда AВy=Ax=y. В силу произвольности вектора y, AB=I. Пусть теперь xL. Положим y=Ax. Тогда By=x и Bax=By=x. В силу произвольности вектора x, BA=I. Мы доказали обратимость оператора А.

Число ₀P называется собственным значением оператора А, если существует такой ненулевой вектор x₀L, что Ax₀=₀x₀. Вектор x₀ называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению ₀. Множество всех собственных значений называется спектром линейного оператора А (Sp(A)).

Теорема. Число ₀P является собственным значением линейного оператора А тогда и только тогда, когда ker(A-₀I)<>{0}. Док-во. Если ₀Sp(A), то для некоторого ненулевого вектора x₀L выполняется равенство Ax₀=₀x₀. Тогда Ax₀-₀Ix₀=0, (A-₀I)x₀ = 0, x₀ker(A-₀I), т.е. ker(A-₀I)<>{0}. Обратно. Пусть ker(A-₀I)<>{0}. Возьмём любой ненулевой вектор x₀ker(A-₀I). Тогда (A-₀I)x₀=0, Ax₀=₀x₀, т.е. x₀ – собственный вектор, ₀Sp(A).

Следствие. Ненулевой вектор x0L является собственным вектором, отвечающим собственному значению ₀, тогда и только тогда, когда x0ker(A-₀I).

Многочлен det(A-I) от переменной  называется характеристическим многочленом оператора А.

Теорема. Пусть L – конечномерное линейное пространство ненулевой размерности над полем P, А – линейный оператор, действующий в пространстве L. Число ₀P является собственным значением оператора А тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена этого оператора.

Базис линейного пространства называется собственным базисом линейного оператора, действующего в этом пространстве, если он состоит из собственных векторов этого оператора.

Теорема. Базис e1,…,en – является собственным для линейного оператора, тогда и только тогда, когда матрица оператора в этом базисе диагональная и по диагонали стоят собственные значения этого оператора.

Теорема. Собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Док-во. Допустим, что система x1, x2, …,xk собственных векторов линейного оператора А, отвечающих его различным собственным значениям 1, 2, …, k, линейно зависима. Рассмотрим последовательность её подсистем x1; x1, x2; x1, x2, x3; ….. x1, x2, x3, …, xk, начинающуюся линейно независимой подсистемой (т.к. x1<>0) и заканчивающуюся линейно зависимой подсистемой исходной системы. Тогда в этой последовательности подсистем можно найти такую линейно независимую подсистему, что следующая за ней подсистема будет линейно зависимой. Пусть подсистема x1, x2, …, xm, m<k, линейно независима, а подсистема x1, x2, …, xm, xm+1 линейно зависима. Тогда существуют числа 1, 2, …, m, m+1, не все равные нулю, и такие, что 1x1 + 2x2 +…+ mxm + m+1xm+1=0. Применим к обеим частям этого равенства оператор А. Учитывая, что Axk=kxk (k=1, 2, …, m+1) получим: 11x1 + 22x2 +…+ mmxm + m+1m+1xm+1=0. Вычтем из обеих частей этого равенства обе части равенства, умноженного на m+1. После приведения подобных получаем: 1(1 - m+1)x1 + 2(2 - m+1)x2 +…+ m(m - m+1)xm=0. Система x1, x2, …, xm линейно независима. Поэтому из последнего равенства выводим: 1(1 - m+1)=0, 2(2 - m+1)=0, …, m(m - m+1)=0. По условию 1-m+1<>0, 2-m+1<>0, …, m-m+1<>0. Тогда из предыдущих равенств следует, что 1=0, 2=0, …, m=0. Подставляя эти значения в равенство 1x1 + 2x2 +…+ mxm + m+1xm+1=0, получаем: m+1xm+1=0. Отсюда следует, что m+1=0, т.к. собственный вектор xm+1<>0. Мы доказали, что все числа  равны нулю, что противоречит их выбору.

Оператор называется оператором простого типа, если для него существует в пространстве собственный базис.

Следствие. Оператор является оператором простого типа тогда и только тогда, когда существует базис пространства в котором его матрица диагональная.

Следствие. Оператор является оператором простого типа тогда и только тогда, когда его матрица во всех базисах подобна диагональной.

Теорема. Линейный оператор А, действующий в конечномерном линейном пространстве L, имеет в базисе {e} диагональную матрицу тогда и только тогда, когда этот базис состоит из собственных векторов оператора А.

Док-во. Пусть е1, у1 ,…,еn – базис в L и Ae=((1 0 … 0)(0 2 … 0)…(0 0 … n)). Тогда Ae1=1e1, Ae2=2e2,…,Aen=nen, т.е. базис {e} состоит из собственных векторов оператора А. Обратно. Если базис {e} состоит из собственных векторов оператора А, то Ае1=1e1, Ae2=2e2,…, Aen=nen, для некоторых чисел 1, 2 ,…, nP. Отсюда следует, что матрица Ае имеет указанный выше вид.

Следствие. Линейный оператор А, действующий в n-мерном линейном пространстве, является оператором простого типа тогда и только тогда, когда он имеет n линейно независимых собственных векторов.

Следствие. Если спектр линейного оператора А, действующего в n-мерном линейном пространстве, состоит из n различных точек, то А является оператором простого типа.

Док-во. Пусть Sp(A)={1, 2 ,…, n}, е1, е2 ,…,еn  L – соответствующие собственные векторы. Система {e} как система собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, линейно независима. Так как, кроме того, число элементов этой системы равно размерности пространства, то она является базисом. Из следствия получаем, что А – оператор простого типа.

Теорема (достаточное условие того, что оператор является оператором простого типа). Если все корни характеристического уравнения действительны и различны между собой, то оператор является оператором простого типа.

Док-во. 1, …, n – корни уравнения i<>j. e1, …, en – соответствующие собственные векторы ei<>0 Aei=iei. Т.к. e1, …, en линейно независимы, то dimV=n => < e1, …, en > - собственный базис.

Теорема. Линейный оператор А, действующий в конечномерном линейном пространстве над полем P, является оператором простого типа тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен разлагается на линейные множители над этим полем, и алгебраическая кратность каждой точки спектра оператора А совпадает с её геометрической кратностью.

Билинейность – линейность по каждому аргументу. Билинейной формой называют отображение пары чисел: B(x,y)R, B:(x,y)R, x,yV

Билинейная форма называется симметричной, если B(x,y)=B(y,x).

Каждой билинейной форме можно сопоставить квадратичную форму. B(x,y) – B(x,x). B(x,x)=x^TBx.

Каноническим видом квадратичной формы называется форма в которую входят только квадраты переменных. Нормальной квадратичной формой называют форму в которую входят квадраты только с коэффициентами 0 или 1.

Теорема: любая квадратичная форма, заданная в n-мерном линейном пространстве V, с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду (док-во осуществляется методом Лагранжа).

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа (метод выделения полного квадрата – последовательное дополнение квадратного трехчлена по каждому аргументу до полного квадрата).

( x1)2-(x2)2+2(x3)2+2x1x2+2x1x3 = [(x1)2+2x1x2+2x1x3 +(x2)2+(x3)2+ 2x2x3]=(x1+x2+x3)2+(x3-x1)2-3(x2)2;

y1=x1+x2+x3; y2=x2-x3; y3=x2; (y1)2+(y2)2-3(y3)2;

Y=(T)^-1X канонический вид;

Z1=y1; z2=y2; z3=3(y3); (z1)2+(z2)2+(z3)2 нормальный вид

При каждой замене будет осуществляться переход к новому базису. Матрица формы канонического вида диагональна.

Т еорема: матрица квадратичной формы при переходе от базиса B к базису B’ преобразуется следующим образом.

Т еорема: матрица билинейной формы при переходе от базиса к базису изменяется следующим образом:

Теорема: ранг матрицы квадратичной билинейной формы изменяется при переходе от базиса к базису. Рангом матрицы квадратичной билинейной формы называется её ранг в любом базисе. Ранг квадратичной формы канонического вида равен числу ненулевых коэффициентов. Ранг матрицы билинейной формы является инвариантом.

Закон инерции квадратичной формы. Теорема: число положительных и отрицательных коэффициентов в каноническом или нормальном виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса.

Док-во: B=<e1…en> - базис в V; B'=<e1'…en'>; Пусть форма A(x,x) при помощи некоторого невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду: (1)2+( 2)2+…(q)2-(q-1)2-…-(k)2 и с помощью другого невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду (1)2+( 2)2+…(p)2-(p-1)2-…-(k)2. Очевидно, что для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости равенства p=q. Пусть p>q. Убедимся что в этом случае имеется ненулевой вектор x такой, что по отношению к базисам, в которых форма A(x,x) имеет вид (1) и (2) координаты 1…q и p+1…n этого вектора равны нулю. Так как координаты i получены путем невырожденного преобразования координат 1…n, а координаты i – с помощью аналогичного невырожденного преобразования координат 1…n, то соотношения 1=0, 2=0…q=0, p+1=0, n=0 можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно координат 1…n искомого вектора x в базисе e=(e1…en). Т.к. p>q, то число однородных уравнений меньше n и поэтому система имеет ненулевое решение относительно координат 1…n искомого вектора x. Следовательно, если p>q то сущетвует ненулевой вектор x, для которого выполняются эти соотношения. Посчитаем значение формы A(x,x) для этого вектора x. Обращаясь к соотношениям (1) и (2) получим: A(x,x) = -(q+1)2-…-(k)2=(1)2+(2)2+…+(p)2. Последнее равенство может иметь место лишь в случае q+1=…=k=0 и 1=2=…=p=0. Таким образом в некотором базисе все координаты 1…т ненулевого вектора x равны нулю, т.е. вектор x равен нулю. Следовательно предположение p>q ведет к противоречию. Точно так же ведет к противоречию и предположение, что p<q. Итак, p=q. Теорема доказана.

О пределение: число положительных коэффициентов в каноническом или нормальном виде квадратичной формы называется её положительным индексом (i+), отрицательных – отрицательным индексом (i-). (i+)+(i-)=r. Т.о. у квадратичной формы имеется три инварианта: ранг, положительный и отрицательный индексы.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)