v_eff (1018236), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Потенциалы F (J) и G(φc ) связаны преобразованием Лежандра. В случае ненарушенной симметрии потенциал K(φc ) выпуклыйи формула (3) переходит в преобразование Лежандра, при этом K(φc ) совпадаетс G(φc ). В случае нарушенной симметрии потенциал K(φc ) невыпуклый и формула (3) не является преобразованием Лежандра. Потенциалы K(φc ) и G(φc ) несовпадают, их связь в этом случае определяется правилом Максвелла.Выпишем уравнение для определения квазисреднего ≺φ(x) методом эффективного потенциала. Собирая вместе (2) и (3), находим(4)dmin[K(φc ) − Jφc ].J→+0 dJ φc≺φ(x) = − limДопуская некоторую вольность с порядком действий, можно сказать, что квазисреднее определяется из условия глобального минимума K(φc ).
Более аккуратноеопределение (4) не только выбирает один из симметричных минимумов (как нарис. 1), но и помогает в ситуациях, подобных той, что изображена на рис. 6.KφcABРис. 6. Какой из минимумов — A или B — выберет система?5. Модель Изинга в приближении Брегга-ВильямсаДо сих пор изложение носило качественный характер. В этом разделе мы собираемся подкрепить наши рассуждения явно решаемым примером из статистической механики [10].Рассмотрим систему с гамильтонианомNI σi σj ,H =−2N i,j=1ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И КВАЗИСРЕДНИЕ БОГОЛЮБОВА11где σi принимает значения ±1, а множитель 1/N введен для правильного термодинамического предела. Гамильтониан имеет симметрию σ → −σ, которая обеспечивает равенство нулю среднего−H/θeσie−H/θ .σi ={σ}{σ}Однако, по крайней мере при нулевой температуре, состояние σi = 1, i = 1, .
. . Nэнергетически выгоднее, чем разупорядоченное состояние σi = 0 (мы считаем I >0). Стало быть, нужно вычислять квазисредние. Для этого введем в гамильтонианчлены, нарушающие симметриюσi ,H̃ = H − hiи будем вычислять статсумму2e−H̃/θ =eN(IL /2+hL)/θ ,Z(h) =где L =1Ni{σ}{σ}σi . Представим Z в виде однократной суммы2eN(IL /2+hL)/θδx,L =eNhx/θ Z̃(x),Z(h) =x{σ}2где Z̃(x) = eNIx /2θ{σ} δx,L .x(Тот же прием вставки δ-функции мы использовалидля теории λφ4 .) В нашей модельной задаче Z̃(x) вычисляется явноZ̃(x) = 1+x22N! 1−x eNIx /2θ .N ! 2 N !В пределе N → ∞1+x 1+xθ1−x 1−xln Z̃(x) → −Ix2 /2 + θln+θln.N2222Ниже критической температуры (равной I) функция K(x) не является выпуклой иимеет вид, подобный показанному на рис.
1 (с поправкой на то, что −1 x 1).Это эффективный потенциал модели. Свободная энергия F = − Nθ ln Z вычисляется по теореме о максимальном слагаемом F (h) = minx U (x, h), где “катастрофический” потенциал U (x, h) определяется выражениемK(x) = −U (x, h) = K(x) − hx.Необходимое условие минимума ∂U (x, h)/∂x = 0, которое в явном виде гласитhIx+,x = thθθпри θ < I определяет на плоскости (x, h) кривую со складкой, которую условиеглобального минимума превращает в кривую с изломом (рис. 4). Интегрированиеэтого уравнения состояния дает потенциалы F и G видов, показанных на рис.
2и 3 (опять же с поправкой на ограниченность x). Формула (4) говорит нам, чтоквазисреднее ≺σi равно координате правого минимума K(x).12Д. В. ПЕРЕГУДОВ6. ЗаключениеСформулируем кратко результаты работы.Метод эффективного потенциала рассмотрен с точки зрения метода квазисредних. Выяснено, что он является замаскированной процедурой квазиусреднения.Показано существование “катастрофического” потенциала U (A, a) (A — аддитивные, a — неаддитивные термодинамические переменные), такого что уравнения состояния системы получаются из условия глобального минимума этого потенциала по переменным A.
Микроскопически обосновано правило Максвелла дляуравнений состояния, сформулировано правило Максвелла для термодинамическихпотенциалов.Выяснен смысл невыпуклых эффективных потенциалов в теории поля. Они являются значениями при a = 0 “катастрофических” потенциалов. Эффективныйпотенциал является преобразованием Лежандра производящего функционала связных функций Грина только в случае ненарушенной симметрии.
Получена формуладля вычисления квазисредних методом эффективного потенциала.Сделаем несколько замечаний.Потенциалы типа рис. 2 и рис. 3 известны в статистической механике [10]. Выпуклость эффективного потенциала и проблема преобразования Лежандра обсуждались и ранее, например, в работе [11]. Прием вставки δ-функции можно найтив §147 книги [12].
Насколько нам известно, ни связь эффективного потенциала сметодом квазисредних, ни связь теоремы о максимальном слагаемом статсуммы сподходом теории катастроф ранее не обсуждались. Также, по-видимому, впервыеотмечено, что эффективный потенциал не является, вообще говоря, преобразованием Лежандра производящего функционала связных функций Грина.В заключение мне хотелось бы поблагодарить В. П.
Маслова за обсуждениеработы и полезные замечания.Литература1. S. Coleman and E. Weinberg, Phys. Rev. D7 (1973), 1888–1910.2. Н. Н. Боголюбов, Квазисредние в задачах статистической механики, Препринт ОИЯИ Д781, Дубна, 1961.3. К. Хуанг, Кварки, лептоны и калибровочные поля, М. Мир, 1985.4.
Н. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов (мл.), Введение в квантовую статистическую механику,М. Наука, 1984.5. Н. Н. Боголюбов (мл.), Б. И. Садовников, А. С. Шумовский, Математические методы статистической механики модельных систем, М. Наука, 1989.6. G. Jona-Lasinio, Nuovo Cim. 34 (1964), 1790–1795.7. Н. Н. Боголюбов (мл.), Метод исследования модельных гамильтонианов, М. Наука, 1974.8. Р. Гилмор, Прикладная теория катастроф. В 2-х книгах, М. Мир, 1984.9.
В. П. Маслов, Функциональный анализ 28 (1994), no. 4, 28–41.10. Г. Стенли, Фазовые переходы и критические явления, М. Мир, 1973.11. S. Norimatsu, K. Yamamoto, A. Tanaka, Phys. Rev. D35 (1987), 2009–2012.12. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика. Часть 1 (Теоретическая физика,т. 5), М. Наука, 1976.Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики(технический университет)117454, Проспект Вернадского, 78, Москва, Россия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
