v_eff (1018236), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(Мы избегаем писать преобразование Лежандра в обычном виде, с производными, поскольку наши функциине везде дифференцируемы.) Ее график имеет характерный вид, показанный нарис. 3. В отличие от рис. 1 здесь нет “горба” между двумя минимумами, егоД. В. ПЕРЕГУДОВ6FGφcJРис. 2. Потенциал F (J)Рис. 3. Потенциал G(φc )заменяет линейный участок. Крайняя правая точка этого участка соответствуетквазисреднему ≺φ(x).Мы в состоянии снять часть вопросов, поставленных ранее.
Прежде всего, совершенно ясны смысл введения членов с источниками и выбор их операторнойструктуры — это диктуется симметрией исходной задачи. В отличие от методаэффективного потенциала преобразование симметрии явно фигурирует в изложении с самого начала. Зависящие от координат источники не нужны (по крайнеймере до тех пор, пока мы не занимаемся проблемой кристаллического упорядочения), но их можно ввести, чтобы подчеркнуть аналогию с обычной теорией возмущений. То, что при этом возникает производящий функционал функций Грина,безусловно, вторично. Например, в модели Гросса-НевеL = iψ̄γ∂ψ +g222 (ψ̄ψ)при изучении спонтанного нарушения симметрии ψ → γ 5 ψ возникает функционалF [J] = Ω1 ln exp (L(y) + J(y)ψ̄(y)ψ(y)) d2y D ψ̄Dψ,который уже не является производящим функционалом функций Грина поля ψ.Далее, переход от F (J) к G(φc ) необязателен.
Единственным оправданием в теории поля является более простое диаграммное представление для Γ, нежели для W(сильно связные диаграммы против связных). Прояснился и вопрос с преобразованием Лежандра, однако ценой отказа от уравнения dV /dφc = 0. На самомделе, как уже говорилось во введении, с F (J) связаны не один, а два функционала:выпуклый G(φc ), преобразование Лежандра от F (J), и невыпуклый эффективныйпотенциал, производящий функционал сильно связных функций Грина, связь которого с F (J) нам пока неизвестна.Таким образом, мы видим, что конструкции, используемые в методе эффективного потенциала на рецептурном уровне, возникают вполне естественно, еслирассматривать проблему с точки зрения метода квазисредних.
Иначе говоря, метод эффективного потенциала является замаскированной формой процедуры квазиусреднения.Нам осталось выяснить отношение невыпуклого эффективного потенциала рис. 1к потенциалам рис. 2 и 3. В следующем разделе мы рассмотрим фазовые переходыс точки зрения теории катастроф, что поможет решить эту проблему.ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И КВАЗИСРЕДНИЕ БОГОЛЮБОВА74. Подход теории катастрофИзложим предположения, которые обычно — явно или неявно — используют,применяя аппарат теории катастроф к проблеме фазовых переходов [8]. Мы будемговорить о термодинамической системе, хотя те же соображения справедливы идля теорий поля.Система описывается набором 2n термодинамических переменных, которые можно разделить на пары сопряженных переменных.
В каждой паре одна из переменных аддитивная, а другая — неаддитивная. Будем обозначать их соответственноA и a. Так как для фиксации состояния системы достаточно только n переменных,то термодинамическая система определяется n-мерной поверхностью в 2n-мерномпространстве с координатами (A, a).
Считается, что уравнения этой поверхности могут быть получены из условия глобального минимума “катастрофического”потенциала — функции U (A, a) — по отношению к аддитивным переменным A.Такая точка зрения весьма привлекательна, так как необходимое условие минимума ∂U/∂A = 0 может дать уравнение состояния ван-дер-ваальсовского типа, аусловие глобальной минимальности “исправляет” это уравнение по правилу Максвелла. На языке термодинамических потенциалов мы получаем связь невыпуклогован-дер-ваальсовского потенциала с выпуклым истинным. Особая роль аддитивных переменных состоит в том, что обычно различные фазы различают именнопо значениям аддитивных переменных, иначе говоря, предполагают, что поверхность, определяющая уравнения состояния, однозначно проецируется на плоскостьаддитивных переменных.[Небольшое отступление. На самом деле предположением здесь является лишьто, что уравнения состояния получаются из условия глобального минимума “катастрофического” потенциала.
Все остальное следует из термодинамики [9]. Действительно, упомянутое выше 2n-мерное пространство наделяется естественнойсимплектической структурой dA ∧ da. Первый и второй законы термодинамикитребуют тогда, чтобы уравнения состояния системы соответствовали лагранжевой поверхности. Лагранжева же поверхность описывается производящей функцией s(A) (термодинамическим потенциалом), так что ее уравнения имеют видa = ∂s/∂A. Определяя потенциал U (A, a) = s(A) − Aa, получаем, что уравнениясостояния можно записать в виде ∂U/∂A = 0.]Оказывается, можно микроскопически обосновать существование функции Uс такими свойствами.
Ключом к обоснованию служит теорема о максимальномслагаемом статсуммы. В своем первоначальном виде теорема утверждает, −En /θ чторавнаасимптотика N → ∞ гиббсовской статистической суммы Z(θ) = n eасимптотике N → ∞ максимальногослагаемогоэтойсуммы,записаннойкакодно−E/θ. Нетрудно, однако, переформукратная сумма по энергии Z(θ) = E w(E)eлировать теорему для случая любых двух сопряженных переменных. Рассмотримс этой точки зрения модель λφ4 . ИмеемeΩF (J) = exp (L(y) + Jφ(y)) d4y Dφ == exp (L(y) + Jφ(y)) d4 ydφc δ φc − Ω1 φ(x)d4 x Dφ = = dφc eΩJφc expL(y) d4 y δ φc − Ω1 φ(x)d4 x Dφ == dφc eΩ(Jφc −K(φc )) .Д. В.
ПЕРЕГУДОВ8Здесь L(y) d4 y δ φc −K(φc ) = − Ω1 ln exp1Ωφ(x)d4 x Dφ.Асимптотика Ω → ∞ вычисляется методом перевала(3)F (J) = max(Jφc − K(φc )).φcПоследнее равенство и есть теорема о максимальном слагаемом, приспособленнаядля нашего случая. Подчеркнем еще раз, что максимум в формуле (3) являетсяглобальным. Это вытекает из вычисления термодинамической асимптотики интеграла методом перевала, причем поведение функции Jφc −K(φc ) вблизи максимумаабсолютно не влияет на термодинамическую асимптотику. Поэтому подобным жеобразом можно вычислить F (J) в случае многих переменных состояния.Хотя формула для F (J) очень похожа на преобразование Лежандра, а K(φc )выглядит как термодинамический потенциал при фиксированном φc , это лишьформальная аналогия.
В частности, K(φc ) может быть невыпуклым. Более того,для системы с нарушенной симметрией K(φc ) должен быть невыпуклым. Действительно, в пределе J → +0 максимум в формуле (3) должен достигаться приненулевом φc , что возможно только при невыпуклом K(φc ), типа показанного нарис. 1.Замечательно, что формула (3) согласована с условием выпуклости F (J). Действительно, используя неравенство maxx f (x) + maxx g(x) maxx [f (x) + g(x)], получимF (J1 ) + F (J2 )11= max[J1 φc − K(φc )] + max[J2 φc − K(φc )] 22 φc2 φcJ1 + J2J1 + J2φc − K(φc ) = F max.φc22Таким образом, связь φc с J (то есть уравнение состояния) определяется изусловия глобального минимума по φc “катастрофического” потенциалаU (φc , J) = K(φc ) − Jφc .Вследствие невыпуклости K(φc ) необходимое условие экстремума ∂U/∂φc = 0определяет на плоскости (φc , J) кривую со складкой (рис.
4). Рассмотрим вопрособ определении глобального минимума. Для участков кривой до точки 1 и послеточки 4 все очевидно: при фиксированном J имеется один минимум U (φc , J) по φc ,он же глобальный. В диапазоне (J(1), J(2)) имеется три экстремума для каждого J: два минимума (на кривых 1–2 и 3–4) и максимум (на кривой 2–3). Чтобывыяснить, какой из минимумов — A или B — является глобальным, вычислимразность U (B) − U (A). На кривой AB имеем ∂U/∂φc = 0 и ∂U/∂J = −φc , поэтомуU (B) − U (A) =AB∂U∂UdJ = −dφc +∂φc∂JABφc dJ == −(φc (B) − φc (A))J(A) +ABJ dφc .ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И КВАЗИСРЕДНИЕ БОГОЛЮБОВА9Глобальный минимум перескакивает с 1–2 на 3–4 (или обратно) при J(A), удовлетворяющем уравнениюJ dφc .(φc (B) − φc (A))J(A) =ABНетрудно видеть, что это как раз правило Максвелла. Теперь мы восстановимтермодинамический потенциал, зависящий от φc , интегрированием уравнения состояния один раз вдоль исходной кривой, а второй — вдоль достроенной по правилуМаксвелла.
Очевидно, в первом случае мы получим K(φc ), а во втором — G(φc )(рис. 5). Иначе говоря, связь K(φc ) с G(φc ) или правило Максвелла, переформулированное на языке потенциалов, звучит так: невыпуклый потенциал нужнодостроить прямолинейным участком. Этот участок можно построить, просто приложив к графику потенциала линейку, касательную к нему в двух точках.J24BAφc13KGРис. 4.
Правило Максвелладля уравнения состоянияφcРис. 5. Правило Максвелладля потенциалов5. Невыпуклые потенциалыРассуждения предыдущего раздела кажутся на первый взгляд не связаннымис основной темой работы. Однако мы видели, что в них естественно возникает потенциал K(φc ), который не обязательно является выпуклой функцией. Мыутверждаем, что K(φc ) как раз и есть эффективный потенциал. Иначе говоря,мы собираемся показать, что K(φc ) равен сумме всех сильно связных диаграмм снулевыми внешними импульсами.Рассмотрим функциональный интеграл, логарифм которого равен K(φc ): L(y) d4y δ φc − Ω1 φ(x)d4 x Dφ.e−ΩK(φc ) = expПерейдем к импульсному представлению поля φ(x): φ(x) = k eikx φ̃(k).
ТогдаL(y) d4 y δ(φc − φ̃(0)) k dφ̃(k) =e−ΩK(φc ) = exp = expL (y) d4 yk=0 dφ̃(k).Разложение в ряд теории возмущений дает всевозможные диаграммы с нулевымивнешними импульсами. Отличие этих диаграмм от обычных состоит в том, что10Д. В. ПЕРЕГУДОВво всех внутренних линиях стоят ненулевые импульсы. Легко понять, что такиедиаграммы не могут содержать связных, но не сильно связных частей: внутренняя линия, соединяющая две сильно связных части такой диаграммы, неминуемонесла бы нулевой импульс. Когда мы вычисляем логарифм, несвязные диаграммыудаляются обычным образом, и остаются только сильно связные.Итак, K(φc ) — эффективный потенциал. Мы уже знаем, как он связан с F (J).Связь определяется формулой (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
