zeta (1018234), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поскольку в литературе отсутствуют соответствующие утверждения относительно свойств конкретныхформ, мы приведем соответствующие утверждения и рассмотрим серию конкретных примеров, полезных для приложений.Решение задачи можно сформулировать следующим образом.Теорема. Пусть задана форма f (n, m) = an2 +bm2 , где a и b — взаимнопростыенатуральные числа, b нечетно, d = −4ab — дискриминант формы, ∆ = ab — ееступень. Предположим, что ∆ принимает одно из шестидесяти пяти удобных чиселЭйлера, то есть {∆ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28,1130, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 93, 102, 105, 112, 120, 133, 165,168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760,840, 1320, 1365, 1848}.Тогда при ∆ = 1 число rf (n1 ) = r(n1 , a, b) вычисляется по следующей формуле: −∆.(42)r(n1 , a, b) = 2−v χ2 χp dp|∆d|uЗдесь(43)v=t,если ∆ ≡ 1 (mod 4) или ∆ ≡ 0 (mod 8)t − 1, в противном случае,t — число простых делителей ∆, p — нечетное простое число, u =βp|n1 p ,p2∆гдеделителемn, а u —pβ n1 , то есть pβ — наибольшая степень p, являющаяся lαβγчасть числа n1 , взаимнопростая с 2∆.
Пусть n1 = 2k, ∆ = 2p|∆ ppp . −∆ Символ d , где d — нечетное число, означает обобщенный символ Якоби [15].Итак, в формуле (42) определены все величины, кроме χp и χ2 , вычислениекоторых мы дадим ниже.Вычисление χp = χp (n1 , a, b), где p|∆, то есть l > 0 и pl ∆.Пусть pl a∗ , (a∗ , p) = 1, то есть числа a∗ и p — взаимно простые [15], где a∗ ,a∗ — надлежащая перестановка чисел a, b.I. Рассмотрим случай β < l. Тогда −lp n1 a ∗1) β — четное, то χp = 1 +pβ/2 ,p2) β — нечетное, χp = 0.II. β ≥ l. Тогда1) β — четное, l — нечетное −l −l −p ∆ 1−p ∆β−lχp = 1 −1+ 1+pl/2ppp22) β — нечетное, l — четное −l −l −p ∆ 1−p ∆β − l + 1 l/2pχp = 1 −1+ppp23) l — нечетное −l β+1 −(l+β)∗pn1 ap ∆χp = 1 +p(l−1)/2ppВычисление χ2 = χ2 (n1 , a, b).Поскольку b — нечетное, то a = 2γ c, где c — нечетно и γ ≥ 0, n1 = 2α m, m —нечетно и α ≥ 0.12А.
С. ВШИВЦЕВ, А. Г. КИСУНЬКО, К. Г. КЛИМЕНКО, Д. В. ПЕРЕГУДОВI. γ — четное, α — четное.1) α ≥ γ1.1) если c ≡ b (mod 4), то в этом случае m−cχ2 = 1 + (−1) 2 2γ/21.2) если c ≡ −b (mod 4), то в этом случае1.2.1 при α = γ, χ2 = 2γ/21.2.2 при α > γ c+bc+bχ2 = 2 − (−1) 4 2γ/a + 1 + (−1) 4 (α − γ − 2)2γ/2−12) α = γ − 2 m−bχ2 = 1 + (−1) 2 2α/23) α ≤ γ − 43.1 m ≡ b (mod 8), в этом случаеχ2 = 2α/2+23.2 m ≡ b (mod 8), в этом случае χ2 = 0.II.
γ — четное, α — нечетное.1. 0 < α ≤ γ − 1, χ2 = 02. α ≥ γ + 1, тогда2.1 если c ≡ −b (mod 4), то c−bm−cχ2 = 1 + (−1) 4 + 2 2γ/22.2 если c ≡ b (mod 4), то c−bχ2 = 1 + (−1) 4 (α − γ − 1)2γ/2−1III. γ — нечетное, α — четное.1. при α ≥ γ − 11.1 если m ≡ b (mod 4), то γ−1m−bχ2 = 1 + (−1) 4 2 21.2 если m ≡ −b (mod 4), то γ−1m+bm−cχ2 = 1 + (−1) 4 + 2 2 22. α ≤ γ − 32.1 если m ≡ b (mod 8), то χ2 = 2α/2+22.2 если m ≡ b (mod 8), то χ2 = 013IV. γ — нечетное, α — нечетное.1. если α ≤ γ − 2, то χ2 = 02. если α ≥ γ, тогда имеем γ−1m−c2.1 m ≡ c (mod 4), χ2 = 1 + (−1) 4 2 2 γ−1m+cm−b2.2 m ≡ −c (mod 4), χ2 = 1 + (−1) 4 + 2 2 2Формулировка теоремы завершена и мы приступаем к рассмотрению примеров.Однако прежде заметим, что при ∆ = 1 (случай Якоби) формулу для r(n1 , a, b)необходимо умножить на 2.(44)Z(1, 1; s) = 4ζ(s)L(s, χ−4); Z(1, 2; s) = 2ζ(s)L(s, χ−4)(1 − 2−s + 21−2s )√√Z(1, 3; s) = 2ζ(s)L(s, χ−3)(1 + 21−2s ), Z(1, 2; s) = 2ζ(s)L(s, χ−8)√Z(1, 7; s) = 2ζ(s)L(s, χ−7)(1 − 2−s + 21−2s )√Z(1, 5; s) = ζ(s)L(s, χ−20) + L(s, χ−4 )L(s, χ5 )8.
Аналитическое продолжение L-функций ДирихлеКак уже говорилось, для вычисления эффективного потенциала нужно знатьаналитические свойства дзета-функции Эпштейна, в частности, важную роль играет ее аналитическое продолжение. В предыдущем разделе мы получили рядформул, которые сводят вычисление дзета-функции к вычислению L-функций Дирихле [14]. В этом разделе мы приводим (без доказательства) функциональныеуравнения для L-функций Дирихле, которые позволяют осуществлять аналитическое продолжение этих функций.В силу свойств характеров Дирихле χ2 (−1) = χ(1) = 1. Характер Дирихленазывается четным (нечетным), если χ(−1) = 1 (χ(−1) = −1).
Характер χ(n) называется примитивным характером (mod q), если q — наименьший период функции χ(n). Выражение(45)τ (χ) =qχ(m)e2πin/qm=1называется суммой Гаусса.Пусть χ(n) — четный примитивный характер, χ̄(n) — комплексно сопряженныйхарактер. Тогда1−sq 1/2 −s/2 s/2−(1−s)/2 (1−s)/2qΓq Γ(s/2)L(s, χ)(46)πL(1 − s, χ̄) =π2τ (χ)Для нечетного характера равенство выглядит по-другому:(47)2−ss+1iq 1/2 −(s+1)/2 (s+1)/2−(2−s)/2 (2−s)/2πqΓqΓL(1 − s, χ̄) =L(s, χ)π2τ (χ)2Как видно, для вещественных характеров приведенные соотношения действительно дают функциональные уравнения для L-функций Дирихле.
Оказывается, что14А. С. ВШИВЦЕВ, А. Г. КИСУНЬКО, К. Г. КЛИМЕНКО, Д. В. ПЕРЕГУДОВвещественныепримитивные характеры можно отождествить с символами Кронеdкера n , где d есть произведение взаимнопростых множителей вида −4, 8, −8,(−1)(p−1)/2 p (где p > 2), причем положительным d соответствуют четные характеры, а отрицательным d — нечетные.9. Модель Гросса—Неве на торе T 2Здесь мы вычислим эффективный потенциал модели Гросса—Неве изложеннымвыше методом на пространстве T 2 с граничными условиями разных типов и исследуем с его помощью спонтанное нарушение симметрии в этой модели.
Заметим,что в [16] предпринималаси попытка проведения изучения этой модели, однако онастрадает значительным числом недостатков. В частности, сами авторы [16] так ине сумели в дальнейших исследованиях обосновать предлагаемый вид приведеннойв работе фазовой диаграммы. С тем чтобы снять этот вопрос и проиллюстрировать предложенную нами процедуру, мы разберем данную модель в общем случаеграничных условий.
Лагранжиан имеет вид ˆ k + σ ψ̄k ψk − N σ 2 /2f,ψ̄k i∂ψ(48)L=kОднопетлевой эффективный потенциал равен(49)где(50)V (σc )/N = σc2 /2f − Ωab σc2Ω=ln 1 + 2 2(2π)2 p,qa p + b2 q 2Суммирование по q и p зависит от граничных условий. При периодических условиях суммирование идет по целым числам, при антипериодических — по полуцелым.Видно, что Ω соответствует нашим прежним обозначениям с точностью до замены m → σc и вычитания значения потенциала при σc = 0. Мы избежим проблемс нулевой модой, если будем рассматривать антипериодические условия по крайней мере по одной координате. Потенциал Ω представляется в виде суммы двухслагаемых, Ω1 и Ω2 . Для Ω1 формула (3) дает:σc2µ2(51)Ω1 =1 + ln 2 .4πσcБудем нормировать Ω1 условием:(52)!∂ 2 Ω1 !!=0∂σc2 !σc =σ0(Это означает, что производная от однопетлевого потенциала при a = 0, b = 0равна производной от древесной его части.) Тогдаσc2σ02(53)Ω1 =3 + ln 2 .4πσc15Другая распространенная параметризация — через положение минимума потенциала (то есть массу фермиона)!1 ∂V !!= 0.(54)N ∂σc !σc =MПараметры σ0 и M связаны равенством M = σ0 exp(1 − π/f ).
Часть Ω2 потенциала зависит от граничных условий. Мы собираемся рассмотреть два случая:1) антипериодические условия по координате (mod 2π/a) и периодические условияпо координате (mod 2π/b), 2) антипериодические условия по обеим координатам.Как было показано выше, нужно сначала вычислить потенциал с периодическимиусловиями по обеим координатам (см.
формулу (4)):σc2 1Γ(ν)Γ(ν − 1)Z(1/a, 1/b; ν)(π 2σc2 )−ν dν.(55)Φ(a, b; σc) = −4π 2πi CЗаметим, что произведение Γ(ν)Z(1/a, 1/b; ν) имеет, согласно (6), только два полюса: s = 0 и s = 1. Поэтому подынтегральное выражение имеет полюсы второгопорядка в точках s = 0 и s = 1 и полюсы первого порядка в точках s = −k,k = 1, 2, . . .a2ab πb+ ln 2 2 + I(b/a) −(56) Φ(a, b; σc) = − 24π 3a4π σcσc2σc2πb− ln 2 − I(b/a) + O(σc4 )−1 − 2γ −4π3a4bНужные нам потенциалы вычисляются теперь по формулам(57)ΩAP2 (a, b; σc ) = 2Φ(a/2, b; σc) − Φ(a, b; σc ) − [2Φ(a/2, b; 0) − Φ(a, b; 0)],(58)APAPΩAA2 (a, b; σc ) = 2Ω2 (a, b/2; σc ) − Ω2 (a, b; σc )(Индексы AP и AA означают периодичность (P ) и антипериодичность (A) по координате.) Мы находим(59)ΩAP2σc2σc2πb− ln 2 − 2I(2b/a) + I(b/a) + O(σc4 ),=−1 − 2γ −4πa4bΩAA2σc24σc2=−1 − 2γ − ln 2 − 5I(b/a) + 2I(2b/a) + 2I(b/2a) + O(σc4 )4πb(60)Имея явное выражение для потенциалов, мы можем исследовать спонтанное нарушение симметрии в модели.
Выпишем полностью эффективный потенциал V AP :(61) V AP (σc )/N = σc2 /2f +σ02σc2−2 − 2γ − ln 2 − 2I(2b/a) + I(b/a) + O(σc4 )+4π4bА. С. ВШИВЦЕВ, А. Г. КИСУНЬКО, К. Г. КЛИМЕНКО, Д. В. ПЕРЕГУДОВ16Условия стационарности гласят(62)1 ∂V AP= σc /f +N ∂σcσ02σπb− ln 2 − 2I(2b/a) + I(b/a) + O(σc3 ) = 0,+−2 − 2γ −2πa4bПо крайней мере в пределе a → 0, b → 0 точка σc = 0 не является минимумомпотенциала, поэтому будем считать, что и при некоторых ненулевых a, b это так.Мы можем тогда сократить на σ в уравнении:(63)1σ02πb1+− ln 2 − 2I(2b/a) + I(b/a) + O(σ 2 ) = 0,−2 − 2γ −f2πa4bПри σc2 = 0 мы получаем уравнение фазовой кривой:(64)1σ021πb+− ln 2 − 2I(2b/a) + I(b/a) = 0,−2 − 2γ −f2πa4bЕго можно упростить, введя перенормированные параметры2aππ2b(65)ã =expexp− 1 − γ , b̃ =−1−γ ,σ0fσ0fТогда(66)π b̃− 2 ln b̃ + 2I(2b̃/ã) − I(b̃/ã) = 0ãВведем параметр x = b̃/ã, тогда уравнение фазовой кривой записывается в параметрическом виде: πx+ I(2x) − I(x)/2 ,b̃ = exp2(67)ã = b̃/x.Поскольку I(x) достаточно быстро убывает при x → ∞, такое представление хорошо работает для x в интервале, скажем, x > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
