zeta (1018234), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Формулы подобного рода весьма специфичны, и возможность факторизациидвукратного ряда связана с тонкими арифметическими свойствами конкретныхчисел. Вполне вероятно, что число таких формул вообще конечно. В разделе 8приведены функциональные уравнения для L-функций Дирихле.
Они позволяютвыполнять необходимое аналитическое продолжение этих функций. Наконец, вразделе 9 мы применяем развитые методы к исследованию модели Гросса—Невена торе. Примененные нами методы позволили провести полный анализ уравнения стационарности и построить фазовый портрет системы при различных типахграничных условий.3.
Оператор Гельмгольца −∆ + m2 на цилиндре S 1 ×Rλ−1Рассмотрим “эффективный потенциал” оператора Гельмгольца на цилиндре:(5)Ω=+∞dλ−1 k a ln[k 2 + a2 (n + α)2 + m2 ].(2π)λ−1 2π n=−∞(Случай α = 0 соответствует периодическим, а α = 1/2 — антипериодическим граничным условиям.) Первым делом обезразмерим и регуляризуем это выражение.Рассмотрим−s+∞ 2k + a2 (n + α)2 + m2dλ−1 k a (6)Ω(s) =.(2π)λ−1 2π n=−∞µ2При s > λ/2 интеграл и ряд сходятся. Учитывая формулу (ax ) = ax ln a, будемпонимать расходящееся выражение (1) как предел при s → 0 производной от (2):(7)Ω = −Ω (s)|s=0 .Для вычисления Ω(s) прежде всего используем представление Швингера: ∞−sts−1 e−at dt.(8)a Γ(s) =05Тогда (2) примет вид:(9)µ2sΩ(s) =Γ(s)+∞ ∞dλ−1 k a s−1 −(k2 +a2 (n+α)2 +m2 )ttedt.(2π)λ−1 2π n=−∞ 0Теперь меняем местами интегрирование по k и суммирование по n с интегрированием по t, после чего интеграл по импульсам вычисляется, ряд же пересуммируемпо Пуассону:mλ µ 2s Γ(s − λ/2)+(10) Ω(s) =Γ(s)(4π)λ/2 m∞ ∞2 222µ2sts−1 (4πt)−λ/2 2e−π n /ta cos(2πnα) e−m t dt.+Γ(s) 0n=1Дальнейшего продвижения достигнем, представляя сумму в виде обратного меллиновского образа:∞∞ cos(2πnα) π −2ν2 221e−π n /ta cos(2πnα) =Γ(ν)dν,(11)2πi Cn2νan=1n=1где контур C — прямая, параллельная мнимой оси и лежащая справа от особенностей подынтегрального выражения.
После подстановки интеграл по t вычисляется,и мы находим:mλ µ 2s Γ(s − λ/2)+(12) Ω(s) =Γ(s)(4π)λ/2 m∞ cos(2πnα) πm −2νmλ µ 2s 2 1+Γ(ν)Γ(ν + s − λ/2)dν.2νΓ(s) 2πi Cna(4π)λ/2 mn=1Производная Ω (s) от первого слагаемого в (8) вычисляется по-разному в зависимости от того, является λ четным или нечетным:(−1)n m2nµ2 − n! (4π)n ψ(n + 1) + γ + ln m2 , при λ = 2n,(13)Ω1 =2n+1− mΓ(−n − 1/2),при λ = 2n + 1.(4π)n+1/2Производная от второго слагаемого равна:∞ cos(2πnα) πm −2νmλ2Γ(ν)Γ(ν − λ/2)dν.(14)Ω2 = −n2νa(4π)λ/2 2πi Cn=1Дальнейшее вычисление эффективного потенциала производится при помощи теоремы о вычетах.
Результат имеет характер разложения по степеням m/a.Стоящий здесь ряд в случаях α = 0 и α = 1/2 соответственно равен∞∞(−1)n−2νn= ζ(2ν),= (21−2ν − 1)ζ(2ν).(15)2νnn=1n=1В общем случае∞cos(2πnα)(2π)s[ζ(1 − s, α) + ζ(1 − s, 1 − α)]=(16)sn4Γ(s)cos(πs/2)n=16А. С. ВШИВЦЕВ, А. Г. КИСУНЬКО, К. Г. КЛИМЕНКО, Д. В. ПЕРЕГУДОВ4. Оператор Гельмгольца −∆ + m2 на торе T 2 ×Rλ−2Аналогичным образом может быть получено следующее выражение для “эффективного потенциала” оператора Гельмгольца на торе:−s+∞ 2k + a2 (n + α)2 + b2 (l + β)2 + m2dλ−2 k ab=(17) Ω(s) =(2π)λ−2 (2π)2µ2n,l=−∞λ=m(4π)λ/2×C µ 2s Γ(s − λ/2)mλ µ 2s 1 1+×mΓ(s)Γ(s) 2πi(4π)λ/2 mΓ(ν)Γ(ν + s − λ/2) +∞l,n=−∞(l,n)=(0,0)cos(2πnα) cos(2πlβ) (πm)−2ν dν,2222ν(n /a + l /b ) Производная от первого слагаемого в (13) уже обсуждалась, а производная от второго равна:(18)+∞ 1cos(2πnα) cos(2πlβ) mλ (πm)−2ν dν.Γ(ν)Γ(ν − λ/2) Ω2 = −λ/22πi C(n2 /a2 + l2 /b2 )ν (4π)l,n=−∞(l,n)=(0,0)В случае α = 0, β = 0 стоящая в формуле сумма называется дзета-функциейЭпштейна (1).
В случаях α = 1/2, β = 0 и α = 1/2, β = 1/2 сумма также сводитсяк Z-функции:(19)+∞l,n=−∞(l,n)=(0,0)(−1)n= 2Z(2a, b; ν) − Z(a, b; ν),(a2 n2 + b2 l2 )ν(20)+∞l,n=−∞(l,n)=(0,0)(−1)l+n= Z(a, b; ν) − 2[Z(2a, b; ν)+(a2 n2 + b2 l2 )ν+ Z(a, 2b; ν)] + 4Z(2a, 2b; ν) == (1 + 22−2ν )Z(a, b; ν) − 2[Z(2a, b; ν) + Z(a, 2b; ν)]Теперь мы сконцентрируемся на трех частных случаях: полностью периодическихграничных условий, полностью антипериодических и смешанных. Как видно, длядальнейших вычислений в формуле (4) необходимо знать аналитические свойстваи частные значения дзета-функции Эпштейна.5.
Аналитическое продолжение Z(a, b; s)Основной нашей целью в этом разделе будет аналитическое продолжение дзетафункции Эпштейна Z(a, b; s). Мы воспользуемся приемом, аналогичным тому, который использовал Риман для своей дзета-функции. Это приведет нас, во-первых,7к функциональному уравнению для Z(a, b; s), аналогичному римановскому, а вовторых, к формуле для вычисления Z(a, b; s) при любых s = 1.Выполним сначала некоторые приготовления. Введем функцию(21)ω(x) =+∞2e−πn x ,ω(1/x) = x1/2 ω(x).n=−∞Нам понадобится также функция θ(x) =ω(x).Будем вычислять (ab/π)s Γ(s)Z(a, b; s).(22)abπsΓ(s)Z(a, b; s) =abπs ∞e−πn x . Очевидно, что 2θ(x) + 1 =+∞∞02n=12e−x(an2 +b2 m2 ) s−1xdx.m,n=−∞(m,n)=(0,0)Совершим масштабное преобразование x = πt/ab.
Тогда(23)abπsΓ(s)Z(a, b; s) =0∞+∞ab 22e−πt b n + a m ts−1 dt.m,n=−∞(m,n)=(0,0)Если теперь в сумму (5) добавить член n = 0, m = 0, то она распадется на произведение ω-функций s ∞ tatbabωω− 1 ts−1 dt.Γ(s)Z(a, b; s) =(24)πba0Вспоминая ω-функции, найдем следующее соотношение для функции f (a, b; t) =ω(ta/b)ω(tb/a) − 1 11(25)f (a, b; t) =f a, b;+ 1 − 1.ttРазбиваем теперь интеграл по интервалу [0, ∞) на интегралы по отрезку [0, 1] иинтервалу [1, ∞) и делаем в первом из них замену f (a, b; t) по приведенной формуле.Получаем s 1 ∞ab11s−2− +Γ(s)Z(a, b; s) =f (a, b; 1/t)t dt +f (a, b; t)ts−1dt.(26)πs−1 s01Теперь в первом интеграле меняем переменную интегрирования t → 1/t и объединяя оба интеграла и выражая результат через θ-функции, окончательно найдем sab1+(27)Γ(s)Z(a, b; s) =πs(s − 1) ∞ dttatbtatb+2θ+ 2θ+ 4θθ(ts + t1−s ) .babat18А. С.
ВШИВЦЕВ, А. Г. КИСУНЬКО, К. Г. КЛИМЕНКО, Д. В. ПЕРЕГУДОВИнтегралы в правой части сходятся при любом s, таким образом мы получилианалитическое продолжение функции Z(a, b; s). Видно, что единственной особойточкой Z(a, b; s) является s = 1, в которой она имеет полюс первого порядка. Заметим, что правая часть симметрична относительно замены s → 1 − s, поэтомуимеет место функциональное уравнение 1−s sababΓ(s)Z(a, b; s) =Γ(1 − s)Z(a, b; 1 − s).(28)ππПриведем в заключение несколько сразу очевидных частных значенийπ(29)Z(a, b; 0) = −1, Res Z(a, b; s) = , Z(a, b; −k) = 0, k = 1, 2 .
. .s=1ab6. Формула аналитического продолжения для асимптотики a bВ предыдущем пункте мы получили формулу аналитического продолжения дляZ-функции. Для вычисления частных значений она не очень удобна, так как, вопервых, содержит интегралы с θ-функциями, а, во-вторых, явно симметрична по aи b. Не надеясь получить точное аналитическое выражение по a и b, мы должныстремиться найти хотя бы разложение при a b. Поэтому мы вернемся назад иполучим еще одно аналитическое продолжение для Z-функции, которое окажетсянесимметричным по a и b и будет давать быстро сходящийся ряд для Z при a b.Мы начнем с формулы (5) предыдущего пункта. Сумму по m разделим на двечасти: член с m = 0 и остаток: s ∞ ∞a 2abΓ(s)Z(a, b; s) =e−πt b n +2(30)π0n=1a+∞∞b−πt b n2 + a m2ts−1 dt.e+2m=1 n=−∞Интеграл от первой суммы сразу вычисляется, ряд по n пересуммируем по Пуассону s a −sabΓ(s)Z(a, b; s) = 2[π −s Γ(s)ζ(2s)] +(31)πb ∞ +∞∞πb 2b 2b2e− ta n −πt a m ts−1 dt.+at m=1 n=−∞0Теперь уже в сумме по n выделяем слагаемое с n = 0, оставшийся интеграл сводится к функции Макдональда s a −sabΓ(s)Z(a, b; s) = 2[π −s Γ(s)ζ(2s)] +(32)πb a s−1[π −s+1/2 Γ(s − 1/2)ζ(2s − 1)] ++2b∞b n s−1/2b+8Ks−1/2 2πmna m,n=1 ma9Ряд сходится (и достаточно быстро) при любых s, так что мы имеем аналитическоепродолжение Z-функции.
Используя функциональное уравнение для ζ-функции,можно переписать эту формулу в виде s a −sabΓ(s)Z(a, b; s) = 2[π −s Γ(s)ζ(2s)] +(33)πb a s−1[π s−1 Γ(1 − s)ζ(2 − 2s)] ++2b∞bb n s−1/2Ks−1/2 2πmn+8a m,n=1 maТеперь очевидно, что правая часть симметрична относительно замены s → 1 − s,поэтому мы опять получаем функциональное уравнение (7).Очевидно, что в случае a b первые два члена справа дают степенную и(возможно) логарифмическую асимптотику по a/b, сумма же дает вклад, пропорциональный exp(−2πb/a).Для целых s сумма может быть сведена к однократной. Например(34)Z (a, b; 0) =πba2+ ln 2 + I(b/a),3a4πгде I может быть записан в двух формах(35)I(x) = −4∞−2πnxln(1 − en=1∞11.)=42πnxne−1n=1Другой вариант однократной суммы получается, если представить сумму функцийМакдональда в виде∞b n s−1/2b(36) 8Ks−1/2 2πmn=a m,n=1 ma ∞ bb l−s+1/2 Ks−1/2 2πld2s−1 .=8aal=1d|l(Символ d|l означает, что суммирование ведется по делителям числа l).
Внутренняя сумма конечна и для небольших l вычисляется вручную, например3 −4πx 4 −6πx−2πx+ e+ e+...(37)I(x) = 4 e23Заметим еще, что, поскольку дзета-функция Эпштейна симметрична по a и b,функция I(x) также обладает некоторым свойством симметрии:(38)I(x) =πxπ−+ 2 ln x + I(1/x)3x310А.
С. ВШИВЦЕВ, А. Г. КИСУНЬКО, К. Г. КЛИМЕНКО, Д. В. ПЕРЕГУДОВ7. Частные значения дзета-функции ЭпштейнаИз интегрального представления для эффективного потенциала оператора Гельмгольца на торе T 2 × Rλ−2 следует, что мы должны изучить аналитические итеоретико-числовые свойства следующей функции:(39)Z(a, b; µ, ν; s) =+∞(a2 n2 + b2 m2 )−s cos(2πµn) cos(2πνm),m,n=−∞(m,n)=(0,0)через которую выражается эффективный потенциал (со спектром вида: k 2 +(a2 (n+µ)2 + b2 (m + ν)2 ).
Заметим, что случаи µ = 0, ν = 1/2; µ = 1/2, ν = 0; µ = 1/2,ν = 1/2 могут быть сведены к изучению случаев µ = ν = 0 с изменением масштабавеличин a и b. С учетом сказанного мы исследуем свойства функции вида(40)Z(a, b; s) = Z(a, b; 0, 0; s) =+∞(a2 n2 + b2 m2 )−sm,n=−∞(m,n)=(0,0)Величины a и b можно связать с периодами двумерной решетки, на которой определена функция Z(a, b; s).
В теории известны некоторые частные соотношения дляфункции Z(a, b; s), например, при a = b это так называемые маделунговские суммы. В настоящем разделе мы поставим задачу о возможном перечислении периодовa и b, при которых существуют соотношения аналитического типа. Нахождениесоотношений такого рода может оказаться полезным для физики кристаллов, атакже возможно позволит получить ряд простых результатов для эффективного потенциала в некоторых реперных точках, с которыми возможно сравниватьасимптотические результаты. Следует указать, что упрощение для представленияфункции Z(a, b; s) можно ожидать в том случае, когда ее представление в виде(41)Z(a, b; s) =+∞(a2 n2 + b2 m2 )−s =m,n=−∞(m,n)=(0,0)rf (n1 )n−s1 ,n1 ∈Nгде rf (n1 ) = r(n1 , a, b), в силу факторизации rf (n1 ) позволяет провести одно изсуммирований (по n или по m), приводящее к произведению известных теоретикочисловых функций: дзета-функции, L-функций Дирихле и элементарных. Такимобразом, задача, к которой мы пришли — исследование бинарной диагональнойквадратичной формы [14] вида f (n, m) = a2 n2 + b2 m2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
