amm (1018231)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Ω-ПОТЕНЦИАЛ ЧАСТИЦЫ С АММА. С. Вшивцев и Д. В. ПерегудовАннотация. В работе вычислен термодинамический потенциал нейтральных массивных частиц с аномальным магнитным моментом (нейтронного газа) в параллельных электрическом и магнитном полях и поле электромагнитной волны. Исследованывысокотемпературная (релятивистская), классическая и сугубо квантовая асимптотики.

Изучен предел m = 0, соответствующий нейтрино.1. Постановка задачиЦелью данной работы является вычисление Ω-потенциала теории с лагранжианом Дирака—Паули:(1)L = ψ̄ iγ∂ − m − 2i (γF γ) ψ,где F — внешнее электромагнитное поле. Как видно, это лагранжиан дираковского поля без заряда, но с магнитным моментом (величина магнитного моментавключена в F ).Спектр теории (1), необходимый для вычисления Ω-потенциала, исследовался вработе [1].

В случае однородных постоянных параллельных друг другу полей EиH22222(2)ε1,2 (p) = p + m + E + H ± 2 m2 H 2 + p2⊥ (E 2 + H 2 ).Здесь посредством ε21,2 символически обозначены две ветви, соответствующиезнаку ± перед радикалом, p2⊥ = p2 − p23 , а p3 — компонента импульса вдоль направления E и H.Условие E H физически означает отсутствие потока энергии: S = [EH] = 0.Случай этот не такой уж специальный, как может показаться, — с точностьюдо лоренцевского преобразования он охватывает все конфигурации полей, кромеполя электромагнитной волны (когда оба инварианта E 2 − H 2 и EH равны нулю).Спектр в поле электромагнитной волны имеет вид:ε1 (p) = −H + (p3 − H)2 + p2⊥ + m2 ,(3)ε2 (p) = H + (p3 + H)2 + p2⊥ + m2 ,где H(= E) — напряженность магнитного поля волны, p3 — компонента импульсав направлении распространения волны, p2⊥ = p2 − p23 .1Typeset by AMS-TEX2А.

С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВ2. Классическая статистическая суммамуВ качестве промежуточного шага вычислим классическую статистическую сум-(4)Z(θ) =e−εn /θnсо спектрами (2) и (3) (будем обозначать их соответственно Z и Z⊥ ). Начнем соспектра (3).d3 p −ε1 (p)/θ−ε2 (p)/θZ⊥ =e=+e(2π)3√22Hd3 p − p +mθ= 2 che.θ(2π)3(5)Иначе говоря, Z⊥ отличается от статсуммы без поля множителем ch H/θ. Для вычисления интеграла по импульсам избавимся от радикала в экспоненте. Это можносделать при помощи интегрального представления цилиндрических функций∞(6)0xν−1 e−px−q/x dx = 2Вспоминая, что K1/2 (x) =π−x,2x e∞(7)0 q ν/2p√Kν (2 pq ).для ν = 1/2 и p = 1 найдем√√dx√ e−x−q/x = πe−2 q .xПри такой “параметризации” интеграл по импульсам становится гауссовским илегко вычисляется.

Оставшийся интеграл по параметру x снимается при помощиформулы (6). Окончательноθm2H m.Z⊥ = 2 ch K2πθθ(8)Перейдем теперь к вычислению Z . Избавившись от радикала в экспоненте толькочто описанным приемом, найдем:1(9) Z =π∞0dx√xd3 p −x− pe(2π)32+m2 +E 2 +H 24θ2 x 2 m2 H 2 + p2⊥ (E 2 + H 2 ).2 ch4θ 2 xВзяв интеграл по p3 , приходим к выражению:(10)θZ =π0∞−x−dx em2 +E 2 +H 24θ2 x1I4θ 2 x,Ω-ПОТЕНЦИАЛ ЧАСТИЦЫ С АММ3где(11)I(s) = d2 p⊥ −sp2⊥2 H 2 + p2 (E 2 + H 2 ) .e2ch2sm⊥(2π)2Обезразмерим интеграл заменой:m2 H 2 + p2⊥ (E 2 + H 2 ) = (E 2 + H 2 )2 η 2 ,(12)s(E 2 + H 2 ) = σ,mEmH= α,= β.222E +HE + H2Следующую выкладку воспроизведем подробно:(13)22E2 + H2 ∞I=2η dη e−σ(η −α ) 2 ch(2ση) =4πα22E + H σ(α2 +1) ∞−σ(η+1)2−σ(η−1)2η dη e+e==e2πα ∞ ∞E 2 + H 2 σ(α2 +1)−σξ2−σξ2(ξ − 1)edξ +(ξ + 1)edξ =e=2πα+1α−1 α+1E 2 + H 2 σ(α2 +1) 1−σ(α2 +1)−σξ2ech(2ασ)e+edξ .=2πσα−1(Мы не стали выписывать интеграл через функцию ошибок — это ничего не дает.)Теперь для Z получим:(14)(m + H)2 + E 21222θ (m + H) + E K2+Z (θ) =2π 2 θθ2 + E2(m−H)+θ 2 (m − H)2 + E 2 K2+θ α+1 2 + H 2 )(ξ 2 + β 2 )(E.dξ ξ 2 + β 2 K1+θ(E 2 + H 2 )3/2θα−1Оставшийся в живых интеграл так просто не сдается.

Мы не будем пытатьсявычислить его на этом этапе.3. Ω-потенциалКак известно, Ω-потенциал вычисляется по формуле(15)Ω = −Tpεp −µ− T.ln 1 + e4А. С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВРаскладываем логарифм в ряд:∞(−1)n µ nΩ=TeTnn=1(16)εpe− T n.pВыражение в скобках — классическая статсумма. Учтем вклад античастиц (схимпотенциалом −µ) и получим формулу:(17)Ω = 2T∞(−1)n µ T chn Z.nTnn=1В поле волны:(18)∞ µ H m −2m m4 nn chnnn ,(−1) 2 chK2Ω⊥ = 2π n=1TTTTили, используя известную формулу тригонометрии:(19)∞ µ+Hm µ − H m −2m4 nΩ⊥ = 2n + chnnn .(−1) chK2π n=1TTTTВведем обозначение(20)Λν (ω, a) =∞(−1)n ch(ωan)(ωn)ν Kν (ωn).n=1Тогда (19) переписывается в виде(21)m4Ω⊥ = 2πΛ−2m µ+H,Tm+ Λ−2m µ−H,Tm.Аналогично для Z находим выражение:(22)22(m+H)+Eµ12,Ω = 2 (m + H)2 + E 2 Λ−2+πT(m + H)2 + E 2(m − H)2 + E 2µ22 2,+Λ−2+ (m − H) + ET(m − H)2 + E 2√ α+12 + H 2 β 2 + η2µE,√dη (β 2 + η 2 ) Λ−1+(E 2 + H 2 )2.TE 2 + H 2 β 2 + η2α−1Ω-ПОТЕНЦИАЛ ЧАСТИЦЫ С АММ54.

Высокотемпературная асимптотикаАсимптотику Ω-потенциала в области высоких температур m 1 (это условиеTозначает, что термостат способен легко рождать частицы) можно получить меллиновским пересуммированием исходного ряда [2]. Приведем выражения для Λ−1и Λ−2 , полученные этим методом:Λ−1 (ω, a) = −(23)−Λ−2 (ω, a) = −(24)−+π2a21 γ−+− −12ω 248 47ζ(3) 21 ω2ln 2 +(a + 1/4)ω 2 + . . .8 π16π 27π 4π2−(a2 − 1/2) −360ω 412ω 2a4a23γ+−++24864 16ω27ζ(3) 21ln 2 −(a + 1/6)ω 2 + . . .32 π64π 2В соответствии с (24)7π 2 T 4m2 T 2 µ2 + H 2− 1/2 −−(25) Ω⊥ = −1806m2m4µ4 + 6µ2 H 2 + H 4m2 22µ−−++H(3 − 4γ) +12π 24π 232π 2m4m27ζ(3) m6 µ2 + H 2+ln−+ 1/6 + .

. .16π 2 π 2 T 232π 4 T 2m2Вычисление Ω более сложно. Непосредственно формулы (23)–(24) дают:µ2 T 2T2 27π 2 T 4−+(m + E 2 + H 2 ) −180612µ4µ23 − 4γ 222222 22 2(m+−+(m+E+H)−+E+H)+4mH12π 2 4π 232π 2 (m2 + E 2 + H 2 )2 − 4m2 H 21 222 22 2++E+H)+4mH+(mln32π 2π4T 4mH(m2 + E 2 + H 2 ) (m + H)2 + E 2+ln−8π 2(m − H)2 + E 27ζ(3) 2 2µ (m + E 2 + H 2 )2 + 4m2 H 2 +−4232π T 2+ 1/6 (m + E 2 + H 2 )3 + 12m2 H 2 (m2 + E 2 + H 2 ) + α+1 T21 − 2γ 2µ2dη −(E + H 2 )(β 2 + η 2 ) −− 2++ (E 2 + H 2 )2124π8πα−1(26) Ω = −−(E 2 + H 2 )(β 2 + η 2 ) (E 2 + H 2 )(β 2 + η 2 )ln+8π 2π2T 26А. С. ВШИВЦЕВ И Д. В.

ПЕРЕГУДОВ22227ζ(3)(E+H)(β+η)+(E 2 + H 2 )(β 2 + η 2 ) µ2 ++...16π 4 T 24Помимо тривиального интегрирования степенных функций, в (26) встретится интеграл(27)2222dη (β + η ) ln(β + η ) =η32+ β η ln(β 2 + η 2 ) −344η2− η 3 − β 2 η + β 3 arctg933βОкончательный результат:7π 2 T 4m2 − E 2 − H 2T22(28) Ω = −+−µ ++18062(E 2 + H 2 )21(m2 + E 2 + H 2 )2 − 4m2 H 24222+2m(H−E)−−m+ln32π 23π4T 4µ4µ23 − 4γ 222222 22 2(m+−+(m−E−H)−+E+H)+4mH12π 2 4π 2 32π 2 1 − 2γ 2E2 + H2E2 + H21222 22 2+(E + H ) m ++ 2 m H + 2m E +−4π 236π32mE(m + H)2 + E 2m3 H 3m3 E 3arctgln+−−6(E 2 + H 2 )m2 − E 2 − H 212(E 2 + H 2 ) (m − H)2 + E 2 7ζ(3)(E 2 + H 2 )224222+−µ m + 2m (H − E ) −32π 4 T 2322m6m2+HE1++(3H 2 − E 2 ) m2 +− (E 2 + H 2 )3 + .

. .6233022+E2mHможет иначе быть записан как 2 arth m2 +E(Логарифм ln (m+H)2 +H 2 .)(m−H)2 +E 25. Классический случайВ классическом пределе выполняются соотношения(29)(m − H)2 + E 2 1,T(m − H)2 + E 2 > µ.(Первое означает, что термостат не способен рождать частицы, а второе — чтопаулиевским отталкиванием можно пренебречь.) В формуле (17) для Ω-потенциаланужно оставить только первый член(30)Ω = −T Z(T )eµ/T + . . .Ω-ПОТЕНЦИАЛ ЧАСТИЦЫ С АММ7В классической статсумме мы должны использовать разложение функций Макдональда:π −ze +...(31)Kν (z) =2zС учетом сказанного выражение для Ω⊥ принимает вид:Ω⊥ = −(32)T 5/2 m3/2H µ−m√ ch e T + . . .Tπ 3/2 2Выписать Ω с той же легкостью не удается. Промежуточное выражение выглядитустрашающе:√(m+H)2 +E 213/4−µ/T5/222T(m + H) + ETee+(33) Ω = −(2π)3/2√(m−H)2 +E 23/4Te−++ T 5/2 (m − H)2 + E 2√ α+1(E 2 +H 2 )(β 2 +ξ2 )T+ T 3/2 (E 2 + H 2 )5/4dξ (β 2 + ξ 2 )1/4 e−+...α−1Без особых потерь можно вычислить интеграл в случае α = E 2mH+H 2 1, β =mEE 2 +H 2 1.

С точностью до квадрата поля имеем:(34)µ−m1E2 3 mH 2 3 m m25/23/2+−+ 2e T T m1+ 2+...Ω = −+ 2m2Tm4TT(2π)3/26. Сугубо квантовый пределРассмотрим теперь ситуацию, когда(m − H)2 + E 2 1,(35)T(m + H)2 + E 2 µ(паулиевское отталкивание доминирует). Мы по-прежнему эксплуатируем асимптотику (31), но теперь уже в сумме (17) существенны все члены. Используя определение полилогарифма∞zn,Liν (z) =nνn=1(36)перепишем Ω⊥ в виде:(37)m4Ω⊥ =(2π)3/2Li5/2µ−m−H−e Tµ−m+H+ Li5/2 −e T+...8А. С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВОчевидно, мы должны строить аналитическое продолжение функции, определенной рядом (36), в область z > 1.

Воспользуемся формулойez1aiπν−a(z + a)ν zdz.(38)Liν (−e ) + e Liν (−e ) = −Γ(ν + 1) C(e + 1)2(Контур C идет вдоль вещественной оси и обходит точку ветвления сверху.) Насамом деле (38) — просто соотношение Жонкье, в котором правая часть представлена в виде интеграла. Для получения степенной по 1/a асимптотики бином(z + a)ν разлагается в ряд и почленно интегрируется (подробности см. в [3]). Приведем результат для Ω⊥ :23/2 m3/2(µ − m + H)5/2 + (µ − m − H)5/2 +(39) Ω⊥ = −15π 25π 2 T 2 +µ−m+H + µ−m −H +...8Разложение для Ω опять удается получить лишь в случае α 1, β 1.

Сохраняятолько первые поправки по температуре и полю, найдем:25/2 m3/2 (µ − m)5/25 E2 − H23 2E 2 + H 2+1++(40) Ω = −15π 28m24 m(µ − m)H2T25π 215++...+8 (µ − m)28 (µ − m)27. Нулевая массаИсследуем теперь перечисленные выше пределы в случае m = 0. Мы рассматриваем этот случай отдельно, так как он не может быть получен предельнымпереходом m → 0 в предыдущих формулах.Начнем с Ω⊥ . Поскольку теперь m = 0, всегда реализуется высокотемпературный (релятивистский) предел:(41)Ω⊥ = −T 2 (µ2 + H 2 ) µ4 + 6µ2 H 2 + H 47π 2 T 4−−180612π 2Для Ω все опять намного сложнее.

Высокотемпературную асимптотику можнополучить предельным переходом из формулы (28) (обозначим W 2 = E 2 + H 2 ):(42) Ω = −T 2 (µ2 + W 2/2)7π 2 T 4−−1806W4W2µ4µ2 W 2−ln−−−248π 2 π 2 T12π 2 4π 2γW 4 137ζ(3)W 4 22−µ− 2+W/10+...+π288 2496π 4 T 2Ω-ПОТЕНЦИАЛ ЧАСТИЦЫ С АММ9Классическая статсумма имеет вид (см. (14))(43) 1WW123Z = 2 T W K2ξ ξ dξK1+WπTT0(Интеграл выражается через функции Макдональда и Струве, но от этого малорадости.) В пределе WT 1 получаем(44)eµ/TΩ = − 2πT 2W 22T ++...24В сугубо квантовом случае, оставляя только первые поправки по полю и температуре:(45)25/2 W 3/2 µ5/2Ω = −15π 25W3 W25π 2 T 21−+++...6 µ8 µ28 µ28.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы