y-m (1018230), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Оператор квадратичнойформы на антикоммутативных переменных c и c∗ равен M, а на коммутативныхпеременных Q и λ имеет вид −1JˆDJˆ0Окончательно для Z0 находим выражение (восстанавливаем древесный член): −1 JˆD−1/2∗4×Z0 [j, η , η] = exp i L̄ d x Det M DetJˆ0i× exp −jµ (x) Gµν (x, y)jν (y) d4 x d4 y−2−1∗44− i η (x) M (x, y)η(y) d x d y ,ννгде Gµν = Π†µλ Dλσ Πσν . Граничные условия означают, что Gµν j ν удовлетворяет−1условиям излучения; это доопределяет Dµν . Оператор M не нуждается в доопределении, так как оператор M не содержит дифференцирований по времени.Функционал Z[j] вычисляется по формуле δδδeff4,,Z[j] = exp i Lintd x Z0 [j, η ∗ , η]η∗ =0,η=0 .∗iδjµ iδη iδηПОЛЯ ЯНГА—МИЛЛСА С ВНЕШНИМ ТОКОМ115. Поле “3λ”а) Постановка задачи.
Изложенную выше процедуру квантования и построениятеории возмущений применим теперь к одному частному случаю. Для согласования с [12] будем работать в евклиде. В качестве A возьмем (в некоторой — будемназывать ее “специальной” — системе отсчета):gAka = aδka ,A4a = 0.(Это и есть поле “3λ”). Константа a имеет простой смысл: Aµ Aµ = 3a2 /g 2 . Отметим еще µ µ = −2a2 . Соответствующий ток Jµ = −2a2 Aµ как раз соответствует“простому” случаю, причем:= 0Det M = Det −2a2 µ ∂ µ − 2a2Задачей этого раздела будет вычисление в явном виде пропагаторов духов (полейc и c∗ ) и глюонов (поля Q).б) Алгебра в специальном базисе.
Для реализации заявленной в пункте а)программы перейдем в импульсное представление (∂µ → ipµ , благо Aµ постоянны)и введем в импульсном пространстве удобный базис. Определим векторы:1εαβγµ εabc gAaα gAbβ gAcγ ,6a3lµ = (qµ − κuµ )/f, где qµ = pµ /a,uµ =κ = qµ uµ ,nµ (1) и1(pµ gAaµ pν gAaν )1/2 ,a2причем nµ (1)nµ (1) = nµ (2)nµ (2) = 1,f=nµ (2),nµ (1)nµ (2) = nµ (1, 2)uµ = nµ (1, 2)lµ = 0.В специальной системе отсчета:uµ = (0, 0, 0, 1),lµ = (p/|p|, 0),κ = p4 /a,f = |p|/a.Стало быть, uµ uµ = lµ lµ = 1, uµ lµ = uµ Aaµ = 0. Ясно, что uµ , lµ , nµ (1, 2) — базис вимпульсном пространстве.
Значитδµν = uµ uν + lµ lν + nµ (1)nν (1) + nµ (2)nν (2).Для полноты определим еще свертку с ε-символом:εµνλσ uµ lν nλ (1)nσ (2) = 1.В специальной системе отсчета:nµ (1, 2) = (n(1, 2), 0),n2 (1, 2) = 1,n(1, 2)p = 0,n(1)n(2) = 0,(p/|p|)[n(1) × n(2)] = 1.А. С. ВШИВЦЕВ И Д. В.
ПЕРЕГУДОВ12√Более удобными окажутся комбинации n±µ = (nµ (1) ± inµ (2))/ 2 векторов nµ (1, 2).Свойства:±+− −−n+n+n±µ uµ = nµ lµ = 0,µ nµ = nµ nµ = 0,µ nµ = 1.Разложение единицы и свертка с ε-символом:−− +δµν = uµ uν + lµ lν + n+µ nν + nµ nν ,−εµνλσ uµ lν n+λ nσ = −i.Полученный в импульсном представлении базис “спроецируем” теперь в изотопическое пространство. Определим векторы:βa = lµ gAaµ /a,aηa± = n±µ gAµ /a.В специальной системе отсчета βa = (p/|p|), ηa± = (n± ). Значитβa βa = ηa+ ηa− = 1,βa ηa± = ηa+ ηa+ = ηa− ηa− = 0,а разложение единицы и свертка с ε-символом имеют вид:δab = βa βb + ηa+ ηb− + ηa− ηb+ ,εabc βa ηb+ ηc− = −i.Перемножая векторы u, l, n± с β, η ± , получим базис в прямом произведении импульсного и изотопического пространств:ξ(i) = {n+ β, lη + , uη + ; n− β, lη − , uη − ; n− η − ; n+ η + ; n+ η − , n− η + , lβ, uβ},i = 1 .
. . 12Разложим Aaµ по этому базису:−− ++ −− +gAaµ = gAaν δµν = gAaν (uµ uν + lµ lν + n+µ nν + nµ nν ) = a(βa lµ + ηa nµ + ηa nµ ).Умножая Aaµ на β и η ± , получим формулы:lµ = βa gAaµ /a,±an±µ = ηa gAµ /a.−1Чтобы вычислить M , никаких приготовлений больше не нужно, а само вычисление элементарно, так что мы приведем здесь только результат (он получен в [12]):−1Mab =1 4δab − f 2 βa βb + 2if εacb βc.4a44 − f2ПОЛЯ ЯНГА—МИЛЛСА С ВНЕШНИМ ТОКОМ13в) Усреднение. Хотя это и не является необходимым для вычисления пропагаторов, рассмотрим усреднение произведений базисных векторов ξµa (i) по направлениям импульса в специальной системе (такие сведения могут пригодиться привычислении диаграмм).
Под усреднением мы понимаем следующую операцию:1... =dΩ . . . ,4πгде интегрирование ведется по телесному углу в импульсном пространстве в специальной системе.Вычисления производятся в два этапа. Сначала представляем четырехмерныевекторы через изотопические:±an±µ = ηa gAµ /a,lµ = βa gAaµ /a,причем uµ и Aaµ выносятся из-под интеграла как не зависящие от импульса.
Затем вычисляется среднее от произведения только изотопических векторов. Онополностью определяется тремя правилами:(1) отличны от нуля лишь средние четного числа векторов,(2) отличны от нуля лишь средние с равным числом “+” и “−”,(3) средние строятся из δ-символов, должны удовлетворять надлежащим условиям симметрии и условиям на свертки.Приведем результаты для отличных от нуля средних произведений двух и четырех векторов:βa βb = 13 δab ,βa βb βc βd =ηa+ ηb− = 13 δab ,115 (δab δcdβa βb ηc+ ηd− =215 δab δcd+ δac δbd + δad δbc ),−130 (δac δbd1ηa+ ηb− ηc+ ηd− = − 15δac δbd ++ δad δbc ),1(δ δ10 ab cd+ δad δbc ).г) Представление операторов.
Вычисление Gabµν — нетривиальная задача. Сначала введем матричное представление для операторов типа Aabµν . Определим матрицу Aij :a∗bAabµν = ξµ (i)Aij ξ ν (j)(∗ — комплексное сопряжение). Произведению операторов соответствует произведение матриц:νλa∗bν∗λa∗λAabµν Bbc = ξµ (i)Aij ξ ν (j)ξb (k)Bkp ξ c (p) = ξµ (i)Aij Bjp ξ c (p).Транспонированному оператору вовсе не соответствует транспонированная матрица. Введем альтернативное матричное представление операторов:∗abAabµν = ξ µ (i)Ãij ξν (j).Теперь:ba∗baa∗bA†abµν = Aνµ = ξ ν (i)Ãij ξµ (j) = ξµ (j)Ãij ξ ν (i),то есть транспонированному оператору соответствует матрица Æ .А. С.
ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВ14д) Вычисления. Перейдем непосредственно к вычислению пропагатора Gabµν . Мат−1 abрица оператора D µν выписана в [12]. Она распадается на блоки:σf + 1σκ−(q 2 + 1)(1),D−1(σ) = a2 σf + 1(f − σ)κ−(q 2 + 1) + f 2ij22σκ(f − σ)κ−(q + 2) + 2f σ + κσ = 1 : i, j = 1, 2, 3,σ = −1 : i, j = 4, 5, 6,(2)(σ) = a2 (−q 2 + 2f σ),D−1ijσ = 1 : i = j = 7,σ = −1 : i = j = 8,(3)=D−1ij−(q 2 + 3 + 2f )−1−(f + 2)−κf −2κ−1−(q 2 + 3 − 2f )= a2 ,fκ−(f + 2)f −2−(q 2 + 2 − f 2 )−κκfκ−(q 2 + 2 − κ 2 )i, j = 9, 10, 11, 12.Обращение дает:D(1) (σ) =11×22a 2q (σf − 2) + 4σfq 2 + 2 − 2f σq 2 (f σ − 1) + 2× q 2 (f σ − 1) + 2 (q 2 + 2)(f − σ)2 + 2f σκ(q 2 (f − σ) + 2f )σκq 2D(2) (σ) =11,22a −q + 2f σ(3)(3)D(3) = DA + DB ,−1 11 1 −1(3)DA = 2 f−f4aκ −κ(3)σκq 2κ(q 2 (f − σ) + 2f ) ,(q 2 + 2)κ 2 − 2f σf−f−f 2−f κκ−κ ,−f κ−κ 212×24a 4(q + 6q 2 − 4f 2 )−(q 2 + 2) −(q 2 + 2)2(f 2 + 2)2f κ2(f 2 + 2)2f κ −(q 2 + 2) −(q 2 + 2)×.2222−4f κ2(f + 2) 2(f + 2) −(f + 2)(q + 4)2f κ2f κ−4f κ−(κ 2 + 2)(q 2 + 4) + 8DB =Матрица Π (как, впрочем, и Π̃) распадается на такие же блоки (они не выписаныв [12]), которые мы обозначим Π(1) (σ), Π(2) (σ) и Π(3) (соответственно для Π̃):Π(1) (σ) =1 2 − σf1 − σf101 − σf10−σκσκ ,2 − σfΠ(3)11 1= 2 001 f1 −f0 20 0κ−κ ,02ПОЛЯ ЯНГА—МИЛЛСА С ВНЕШНИМ ТОКОМΠ(2) (σ) = 1,Π̃(1) (σ) =1 2 + σf1 + σf101 + σf1015Π̃(2) (σ) = 1,σκ−σκ ,2 + σfΠ̃(3)11 1= 2 001 −f1 f0 20 0−κκ .02Окончательное выражение для Gabµν :G(1) (σ) =121×22a 2 − σf 2q (σf − 2) + 4σff 2 − 2σf + 2 f 2 − 2σf + 2fκ,× f 2 − 2σf + 2 f 2 − 2σf + 2fκ22fκfκf − 2σf + 2κG(2) (σ) =11,22a −q + 2σf11×24a 4(q + 6q 2 − 4f 2 )2(f 2 + 2)2f κ−(q 2 + 2) −(q 2 + 2)2(f 2 + 2)2f κ −(q 2 + 2) −(q 2 + 2)×.22222−f κ(4 + q )2(f + 2) 2(f + 2) −(f + 2)(q + 4)−(κ 2 + 2)(q 2 + 4) + 82f κ2f κ−f κ(4 + q 2 )G(3) =Таким образом, мы впервые в явном виде построили пропагатор глюонов в поле “3λ”.
Сделаем теперь одно замечание по поводу полученных результатов. Послевычисления становится видна особенность пропагаторов. В то время как G(1) (σ)и G(2) (σ) при устремлении импульсной переменной p к бесконечности ведут се−1бя как 1/p2 , пропагатор Mи часть G(3) ведут себя ∼1.
Теория, стало быть,неперенормируема по индексу.ЗаключениеВ работе исследована гамильтонова структура теории Янга-Миллса с внешним током. Подобная схема — один из ответов на вопрос, как строить теорию вокрестности внешнего поля, не являющегося решением классических лагранжевыхуравнений. Показано, что гамильтонова структура теории (вопреки ожиданиям)достаточно сложна и зависит от внешнего тока. Гамильтонова теория с неабелевым током без нулевой компоненты исследована достаточно подробно. Произведенопостроение соответствующей квантовой теории и вычислен пропагатор в популярном поле “3λ”.Литература1.2.3.4.P. A.
M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A109 (1925), 642.P. A. M. Dirac, Can. J. Math. 2 (1950), 129.C. N. Yang, R. L. Mills, Phys. Rev. 96 (1954), 191.L. D. Faddeev, V. N. Popov, Phys. Lett. B25 (1967), 29.165.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.А. С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВЛ. Д. Фаддеев, ТМФ 1 (1969), 3.Д. М. Гитман, И. В. Тютин, Каноническое квантование полей со связями, М. Наука, 1986.G. K. Savvidi, Phys. Lett. B71 (1977), no. 1, 133.N. K. Nielsen, P. Olesen, Nucl.
Phys. B144 (1978), 376.В. В. Скалозуб, ЯФ 28 (1978), 228.L. S. Brown, W. I. Weisberger, Nucl. Phys. B157 (1979), no. 2, 285.А. С. Вшивцев, В. Ч. Жуковский, А. О. Старинец, Изв. Вузов. Физика 11 (1992), 65.А. Кабо, А. Е. Шабад, Труды ФИАН 192 (1988), М. Наука, 153.В. Г. Багров, А. С. Вшивцев, С. В. Кетов, Дополнительные главы математической физики(калибровочные поля), Томск, Изд. Томского университета, 1990.R. Roskies, Phys. Rev. D15 (1977), no.
6, 1722.T. T. Wu, C. N. Yang, Phys. Rev. D12 (1975), 3843.А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, М. Наука, 1988.И. Я. Арефьева, А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, ТМФ 21 (1974), no. 3, 311.Московский институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)117454, Проспект Вернадского, 78, Москва, Россия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
