y-m (1018230), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Видно, что абелевость тока напрямую связана с“калибровочностью” теории, то есть наличием в ней связей первого рода (а значити калибровочного произвола). Легко усмотреть, что бесконечно малые калибровочные преобразования описываются формулой δVµa = ∇abµ (lb δα) (α — параметрпреобразования). Одновременно на ток оказывается наложено условие (непротиворечивости лагранжевых уравнений движения) ∂µ J µ = 0.Заряд же оказался связанным с числом физических степеней свободы (если втеории N степеней свободы, F связей первого рода и S связей второго рода, точисло физических степеней свободы P вычисляется по формуле P = N − F − S/2).Если заряда нет, их шесть (как в “простом” случае), иначе — семь.Поскольку условие J0 = 0 не является лоренц-инвариантным, мы вынужденыпризнать, что, несмотря на формальную инвариантность лагранжиана, теорияне является лоренц-инвариантной.

Интересно также, что условие J0 = 0 может выполняться только для пространственно-подобного тока, то есть для случаяJµ1 J1µ < 0, Jµ2 J2µ < 0, Jµ3 J3µ < 0.А. С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВ6в) Обобщенный гамильтонов формализм в остальных случаях (результаты). В соответствие с пунктом б) имеются четыре типа гамильтонова формализма для модели (*). Один из них был подробно рассмотрен в пункте а). Неповторяя здесь всех рассуждений, приведем результаты построения гамильтоноваформализма в остальных случаях (везде предполагается ∂0 Jµa = 0).Неабелев ток с зарядом. Связи:ϕ = E0 χ = ∇k Ek + J0ψ = ∇µ J µω = J0 Jˆk (∇k V0 − E k ).Скобки Пуассона:0 0{Ψ(x, t), Ψ(y, t)} =  Jˆ0−J0 M0χ̂ − Jˆ0−M?Jˆ0M†0?M† J0?  δ(x − y).? 0Det{Ψ, Ψ}|Ψ=0 = Det4 M∗ , где M∗ = J0 M J0 (оказывается, что M∗ — операторумножения, а не дифференциальный).Абелев ток без заряда.

Пусть изотопические векторы la , ma , na составляютправую тройку. Связи первого рода: Φ = la ϕa , X = ζa ϕa + la χa . Связи второгорода ϕ∗∗ . . . ω ∗∗ , где ϕ∗∗ = g(ϕm , ϕn ) и т. д., ϕm = ma ϕa , ϕn = na ϕa и т. д., аϕa . . . ωa — те же, что в “простом” случае. Скобки Пуассона:00000−ψ ∗∗00−χ∗∗−ψ ∗∗ {X, ω ∗∗ }  00000(M∗∗ )†  0{Ψ(x, t), Ψ(y, t)} =  δ(x − y).χ∗∗0?(M∗∗ )†? 00− M∗∗0?0ψ ∗∗∗∗???ψ ∗∗ {ω ∗∗ , X} − MВектор ζa выбирается так, чтобы {X, ω ∗∗ }|Ψ=0 = 0 и ζa la = 0. Это можно сделатьоднозначно в предположении:mMm mMn∗∗= 0.Det M = DetnMm nMnАбелев ток с зарядом. Связи первого рода: Φ = la ϕa , X = la χa . Связи второгорода: ϕ∗∗ . . .

ψ ∗∗ , где ϕ∗∗ и т. д. определяются аналогично предыдущему случаю,но с ϕa и т. д. из случая неабелева тока с зарядом. Скобки Пуассона:000000−ψ ∗∗ 00−χ∗∗000Jˆ0∗∗ {Ψ(x, t), Ψ(y, t)} =  δ(x − y).0∗∗ˆ 0 χ∗∗0(χ̂ − J0 )? 0 ψ ∗∗ Jˆ0∗∗?0Величины Jˆ0∗∗ и (χ̂ − Jˆ0 )∗∗ определяются аналогично M∗∗ из предыдущего случая. Определитель матрицы из скобок Пуассона связей второго рода равен (наповерхности связей) (gJ0 )6 .ПОЛЯ ЯНГА—МИЛЛСА С ВНЕШНИМ ТОКОМ73.

Квантование с использованием континуального интегралаЗдесь мы продолжаем рассуждения пункта 2а. Нашей целью будет выражениедля производящего функционала Z функций Грина через континуальный интеграл.а) Гамильтонизация теории со связями второго рода. В пункте 2а построен обобщенный гамильтонов формализм для “простого” случая. Следующий шагк квантованию состоит в построении гамильтонова формализма. Для теории сосвязями второго рода (каковой является “простой” случай) это построение производится по следующей схеме.

Скобка Пуассона невырождена на поверхностисвязей Ψ = 0, значит можно ввести на ней канонические координаты (p∗ , q ∗ ), которые назовем физическими. Дополняя их координатами (p, q) до полной координатной системы в фазовом пространстве, произведем каноническое преобразование(E, V ) → (p∗ , q ∗ ; p, q). При этом связи Ψ = 0 перейдут в (p = 0, q = 0), а уравнениядвижения примут вид:η̇ = {H, η} + d3 x (u(x) {p, η} + w(x) {q, η})p = 0,q = 0.Для физических переменных (зависящих лишь от p∗ и q ∗ ), уравнения движениягамильтонизуются:η̇phys = {Hphys , ηphys } ,Hphys = H|p=0,q=0 .б) Физические переменные свободной теории. Поскольку практически приходится иметь дело с теорией возмущений, достаточно построить физические переменные свободной теории, соответствующей теории пункта 2а.

Для этого надопросто оставить в лагранжиане (*) не более чем квадратичные по полям члены иповторить рассуждения пункта 2а. Результаты легко предугадать. Гамильтонианквадратичен:H0∗=E 2 + 12 (∇k Qm − ∇m Qk )2 − Qm F̄ˆ mk Qkk− Q0 (∇k E ) + uE0 ,d x23где Qµ = Vµ − Aµ . Связи линеаризуются:ϕ = E0 χ = ∇k E kψ = −Jˆk Qkkω = Jˆk (∇ V0 − E k )†Скобки Пуассона (здесь M = M, см.

пункт 2a):0 0{Ψ(x, t), Ψ(y, t)} = 0−M00−M00M0ˆ−Jk JˆkM0  δ(x − y).ˆJk Jˆk0А. С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВ8Сравнительно легко разделить физические и нефизические переменные, например,нефизические:−1−1Jˆk (Qk + Jˆk M E0 )p1 = ∇k E kq1 = − Mkp2 = Jˆk (∇ Q0 − E k )q2 = Mp∗n = Πnk E kqn∗ = Π†nk (Qk + Jˆk M−1E0физические:−1E0 ).−1Здесь Πnk = gnk − Jˆn M ∇k — проекционный оператор на “физическое подпространство”.

Обратные формулы:−1−1(p2 + Jˆk (p∗k + Jˆk M p1 ))E0 = M q2Q0 = M−1Ek = p∗k + Jˆk M p1Qk = qk∗ − Jˆk q2 − ∇k q1 .Скобка Пуассона физических переменных:{p∗m (x, t), qk∗ (y, t)} = Πmk δ(x − y).Физический гамильтониан:H0phys=(∇n qk∗ − ∇k qn∗ )2 − 2qn∗ F̄ˆ nk qk∗(p∗n )2+d x.243Особенность предъявленной свободной теории — априори “потенциальная энергия” не является положительно определенной.

В разделе 5 мы увидим, что длявнешних полей определенной конфигурации действительно существует “тахионнаямода”, то есть область значений импульсов, при которых частота чисто мнима.в) Производящий функционал функций Грина. Не повторяя всех рассуждений, вполне аналогичных таковым для теории без внешнего тока [16], напишемвыражение для Z в физических переменных:Z[j] = ∗ ∗∗ ∗∗ ∗4exp i (p q̇ − Hphys (p , q ) + j q ) d x Dp∗ Dq ∗(H — трехмерная плотность гамильтониана), причем на q ∗ наложены условияизлучения [16].

Далее, используя технику, предложенную в [6], можно перейти кисходным переменным (E, V ):Z[j] = µk4exp iEµ V̇ − H(E, V ) + jk Q d x Det1/2 {Ψ, Ψ} δ(Ψ) DE DVПОЛЯ ЯНГА—МИЛЛСА С ВНЕШНИМ ТОКОМ9(здесь Ψ — связи, см. 2а, а для симметрии введены источники к нефизическимполям). Дальнейшие преобразования выполним более подробно.

(Символ DE означает интегрирование по пространственным компонентам.) E2 + B2µkk4Z[j] = exp iEµ V̇ −+ Jk V + jk Q d x ×2× Det2 M δ(E0 )δ(∇k E k )δ(∇k J k )δ(Jˆk (∇k V0 − E k )) DE DV = E2 + B2kkk4= exp iEk V̇ −+ Jk V + jk Q d x ×2× Det M δ(∇k E k )δ(∇k J k ) DE DV = E2 + B2kkkk4= exp iEk V̇ −+ Jk V + V0 (∇k E ) + jk Q d x ×2× Det M δ(∇k J k ) DE DV = 4k= exp iL + j Qk d x Det M δ(∇k J k ) DV(в таком виде Z выписан в [12]).

Итак:Z[j] = 4kexp iL + jk Q d x Det M δ(∇k J k ) DV,а на Π†nk Qk наложены условия излучения.Сделаем одно замечание. Если рассматривать обычные калибровочныепреобраα µзования δVµ = ∇µ δα (α — параметр преобразования), то Det M δ(∇µ J ) dα = 1,что очень похоже на соотношение [16] Det Mc δ(∂ k Vkα ) dα = 1 в обычной теории.Следует лишь помнить, что “перейти к другой калибровке” нельзя, ибо лагранжиан (*) не калибровочно инвариантен.4. Разложение по теории возмущенийВычисление Z[j] по теории возмущений производится стандартным образом.Вводятся антикоммутирующие духи ca и c∗a , после чегоZ[j] = 4∗kkexp iL + c M c + λ∇k J + jk Q d x Dc∗ Dc DQ Dλ.В показателе экспоненты выделяется квадратичная форма211ˆ µν Q + c∗ M c − λJˆ Qk .Leffνk0 = − 4 (∇µ Qν − ∇ν Qµ ) + 2 Qµ F̄Остаток обозначим Leffint :µ ν2∗ ˆk11Leffint = − 2 (∇µ Qν − ∇ν Qµ )Q̂ Q − 4 (Q̂µ Qν ) + c Jk Q̂ c.А.

С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВ10 Далее вычисляется Z0 [j, η ∗ , η] (мы временно опускаем древесный член exp i L̄ d4 x ,L̄ = − 14 F̄µν F̄ µν + Jµ Aµ ): eff 4∗µ∗∗Z0 [j, η , η] = exp iL0 + jµ Q + η c + c η d x Dc∗ Dc DQ Dλ.Поскольку это гауссов интеграл, то его значение равно значению подынтегрального выражения в экстремуме. Уравнения для определения экстремума таковы:µˆµµˆ ∇µ (∇ Qν − ∇ν Q ) + F̄ νµ Q − Jν λ + jν = 0M c + η = 0, M c∗ + η ∗ = 0 ˆ νJν Q = 0.−1D−1νµТогда имеем уравнения:η, c∗ = − M−1η ∗ .

Для дальнейшего обозначимαα= gνµ ∇α ∇ − ∇µ ∇ν +F̄ˆ νµ = gνµ ∇α ∇ +2F̄ˆ νµ − ∇ν ∇µ .Сразу находим c = − MµˆD−1νµ Q − Jν λ + jν = 0Jˆµ Qµ = 0.ˆПодействуем на первое оператором ∇ и учтем, что ∇ D−1νµ = −Jµ (последнееравенство проверяется непосредственно или при помощи калибровочных сообраνν−1жений, см. [12]). Мы найдем − ∇ Jˆν λ + ∇ jν = 0, то есть λ = M ∇ν j ν . Тогда−1Qµ = − Dµν Πνσ j σ , где Πνσ = gνσ − Jˆν M ∇σ — уже знакомый оператор.Мы могли бы сейчас подставить полученные решения в показатель экспонентыи вычислить Z0 , но поступим совсем аккуратно: вычислим еще предэкспоненту.Как известно, она равна определителю квадратичной формы в Leff0 (если интегрирование ведется по антикоммутирующим переменным) или обратному корню изнего (если переменные интегрирования коммутативны).

Характеристики

Список файлов учебной работы