kxd3 (1018217), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Например, для группы SU(2) ифермионов в фундаментальном представлении A = −2, B = 1/2, для группы SU(3)и фермионов в фундаментальном представлении A = −3, B = 1/2.Сделаем два важных замечания. Нетрудно видеть, что эффективный лагранжиан содержит кроме логарифмических еще и квадратично расходящиеся члены. Дляих устранения нужны контрчлены типа глюонной массы, нарушающие калибровочную инвариантность. На самом деле калибровочная инвариантность не нарушается,а неинвариантные контрчлены глюонной массы нужны потому, что промежуточная регуляризация обрезанием не является инвариантной.
При использовании инвариантной промежуточной регуляризации (например, размерной) необходимости внеинвариантных контрчленах не возникает.Если фоновое поле характеризуется всего одним размерным параметром, то вычислять конечную часть эффективного лагранжиана нет смысла. Ее зависимостьот фонового поля очевидна из соображений размерности, а коэффициент все равнопоглощается при перенормировке. Поэтому для фоновых полей такого типа вычисленная расходящаяся часть представляет собой полный однопетлевой вклад.Нетрудно видеть, что коэффициент в формуле (30) в точности равен однопетлевой β-функции.
По-видимому, впервые этот результат был получен т’Хоофтом [49]методом фонового поля, и, конечно же, не является случайным. Для определения βфункции нужно вычислять буквально те же диаграммы, что и для эффективноголагранжиана.6 ЗаключениеВ этом заключении нам хотелось бы обсудить историю вопроса и статус полученныхрезультатов. Существует довольно много работ по рассматриваемой тематике, и мыпопытаемся их расклассифицировать и дать им критическую оценку.В литературе не существует единого мнения о том, чему посвящены работы “поисследованию вакуума КХД”.
Скорее существует несколько направлений, причем ихотношение друг к другу остается совершенно неясным. Мы выделим и опишем три11направления: теория во внешнем поле, метод фонового поля и метод эффективногопотенциала.Теория во внешнем поле пришла к нам из электродинамики, где внешнее (электромагнитное) поле имеет четкий экспериментальный статус. Внешнее поле в электродинамике вводится [39] посредством добавления к лагранжиану члена−ψ̄(x)γµ ψ(x)Aµext (x).(31)Отсутствие четкого смысла внешнего поля в неабелевых теориях и наличие самодействия калибровочных полей привело к тому, что этот рецепт был заменен на сдвигполя в лагранжиане(32)L(A) → L(A + Aext ).Нетрудно проверить, что эти два рецепта совпадают только для электродинамикии при условии, что внешнее поле удовлетворяет классическим уравнениям (уравнениям Максвелла с нулевым током). В теориях во внешнем поле внешнее поле является параметром лагранжиана, таким же, как масса фермиона.
Введение внешнегополя нарушает пуанкаре-инвариантность. При способе введения (31) сохраняетсякалибровочная инвариантность, при способе введения (32) в неабелевой теории калибровочная инвариантность нарушается. Кроме того, в “сдвинутом” лагранжианеприсутствуют, вообще говоря, линейные по полю члены. Для того чтобы их не было,нужно потребовать, чтобы внешнее поле удовлетворяло классическим уравнениям.В методе фонового поля фоновое поле является вспомогательной величиной, и,вообще говоря, должно быть положено равным нулю после всех вычислений.
Какписал сам создатель метода фонового поля ДеВитт [40], метод фонового поля былсоздан по образцу метода источников Швингера. В работах по методу фонового поляостается крайне неясной постановка задачи и цель исследований. Как писал тот жеДеВитт, суть метода состоит в изучении отклика различных амплитуд на изменениефона. Фоновое поле вводится в лагранжиан согласно формуле (32), причем требуется, чтобы оно удовлетворяло классическим уравнениям. Вводится также совершеннопротиворечивое требование, чтобы “сдвинутый” лагранжиан оставался калибровочно инвариантным.Наиболее последовательным, на наш взгляд, является метод эффективного потенциала, хотя и он не свободен от недостатков.
Первоначально он был предложен дляскалярных полей [41] и представлял собой модификацию метода квазисредних Боголюбова. Целью метода является выяснение наличия или отсутствия спонтанногонарушения симметрии в теории (разумеется эта симметрия у теории должна быть— обстоятельство, на которое совершенно не обращается внимания в других методах). Как известно, метод квазисредних состоит в добавлении к лагранжиану члена,нарушающего симметрию и пропорционального “источнику”.
Далее изучается предел выключения источника в производящем функционале связных функций Грина. Вметоде эффективного потенциала предполагается, что член, нарушающий симметрию, линеен по полю (так оно и есть для скалярных полей). Тогда можно следатьпреобразование Лежандра и перейти от источника к “среднему полю” и одновременно к производящему функционалу сильно связных функций Грина — эффективномупотенциалу. Вместо исследования предела выключения источника в производящемфункционале связных функций Грина нужно исследовать минимум эффективного12потенциала.
Ненулевое значение “среднего поля” в минимуме сигнализирует о спонтанном нарушении симметрии.Однако механический перенос этого рецепта на калибровочные теории вызывает нарекания, так как, в отличие от среднего скалярного поля среднее потенциалакалибровочного поля не является наблюдаемой величиной, и вряд ли возможно судить о нарушении симметрии по значению этого среднего.
Кроме того, нарушается ипуанкаре-инвариантность. Нам представляется, что в калибровочных теориях нужнопо-другому строить член, нарушающий симметрию, он уже не будет линеен по полю,а тогда вся схема метода эффективного потенциала должна быть пересмотрена.Самый популярный способ вычисления эффективного потенциала основан на работе Джакива [42] и состоит в вычислении суммы всех сильно связных диаграмм втеории с лагранжианомL(A + Ac ) − (∂L(Ac )/∂Ac )A.(33)Это сдвинутый лагранжиан, из которого линейные члены выкинуты насильно. Классическое поле Ac не обязано поэтому удовлетворять классическим уравнениям движения. Сходство (32) и (33) породило сильную путаницу.Теперь, когда мы изложили различные подходы к “проблеме вакуума КХД”, мыможем обсудить литературу.
Нам хотелось бы начать с работ по теории с внешнимполем. Первой должна быть упомянута работа Гейзенберга и Эйлера [43], в которойбыла вычислена фермионная петля во внешнем однородном магнитном поле. Этотрезультат был интерпретирован различными способами, в том числе и как радиационная поправка к уравнениям Максвелла. В точности по образцу работы Гейзенбергаи Эйлера выполнена работа Саввиди [1].
Различие в том, что одно и то же поле былои внешним, и распространяющимся по петле, и внешнее поле было введено сдвигомв лагранжиане. Для интерпретации результат вычислений был назван энергией вакуума. Было обнаружено, что минимум этой энергии достигается при ненулевомполе.Успех модели вакуума Саввиди вызвал к жизни обширную деятельность в этойобласти. Особенно соблазнительными были внешние поля, построенные из постоянных потенциалов, так как они сохраняли трансляционную инвариантность, чтодавало возможность употреблять стандартную диаграммную технику в импульсном представлении.
Браун и Вайсбергер [12] расклассифицировали такие поля, однако нашли, что ни одно из них не удовлетворяет уравнениям Янга-Миллса (точнее,постоянным полям, удовлетворяющим уравнениям Янга-Миллса, соответствует нулевой тензор энергии-импульса). Не зная, что делать с возникающим в сдвинутомлагранжиане линейном по полям члене, они предложили заранее добавлять к лагранжиану Янга-Миллса член с источником, который бы компенсировал линейный член,возникающий при сдвижке. Ясно, что “исправленный” таким образом лагранжианхотя и порождает уравнения, имеющие решением заданное внешнее поле, одновременно теряет все симметрии (в том числе и калибровочную), кроме трансляционной.Впервые на такой лагранжиан как на возможную основу теории посмотрели Кабо и Шабад [21].
Им пришлось заново произвести квантование, так как оказалось,что для определенных внешних полей (в частности, для поля “3λ”, рассмотренногов работе) теория является теорией со связями второго рода. Хотя выражение дляпроизводящего функционала функций Грина выписано верно, в работе Кабо и Ша13бада содержится огромное число ошибок. В частности, неверно вычислен гауссовфункциональный интеграл, дающий выражение для глюонной и духовой петель вовнешнем поле. Вычисленная на основе этого неверного выражения величина названаэффективным действием, и сделан вывод, что, в отличие от модели Саввиди, нетривиальное вакуумное состояние с рассмотренной конфигурацией поля энергетическиневыгодно. Вшивцев, Жуковский и Старинец [44], также взяв за основу неверно вычисленный гауссов функциональный интеграл из работы Кабо и Шабада, вычислилине только бестемпературное эффективное действие, но и его температурную зависимость.
Бестемпературный результат совпал с результатом Кабо и Шабада. Чтокасается температурной зависимости, то тут авторы пришли к парадоксальномувыводу о том, что при повышении температуры может возникнуть нетривиальноевакуумное состояние (хорошо известно, что оно может только испариться). Положение было до некоторой степени прояснено в работе Вшивцева и Перегудова [20].Взяв за основу тот же лагранжиан с внешним источником, авторы последовательнопровели процедуру квантования, которая (как и структура получающейся теории)оказалась зависящей от внешнего источника, другими словами, от внешнего поля.Было показано, что для внешнего поля, рассмотренного Кабо и Шабадом, теория является неперенормируемой. Был правильно вычислен гауссов функциональный интеграл, соответсвующий петле во внешнем поле. Из результата вычислений видно,что он не имеет ничего общего с аналогичной величиной в калибровочных теориях,в частности, вклад временных глюонов вовсе не составляет половину вклада духов.Обратимся к работам по методу эффективного потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
