kxd3 (1018217), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Применение этой техники к амплитудам, порожденным генераторами T4 ,. . . ,T7 , приводит к следующимрезультатам.Блок m = ±3/2, характерестический полином блока Det = p2 ± k − 1/4, вкладγ = 3/4. Амплитуды с S = 3/2 неустойчивы даже при k = 0, что приводит ксуществованию тахионов при k 2 < V 2 .Блок пространственных амплитуд m = ±1/2,√ p2 ± k/3 − 1/4∓22k/3√ = p4 + 52 p2 − k 2 ± k − 11/16,Det = 2∓2 2k/3p ∓ k/3 − 11/4 вклад γ = 9/2.Блок времениподобных амплитуд m = ±1/2, Det = p2 ± k + 3/4, γ = 1/4.При суммировании результат нужно удвоить, так как каждый блок входит двараза: γ = 11. Суммарный вклад от генераторов T4 , T5 , T6 , T7 составляет половину вклада генераторов T1 , T2 , T3 , входящих в подгруппу.
В итоге в SU(3) теорииполучаем33 4 4 V 211g 2 H 2 HgVln=−ln 2(14)L(1) = −32π 2µ232π 2µдля варианта Ns .3.3Другой вариант SU(3) конденсата Nw соответствует отображению группы вращений на SU(2) подгруппу, образованную тремя генераторами SU(3), для которыхструктурная константа равна ±1/2, например T2 , T7 , T5 . В этом случае остальныегенераторы T1 , T3 , T4 , T6 , T8 образуют квинтет с формальным изоспином 2. Такоеразбиение восьми генераторов SU(3) 8 = 3 + 5 используется для описания квадрупольных деформаций ядер.
Для присвоения триплету генераторов подгруппы изоспина 1, а остальным генераторам изоспина 2, нужно удвоить обычную нормировкугенераторов. За ось квантования в групповом пространстве принимаем направление T2 и формируем операторыс определенными значениями√√ изоспина и его проек√ции Tsµ : T11 = (−λ√7 + iλ5 )/ 2, T10 = λ2 , T1−1 = (λ7 + iλ√5 )/ 2, T22 = (−λ3 − iλ1 )/√2,T21 = (λ4 + iλ6 )/ 2, T20 = +λ8 , T2−1 = (−λ4 + iλ6 )/ 2, T2−2 = (−λ3 + iλ1 )/ 2.5В правых частях здесь использованы обычные обозначения матриц Гелл-Манна, ноподразумеваются матрицы присоединенного представления с такими же перестановочными соотношениями.
Эти операторы удовлетворяют стандартным соотношениям коммутацииs µ+ν[T1ν , Tsµ ] = s(s + 1)Csµ(15)1ν Ts µ+ν .Введение базиса Tsµ и использование комбинированного спина (9) существенноad.облегчает диагонализацию матрицы MµνКлассификация 12 амплитуд с s = 1 совпадает с приведенной в разделе 3.1 классификацией амплитуд SU(2) теории.
Двадцать амплитуд с s = 2 разбиваются на следующие блоки: пространственноподобный сектор m = ±3, ±2, ±1, 0 c размерностями2 ×2, 4 ×4, 6 ×6, 3 ×3, времениподобный сектор m = ±2, ±1, 0 с размерностями 2 ×2,2 × 2, 1 × 1. Оператор 2V δµν ∂i cajd (см. (11)) диагонален в базисе амплитуд с определенным значением µ проекции изоспина s на направление импульса k (µ = (ks)/|k|)и имеет значение kV µ.
Операторы, квадратичные относительно V , диагональны приопределенном значение комбинированного спина S и не зависят от его проекции m.В связи с изменением нормировки генераторов вместо формул (12), (13) нужно дляNw конденсата использовать2cabc bijccaic ccid = 14 s(s + 1),= 14 (j(j + 1) + s(s + 1) − S(S + 1).(16)(17)Вклад 12 амплитуд с s = 1, входящих в SU(2) подгруппу, составляет для Nw однушестнадцатую от величины, полученной в SU(2) теории: γ = 11/8. Результатыдля 20 амплитуд с s = 2 приведены в следующей таблице.jmnγDet1111000±3±2±10±2±1029/44 −15/166 21/16 p6 +3 63/1627/42 −5/161−9/820 55/8p2 + 1/2 ± 2kp4 + 52 p2 + 2k 2 + 1 ± k(3p2 + 7/2)11 4p + 2p2 k 2 + 17p2 + 3k 2 + 3 ± k(3p4 + 10p2 + 27/4)22p6 + 11p4 − p2 k 2 + 17p2 − 32 k 2 + 322p2 + 3/2 ± 2kp2 + 3/2 ± kp2 + 3/2В этой таблице формулы детерминантов содержат безразмерные импульсы p →p/gV , k → k/gV .
Cуммируя вклады блоков s = 1 (SU(2) подгруппа) и s = 2, получаем γ = 33/4,(1)L33 4 4 V 211 2 2 H=−g V ln 2 = −g H ln 22128πµ32π 2µВклады подгруппы относятся к вкладам остальных амплитуд как 2:1 в случае Ns икак 1:5 в случае Nw , несмотря на такое различие формулы для L(1) (H) совпадаютдля Ns и Nw .64 Вклад кварков в однопетлевую поправку к лагранжиануКварки, взаимодействующие с конденсатом, рассматриваются как фермионы в фундаментальном представлении группы цвета. Величина L(1)q определяется интеграломпо импульсам от логарифма детерминантаL(1)q=d4 pMqln det (0)4(2π)Mq(18)где Mq — матрица уравнений Дирака с полем, Mq(0) — без поля. В SU(2) теорииматрицы Mq имеют размер 8 × 8, в SU(3) теории — 12 × 12αβMq = iγµ ∇αβµ − mδ ,αβi∇αβ− Wµαβ ,µ = pµ δWµαβ = gvµb λb /2,(19)(20)(21)α, β — индексы цвета в фундаментальном представлении, a, b — в присоединенном,λb — матрица Гелл-Mанна (в SU(2) теории просто матрицы изоспина τbαβ ).При вычислении детерминантов удобно перейти к уравнению второго порядкапо импульсам путем умножения на проекционный оператор, выделяющий решенияp0 > 0.
Поскольку логарифмически расходящияся часть интеграла (18) определяетсябольшими импульсами, массой m можно пренебречь.При поле V0b = 0, Vib = V δib квадрат матрицы Mq равенMq2 = p2 − γi γj (pi Wj + pj Wi − Wi Wj ).(22)Сначала проведем вычисления для SU(2) теории. Подставляя γi γj = −(δij +iεijk σk ), τi τj = δij + iεijk τk , и 2σk τk = 4(S(S + 1) − 3/2), получаемMq2 = p2 + V pi τi − 14 V 2 (9 − 4S(S + 1))(23)Здесь p2 = pµ pµ , S — комбинированный спин S(S + 1) = (σk + τk )2 /4. Далеепереходим к евклидовой метрике p2 = ω 2 + k 2 и разбиваем детерминант на два блокаSz = ±1 и Sz = 0 (за ось квантования принято направление пространственной частиимпульса pi = ki).
В первом случае получаем после виковского поворотаDet(1) = (p2 + V 2 /4)2 − V 2 k 2 ,(24)причем τi = ±1; во втором случае оператор τi переставляет функции, обладающиеS=1иS=0p2 + 1/4kDet(2) =kp2 + 9/4= p4 + 52 p2 − k 2 + 9/16Детерминанты Mq(0) в обоих случиях равны p4 . Спектры кварков тахионной частине содержат.7Вычисляя интеграл по импульсам (18) как в предыдущем разделе, получаем нулевой вклад от Det(1) и ненулевой вкладγ = 1 от второго детерминанта, дляэффективного лагранжиана найдемL(1)q = Nqg4V 4 V 2ln 2 .16π 2µ(25)Nq здесь число сортов кварков.В SU(3) теории возможны два варианта глюонного конденсата: в первом случае,обозначенном Ns , группа вращений O(3) проектируется на обычную SU(2) подгруппу группы цвета, за генераторы которой можно принять λ1 /2, λ2 /2, λ3 /2; во второмслучае Nw генераторами подгруппы являются удвоенные операторы λ2 , λ7 , −λ5 , которые при обычной нормировке имели бы структурную константу ±1/2, а не ±1 какв первом случае.
Рассмотрим сначала первый случай, который практически сводится к предыдущему результату. Действительно, для SU(3) вместо (23) получаем вевклидовой метрикеMq2 = p2 + V ki λi + 14 V 2 (2 + δij dijk λk − εijk cijl σk λl ).(26)Оператор εijk cijl равен 2δkl для Ns случая и вдвое меньше для Nw .Оператор 2+diik λk равен для Ns утроенному проекционному оператору diag(1, 1, 0),поэтому третья компонента фундаментального представления SU(3) полностью выпадает и поправка к лагранжиану определяется формулой (25).В случае конденсата Nw необходимо учитывать все три цвета кварков.
Компоненты постоянного потенциала равныV1 = V λ2 /2,V2 = V λ7 /2,V3 = −V λ5 /2,(27)или сокращенно Vi = V λI /2, где λI равно λ2 , λ7 , −λ5 , когда i принимает значенияi = 1, 2, 3. Как легко проверить, для Nw оператор dIIk λk = 0. Частичная диагонализация матрицы осуществляется путем разбиения амплитуд по значению проекциикомбинированного спина на направление импульсаm = (σi /2 + λi )ki /k,m принимает значение ±3/2, ±1/2.Для вычисления σk λk удобно ввести базис кварков11 a+ = √ i ,2 00a0 = 0 ,111 a− = √ −i ,20в котором матрица λ2 действует как диагональный операторλ2 a+ = a+ ,λ2 a0 = 0,λ2 a− = −a−Амплитуды m = 1/2A3 = (a+ b− +√√2a0 b+ )/ 3,√√A1 = ( 2a+ b− − a0 b+ )/ 38соответствуют значению комбинированного спина 3/2 и 1/2 с проекцией +1/2 вобоих случаях (b+ и b− — собственные векторы обычного спина σi b± = ±b± ).Используя тождество S(S + 1) = 3/4 + 2 + σk λk , получаем σi λI = −2 для A1 ,σi λI = 1 для A3 и, разумеется, амплитуд S = 3/2, m = ±3/2.
Оператор ki λI = ±kдля S = 3/2, m = ±3/2. При m = ±1/2 имеем в базисе A3 , A1 недиагональныйоператор√ k1± 2√k i λI =.23 ± 2Характеристический полином блока m = ±3/2 cовпадает с (24). Этот блок вкладав L(1) не дает. При m = ±1/2 получаем√ p2 + 1/4 ± k/3±2/3√ = p4 + 94 p2 + 1/4 ± k(p2 + 1/2).Det = ± 2/3p2 + 1 ± 2k/3 В итогеγ = 1/4 и окончательноL(1)q =Nq 4 4 V 2Nq 2 2 Hg V ln 2 =g H ln 2 .264πµ48π 2µ5 Вычисление логарифмически расходящейся части однопетлевого эффективного лагранжиана впроизвольной калибровочной теории для произвольного постоянного фонового поляВычисления предыдущих разделов можно значительно обобщить и расширить, еслиинтересоваться только расходящейся частью эффективного лагранжиана.
Оказывается, что ее можно вычислить в компактном виде для произвольной калибровочнойтеории и для произвольного фонового поля. Предварительно введем удобное обозначение(Â)ab = g(Tc )ab Acдля свертки группового вектора с генераторами группы (g — константа связи).
Вприсоединеном представлении (Tc )ab = cacb . Всюду в дальнейшем будем опускатьгрупповые индексы у величин, оставляя только лоренцевы. Ковариантная производная записывается тогда в виде ∇ = ∂ + V̂ . Для постоянного поля VF̂µν = V̂µ Vν = V̂µ V̂ν − V̂ν V̂µ(тождество Якоби). Как и в предыдущих разделах, мы будем пользоваться регуляризацией обрезанием, импульс обрезания обозначим через Λ.Однопетлевой эффективный лагранжиан вычисляется по формулеL(1) = − ln Det−1/2 (G/G0 ) Det(D/D0 ) DetN (S/S0 ) == 12 ln Det(G/G0 ) − ln Det(D/D0 ) − N ln Det(S/S0 ).9(28)Здесь G, D и S — операторы квадратичных форм на глюонах, духах и фермионах,которые получаются после сдвига на фоновое поле в лагранжиане (G и S — этопросто M и Mq из предыдущих разделов, записанные в новых обозначениях)Gµν = ∇2 δµν + 2F̂µν ,D = ∇2 , S = γ∇ − m,а G0 , D0 и S0 — значения G, D и S при нулевом фоновом поле.
N — число фермионных ароматов. В дальнейшем будем пренебрегать массой фермионов. В импульсномпредставлении ∂ → ip, вводя единичный вектор n вдоль импульса, имеемV̂ 2 δµν + 2F̂µν2inV̂ δµν−,pp2V̂ 22inV̂(γ V̂ )(γn)− 2 , S/S0 = 1 −.D/D0 = 1 −ppp(G/G0)µν = δµν −Поскольку расходимость в интеграле по импульсам связана исключительно с верхним пределом, ее можно выделить следующим способом. Разобьем интервал интегрирования [0, Λ] в регуляризованном интеграле на два: [0, V ] и [V, Λ], где V — значение какой-либо компоненты фонового потенциала.
Расходится при снятии регуляризации только второй интеграл, достаточно рассмотреть его. Используя тождествоln Det A = Sp ln A, и раскладывая матричный логарифм в рядln(1 − A) = −A − 12 A2 − 13 A3 − 14 A4 + . . . ,можно выделить члены ∼ 1/p4 , которые дадут логарифмическую расходимость ΛVd4 p A(n)1Λ= 2 A(n) ln .44(2π) p8πV(Усреднение . . . производится по направлениям вектора n.) Рассмотрим отдельновклады глюонов, духов и фермионов.Для глюонов получаемSp − 12 (V̂ 2 δµν + 2F̂µν )(V̂ 2 δµν + 2F̂νµ ) − (V̂ 2 δµµ + 2F̂µµ )(2inV̂ )2 − 14 (2inV̂ )4.Средние произведений двух и четырех единичных векторов можно найти по формулам1nα nβ = 14 δαβ , nα nβ nµ nν = 24(δαβ δµν + δαµ δβν + δαν δβµ ).После всех сверток и с учетом множителя 1/2 в формуле (28) получаем 56 Sp(F̂µν F̂µν ).Аналогично для вклада духов найдем (с учетом множителя −1 в формуле (28))1Sp(F̂µν F̂µν ).
Итак, логарифмически расходящаяся часть эффективного лагранжиа12на для теории без фермионов имеет видL(1) =1 11ΛSp(F̂µν F̂µν ) ln .28π 12V4Для вклада фермионов найдем − 14 Sp (γ V̂ )(γn) . Мы считаем, что в евклидеγ4 = iγ0 , а потому γµ γν + γν γµ = −2δµν . Используя формулу для среднего от произведения четырех векторов n, известные свойства дираковских матриц, и учитывая10множитель −N в формуле (28), получим вклад фермионов N3 Sp(F̂µν F̂µν ), где следвычисляется в том представлении, которому принадлежат фермионы.Для любой компактной группы и в любом представленииSp(Ta Tb ) ∼ δab ,(29)поэтому в формулы везде входит только Fµν Fµν . Это нетривиальный факт, посколькурезонно было ожидать появления двух комбинаций Sp(V̂µ V̂µ V̂ν V̂ν ) и Sp(V̂µ V̂ν V̂µ V̂ν ),которые и появляются в промежуточных вычислениях, однако в ответ входит толькоих разность, которая выражается через Fµν Fµν .Окончательная формула для логарифмически расходящейся части эффективноголагранжиана при наличии фермионов имеет видL(1) =18π 2N11ΛA + B Fµν Fµν ln ,123V(30)где A и B — множители, входящие в формулу (29) в присоединеном представлении ив представлении, которому принадлежат фермионы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
