Аналитическая геометрия и мат. анализ(определения, формулы и понятия) (1017806), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

45. Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы:

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.

y=a^x - показательная ф-ция, y=xⁿ - степенная, y=x^x - показательно-степенная.

y=[f(x)]^(x) - показательно-степенная ф-ция.

lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.

(1/y)*y`=(lny)

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=x^x(lnx+1)

Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция:

1.y=xⁿ, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)^-1

y`=y*n*(x^-1)=n*xⁿ*x^-1=n*x^n-1

2.y=e^U, где U=sinx

U`=cosx, y`=(e^U)`=e<sup>U</sup>*U`=e^sinx*cosx.

47. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной.

y=f(x)

y``=(y`)`=lim((f`(x+x)-f`(x))/x)

x0

y```=(y``)`= lim((f``(x+x)-f``(x))/x)

f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]`

48. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.

Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.

y=f(x), y=x²-1 - явные

F(x,y)=0, a²=x²+y² - неявные ф-ции.

1)a²=x²+y² - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.

y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная

y*y`=-x, y`=-x/y

2) x³-3xy+y³=0

3x³-3(xy)`+3y<sup>2</sup>*y`=0 //:3

x²-(x`y+y`x)+y²*y`=0

y`y<sup>2</sup>-xy`=y-x²

y`=(y-x²)/(y²-x)

49. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.

limy=A, y=A+

limy/x=y`, y/x=y`+, y=y`x+x

x0

y=y`x+, где -б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем x(), и ее можно отбросить.

dy=y`x

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем х.

Если y=x, то dy=dx=x`x=x, dx=x

Если yx, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x₀,f(x₀)) при изменении x₀ на величину x

Св-ва:
1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

50.Теорема Ролля.

Е сли функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

51. Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.

т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=10.

52. Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a,b]

2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)

3). F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. с(a,b); F’(с)=0

53. Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции:

Если x₂>x₁, f(x₂)>f(x₁), то ф-ция монотонно возрастает

Если x₂>x₁, f(x₂)<f(x₁), то ф-ция монотонно убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.

x₁<a<x₂, x₂-x₁>0, x₂>x₁

1. если f`(a)>0, то f(x₂)>f(x₁)

2. если f`(a)<0, то f(x₂)<f(x₁)

3. если f`(a)=0, то f(x₂)=f(x₁)

54. Экстремумы ф-ций. Признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной.

Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tg>0, то f`(x)>0

если tg<0, то f`(x)<0

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить касательных).

Достаточный признак: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на “+”, то х₀- т. min

55. Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба.

Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

Признаки точки перегиба: чтобы X₀ была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х₀.

56. Асимптота графика ф-ции.

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

1) прямая х=х₀ назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при хх₀ |f(x)|+ (вида x=b)

2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты

lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+(б.м.в.) по св-ву x пределов.

разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х

f(x)/x=k+b/x+/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(/x)

x

, то

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y

3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.

Величина U наз-ся ф-цией переменных (x₁,x₂...x_n), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U.

Пусть f(M)=M₀(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰), M(x₁, x₂,... x_n)

Ф-ция f(M)=f(x₁, x₂,... x_n) имеет предел А при М₀М, если каждому значению как угодно малого числа (дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число >0, если |M₀M|=, то |f(M)-A|<

Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М₀, если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции.

limf(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰)=limf(x₁, x₂,... x_n)

x₁⁰ x₁

x₂⁰ x₂

x_n⁰ x_n

58. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы.

а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x₀,y₀)

z=f(x₀+x, y₀+y)-f(x₀,y₀) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у):

xZ=f(x₀+x, y)-f(x₀, y₀)

yZ=f(y₀+y, x)-f(x₀, y₀)

Частная производная ф-ция:
б) dxZ=Z_x`*x=Z/x*dx; dxZ=Z<sub>y</sub>`*y=Z/y*dy

Полный дифференциал dZ=d_xZ+d_yZ=Z`<sub>x</sub>dx +Z`_ydy

dZ=Z/x*dx+=Z/y*dy

Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.

59. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных.

Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной:

Z``<sub>XX</sub>=(Z`<sub>x</sub>)`<sub>x</sub> ; Z``_yy=(Z`<sub>y</sub>)`_y

Z``_Xy=(Z`<sub>x</sub>)`_y=(Z`<sub>y</sub>)`_x

60. Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных.

Z=f(x,y), M₀(x₀,y₀), M(x,y)

Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:

Если Z=f(x₁,x₂,...x_n), то Z/x_i=0, i=1,2,...n - необходимое условие.

Достаточный признак:

где A= Z``<sub>XX</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>), C= Z``_yy(x₀,y₀), B= Z``_yx (x₀,y₀),

1) если >0, то М₀ - точка экстремума;

если А<0 или С<0, то М₀ - точка max;

если А>0 или С>0, то М₀ - точка min.

2) если <0, то экстремума нет

3) если =0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.

61. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.

Найти:
-обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы монотонности

-точки экстремума

-наибольшее и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.

Характеристики

Список файлов учебной работы