Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

lim (ln(x)/x^)=0  (lim(x))/x^=(x)  ln=x^(x)ox^,

^x0

x+

Показательная и степенная.

X^k=o(a^x),  k>0,a>1 x+ lim(x^k)/(a^x)=0

^x+

Теорема: Пусть (x) ~ ₁(x) при xx₀ ()

(x) ~ ₁(x) при xx₀ ()

Тогда lim (x)/(x)=lim ₁(x)/₁(x)

^{xx0 () xx0 ()}

Доказательство:

lim(x)/(x)=lim[(x)₁(x)₁(x)]/[₁(x)₁(x)(x)]=lim((x)/(x))lim(₁(x)/(x))lim(₁(x)/₁(x))=lim ₁(x)/₁(x) что

^{x0 x0 x0 x0 x0 x0}

и требовалось доказать. Замечание: аналогичное утверждение справедливо для двух бесконечно больших.

Пример:

lim sin(x)/3x=limx/3x=1/3

^{x0 x0}

Определение: (главного слагаемого)

₁(x)+₂(x)+…+_n(x), при xx₀ ()

Главным слагаемым в этой сумме называется то слагаемое по сравнению с которым остальные слагаемые являются бесконечно малыми более высокого порядка малости или бесконечно большие более низкого порядка роста.

₁(x) – главное слагаемое, если ₂(х)=о(₁(х)),…,_n(x)=o(₁(x)) при xx₀ ()

Конечная сумма бесконечно малых эквивалентна своему главному слагаемому:

₁(x)+₂(x)+…+_n(x) ~ ₁(x) , при xx₀ () если ₁(х) – главное слагаемое.

Доказательство:

lim [₁(x)+₂(x)+…+_n(x)]/₁(x)=lim[₁(x)+₁(x)(x)+…+₁(x)(x)]/₁(x)=lim[₁(x)(1+₁(x)+…+_n(x))]/₁(x)=1 ^{xx0 () xx0 () xx0 ()}

Пример:

lim (e^x+3x¹⁰⁰+ln3x)/(2^x+1000x³+10000=lim e^x/2^x=lim e^x/(e^x(x))=+

^{x+ x+ x+}

2^x=o(e^x)e^x(x)

Основные эквивалентности.

e^x-1 – бесконечно малое при х0. lim (e^x-1)/x=1, то есть e^x-1 ~ x при x0

^x0

1-cosx – бесконечно малое при х0. lim (1-cos x)/(x²/2)=lim{2sin(2x/2)]/[x²/2]=lim [2(x/2)²]/[x²/2]=1,

то есть

1-cos(x) ~ x²/2 при х0 и (1+x)^p-1 ~ px при х0

Лекция №8

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 10 октября 2000 г.

Тема: «Асимптотические формулы»

Формулы содержащие символ о - называются асимптотические.

1) lim [sin(x)/x]=1  (по определению конечного предела sin(x)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при х0

^x0

 sin(x)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  sin(x)=x+ox, при х0; sin(x)~x, при х0

2) lim [ln(1+x)/x]=1  (по определению конечного предела ln(1+x)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при

^x0

х0  ln(1+x)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  ln(1+x)=x+ox, при х0; ln(1+x)~x, при х0

3) lim [(e^x-1)/x]=1  (по определению конечного предела (e^x-1)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при х0

^x0

 (e^x-1)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  (e^x-1)=x+ox, при х0; (e^x-1)~x, при х0; e^x=1+x+o(x), при x0

4) lim [(1-cos(x)/(x²/2)]=1  (по определению конечного предела (1-cos(x)/(x²/2)=1+(x), где (х) – бесконечно

^x0

малое при х0  1-cos(x)=(x²/2)+(x)x²/2, где (х) – бесконечно малое при х0  1- cos(x)=(x²/2)+ox²; при х0; 1- cos(x)~x²/2, при х0; cos=1-x²/2+o(x²), при x0

1) lim [((1+x)^p-1)/px]=1  (по определению конечного предела ((1+x)^p-1)/px =1+(x), где (х) – бесконечно

^x0

малое при х0  (1+x)^p-1=px +(x)-p, где (х) – бесконечно малое при х0  (1+x)^p-1=px+ox, при х0; (1+x)^p-1~px, при х0;(1+x)^p=1+p(x)+o(x), при x0

Если f(x)~g(x), при хх₀ (), то lim[f(x)/g(x)]=1  f(x)/g(x)=1+(x), где (х)–бесконечно малое при хх₀ ()

^{хх0 ()}

 f(x)=g(x)+(x)g(x) f(x)=g(x)+og(x) при хх₀ ()

Замечание: не всякие бесконечно малые, бесконечно большие можно сравнить.

Пример:

(x)=xsin(1/x), при х0

(х)=ф=х, при х0

(x)/(x)=sin(1/x)

lim[(x)/(x)]=lim[sin(1/x)] – который в свою очередь не существует.

^{x0 x0}

Эти бесконечно малые несравнимы.

Для удобства формул полагают по определению, что о(1)=(х), при хх₀ ()

а⁰1 n!=123….n o!

Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х₀) и  lim f(x)=f(x₀): y=f(x) при хх₀ называется непрерывной в

^хх_

точке х₀ (то есть  ε>0  >0:  xO_(x₀)  f(x)O_ε(f(x₀))

Непосредственно из определения предела следуют следуемые теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)+g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀)  f(x)+g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=f(x)+g(x) что и требовалось доказать

^хх_ ^хх_ ^хх_

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀)  f(x)g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)g(x))=limf(x)limg(x)=f(x)g(x) что и требовалось доказать

^хх_ ^хх_ ^хх_

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)/g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀)  f(x)/g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=f(x)/g(x) что и требовалось доказать

^хх_ ^хх_ ^хх_

Теорема(об ограниченности непрерывной функции в окрестности точки). Пусть y=f(x) непрерывна в точки х₀, тогда она ограниченна в некоторой окрестность этой точки.

Доказательство: limf(x)=f(x₀), то есть  ε>0  >0 x: x-x₀<  f(x)-f(x₀)<ε . Предполагается, что  выбрано так, что f(x) определена в соответствующих точках. О_(х₀)О(х₀). Так как это справедливо для любого ε>0, то возьмем ε=1  >0 -1<f(x)-f(x₀)<1; xO_(x₀)O(x₀) f(x₀)-1<f(x)<1+f(x₀)x, то есть В<f(x)<A

xO_(x₀)O(x₀)

Теорема:(о непрерывности сложной функции) Пусть y=f(x) непрерывна в точки х₀, а z=g(y) непрерывна в точки y₀=f(x₀), тогда сложная функция имеет вид z=g(f(x₀)) – непрерывна в точки х_0.

Доказательство: Зададим  ε>0 в силу непрерывности z=g(y) в точки у₀  б>0x: y-y₀|<б g(y)-g(x₀)<ε

По найденному б>0 в силу непрерывности функции f(x) в точки х₀  >0 x: x-x₀< f(x)-f(x₀)<б

ε>0 >0 x:x-x₀< y-y₀<б  g(y)-g(y₀)<ε g(f(x))-g(f(x₀)) то есть lim g(f(x))=g(f(x₀))

^xx_

Замечание: можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции limf(x)=limg(y) limf(x)=f(x₀)=y₀ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Непрерывность некоторых функций.

1) y=c (постоянная) непрерывна в х₀ R lim c=c. Зададим ε>0 рассмотрим разность f(x)-f(x₀)=c-c=0<ε

^xx_

 x: x-x₀< (>0)!

2) y=x непрерывна в  x₀R, то есть lim x=x_0. Зададим ε>0 рассмотрим разность f(x)-f(x₀)=x-x₀<ε

^xx_

 x: x-x₀< (>0)! =ε!

Следствие.

Многочлен p(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀

(a_n,a_n-1…a₁,a₀ – зададим число)

n=0,1,2,3…. непрерывен в любой точки х₀ оси как сумма произведения непрерывной функции. Рациональная функция:

R(x)=p(x)/q(x). Частная двух многочленов непрерывна в любой точки х₀ в которой q(x)0

Лекция №9

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 11 октября 2000 г.

Тема: «Точки разрыва»

1) Доказать, что lim [((1+x)^p-1)/px]=1

^x0

y=(1+x)^p-1

lim [((1+x)^p-1)/px]= x0  y0 =lim ([ln(1+x)]/x)([(1+x)^p-1]/[pln(1+x)]=lim ([ln(1+x)]/x)

^x0 (1+x)^p=y+1 ^{x0 x0}

p[ln(1+x)]=ln(y+1)

lim([(1+x)^p-1]/[pln(1+x)]=lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать  (1+x)^p-1~px при x0

^{x0 y0} (1+x)^p=1+px+o(x) при х0

2) Доказать, что lim (e^x-1)/x=1

^x0

y=e^x-1

lim (e^x-1)/x= x0  y0 =lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать 

^x0 e^x=y+1 ^y0

x=ln(y+1)

e^x-1~x при x0

e^x=1+x+o(x) при х0

Классификация точек разрыва функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х₀), а в самой точке х₀ может быть как и определена, так и неопределенна.

1) Точка х₀ называется точкой разрыва 1^ого рода функции, если

а) Существует lim f(x)’=lim f(x)’’ , но либо функция неопределенна в точки х₀ либо f(x₀)b. Тогда точка х₀

^xx_^{+0 xx}_^-0

точка устранимого разрыва.

1,x=1

Y=(x-1)/(x-1)=

Не , x=1

б) f(x)=cb

Можно доопределить или переопределить в точке х₀, так что она станет непрерывной.

 lim f(x)=b; lim f(x)=c, но bc

^xx_^{+0 xx}_^-0

Может быть и определена f(x₀)=b

Или f(x₀)=d

2 )Точка х₀ называется точкой разрыва 2^ого рода функции если она не является точкой разрыва 1^ого порядка, то есть если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

y=sin(1/x)

Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Все основные элементы функции непрерывны в любой точки своей области определения.

Определение: (функции непрерывной на отрезке)

y=f(x) – называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в любой точке х(a,b). В точке х=а функция непрерывна справа, то есть lim f(x)=f(a), а в точке х=b функция непрерывна слева lim f(x)=f(b).

^xx_^{+0 xx}_^-0

Функция непрерывна на множестве D если она непрерывна в этой точке.

Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции)

Пусть y=f(x) непрерывна в точке х₀ и f(x₀)>0 (f(x₀)<0), тогда f(x)>0 f(x)<0 непрерывна в некоторой точки О(х₀)

Доказательство:  lim f(x)=f(x₀) ε>0  >0 x: x-x₀<  f(x)-f(x₀)|<ε.

^xx_

Пусть f(x₀)>0, выберем ε=f(x₀)  f(x)-f(x₀)<f(x₀) xO_(x₀) (>0!)

-f(x₀)<f(x)-f(x₀)<f(x₀); f(x)>0 xO_(x₀), если f(x₀)<0, то ε=-f(x₀)

Теорема Коши: ( о нуле непрерывной функции)

Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и на концах его принимает значение разных знаков f(a) f(b) <0, тогда  x₀(a,b): f(x₀)=0

Доказательство:

f(b)>0 f(a)<0

Разделим отрезок [a,b] пополам. Если в середине отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину отрезка, на концах которой функция принимает значение разных знаков. Выбранной отрезок поделим пополам. Если в середине нового отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину от той половины, на концах которой функция принимает значение разных знаков и т.д.

[a,b][a₁,b₁][a₂,b₂]

Последовательность левых концов удовлетворяет отношению a<a₁<a₂<…<a_n<…<b

bb₁b₂…b_n…>a 

{ a_n}-ограниченная не убывающая  lim a_n=b f(a)<0 f(a_n)<0 n

^x+ [a_nb_n]=(b-a)/2ⁿ 0 при n

{b_n}-ограниченная не возрастающая  lim b_n= f(b)>0 f(b_n)>0 n

Характеристики

Список файлов лекций