matan2 (1017800)
Текст из файла
Л
По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик
van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:
8-901-7271056 спросить Ваню
екция №5Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: вторник, 25 сентября 2000 г.
Тема: Бесконечно большие последовательности
Теорема:
lim(1-1/n)n=1/e e=2,7183
n+
0an=1-1/n1 nN, то есть an=(1-1/n)n- ограниченна.
n+1an=n+1(1-1/n)n1=n+1(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1
n+1(1-1/n)n<1-1/n+1
(1-1/n)n<(1-1/n+1)n+1
an<an+1 nN последовательность возрастает и ограниченная.
(1-1/n)n – имеет конечный предел
lim(1-1/n)n=1/e
n+
Следствие
lim(1+1/n)n=e
n+
lim1/(1+1/n)n=(n/n+1)n=[1-1/(n+1)]n+1/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e
n+
lim[1/(1+1/n)n]=1/e
n+
lim(1+1/n)n=e
n+
Определение под последовательности
Пусть дана an зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что
n1<n2<n3<…<nk<….
an1,an2,…,ank,…
Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.
an=(-1)n
{an}={-1;1;-1;1….}
n1=2;n2=4,….,nk=2k
{ank}={1,1,1,1…}
Теорема
Пусть последовательность an сходится, тогда последовательности
lim an=a {ank} – гас и lim
n+
lim ank=0
n+
Доказательство так как an – сходиться, то ε>0 N: n>N an-a<ε
ank; nk>N то есть ank-a<ε
Пример
an=(-1)n – не имеет предела
{a2n}={1,…,1,…,}
{a2n-1}={-1,….,-1,…}
имели бы тот же самый предел.
Предел функции.
Определение
Пусть y=f(x) определена в O(x0). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при хх0 если ε>0 >0
x:0<x-x0< f(x)-b<ε
lim f(x)=b
xx
Через окрестности это определение записывается следующим образом
ε>0 >0 x0(x0)f(x)0ε(b)
Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при xx0.
xx
Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу а.
f(x)=x-1
1.x1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x1
x1
2 .x2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x2
x1
Пример
f(x)=2x+1 x1
Докажем lim(2x+1)=3
x1
ε>0 >0 x:0<x-1< (2x+1)-3<ε
(2x+1)-3<ε
|x-1<ε/2
x1
Положим =ε/2
Теорема о бесконечно малом
1)(x);(x) – бесконечно малое xx0 (x)+(x) – бесконечно малое при xx0
2)(x);(x) – бесконечно малое при xx0
3)Если f(x) – ограниченна в O(x0) и (x) – бесконечно малое при xx0, то f(x);(x) – бесконечно малое при xx0
Доказательство (3)
Так как f(x) – ограниченна в O(x0), то С>0: xO(x0)|f(x)C;
Так как (x) – бесконечно малое при хх0, то ε>0 >0 x: 0<x-x0< (x)<ε ε1>0
Положим ε=ε1/c
>0 x: 0<x-x0|< f(x)(x)=f(x)a(x)<Cε=ε1 lim f(x)(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при xx0
xx
Лекция №6
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: среда, 26 сентября 2000 г.
Тема: Замечательные пределы
Теорема
f(x)>g(x) в O(x0) и lim (f(x))=b и lim (g(x))=c. Тогда bc
xx xx
Доказательство:
Рассмотрим функцию (x)=f(x)-g(x)>0 в O(x0) lim ((x))= lim (f(x)) - lim (g(x))= b-c и в силу предыдущей
xx xx xx
теоремы b-c0, то есть b0 что и требовалось доказать.
Теорема
f(x)(x)g(x) xO(x0) и lim (f(x))=b и lim (g (x))=b. lim ( (x))=b
xx xx xx
Доказательство:
f(x)=b+(x)
g(x)=b+(x)
где (x) и (x) – бесконечно малые при хх0
b+(x)(x)b+(x)
Так как (х) и (х) – бесконечно малые то ε>0 1>0: xO1(x0) (x)<ε
2>0: xO2(x0) (x)<ε
Положим =min{1;2}
Т огда xO(x0) (x)<ε
(x)<ε
-ε<(x)<ε
-ε<(x)<ε
b-ε<b+(x)(x)b+(x)<b+ε
-ε<(x)-b<ε
(x)-b<ε xO(x0)
ε>0 =min{1;2} (x)-b<ε xO(x0) то есть lim ( (x))=b
xx
Первый замечательные пределы.
Терема lim (sin(x)/x)=1
x0
S∆OMN=1/2 sin(x)
SсекOMN=1/2(x)
S∆OKN=1/2 tg(x)
S∆OMN<SсекOMN< S∆OKN
1/2sin(x)<1/2(x)<tg(x)
sin(x)<x<tg(x)
1<x/sin(x)<1/cos(x)
lim (1-cos(1/n))=0
n+
lim (1-cos(x))=0 lim (cos(x))=1
x0 x0
lim (x/sin(x))=0
x0
x>0
lim (x/sin(x))=1
x0
lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать
x0 x0
Определение бесконечного предела и пределов при х+.
lim (f (x))=+ ε>0 >0: xO(x0)f(x)Oε(+)
xx
(x): 0<x-x0<
(////////// x
ε
lim (f (x))=- ε>0 >0: xO(x0)f(x)Oε(-)
xx
(x): 0<x-x0<
lim (f (x))= ε>0 >0: xO(x0)f(x)Oε()
xx
f(x)>ε
lim (f (x))=b ε>0 ∆>0: xO∆(+)f(x)Oε(b)
x+
x: x>∆ f(x)-b <ε
lim (f (x))=b ε>0 ∆>0: xO∆(-)f(x)Oε(b)
x-
x: x<-∆ f(x)-b <ε
Определение
f(x) определена в O+(x0)
lim (f (x))=b ε>0 >0: xO+(x0)f(x)Oε(b) x0<x<x0+
xx+0
Определение
f(x) определена в O-(x0)
lim (f (x))=b ε>0 >0: xO-(x0)f(x)Oε(b) x0-<x<x0
xx-0
Теорема Пусть f(x) определена в O(x0) Для того чтобы существо-
вал предел lim(f(x))=b lim(f(x))=lim(f(x))=b
xx xx+0 xx-0
Пусть lim(f(x))=b, то есть ε>0 >0: xO(x0)f(x)Oε(b) f(x)O(b) для xO+(x0) и для xO-
xx
xO-(x0) lim(f(x));lim(f(x))=b что и требовалось доказать.
xx+0 xx-0
Второй замечательный предел.
Теорема lim(1+1/x)x=e
x+
Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] nx<n+1
[1+1/(n+1)]n(1+1/x)x(1+1/n)n+1
Если x+, то n+
[1+1/(n+1)]n+11/[1+1/(n+1)](1+1/x)x(1+1/n)n(1+1/n) lim(1+1/x)x=e
x+
Лекция №7
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: вторник, 3 октября 2000 г.
Тема: Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.
Определение.
Пусть (x) и (x) – бесконечно малые при хх0 ()
-
(x) ~ (x) при хх0 () если lim (x)/(x)=1 xx0 ()
-
(x) и (x) одинакового порядка при хх0 () если lim (x)/(x)=с0 xx0 ()
-
(x) бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x) при хх0 () если lim (x)/(x)=0 xx0 ()
Определение.
Пусть f(x) и g(x) – бесконечно большое при хх0 ()
1) f(x) ~ g(x) при хх0 () если lim f(x)/g(x)=1 xx0 ()
2)f (x) и g (x) бесконечно большие одинакового порядка роста, если при хх0 () если limf(x)/g(x)=с xx0 () <
В частности, если с=1, то они эквивалентны
-
f (x) бесконечно большое более низкого порядка роста чем g (x) или иначе g(x) бесконечно большое более высокого порядка роста чем g(x) при хх0 () если lim f (x)/g (x)=0 xx0 ()
Примеры:
x при хх0 – бесконечно малое
Сравним их lim sin(x)/x=1 sin(x)~x
x0
при х0
-
1n(1+x) – бесконечно малое
х при х0 – бесконечно малое
Сравним их lim ln(1+x)/x= lim ln(1+x)1/x =1
x0 x0
ln(1+x) ~ x, при х0
-
x2 – бесконечно большие
2х2+1, при х+ – бесконечно большие
Сравним lim x2/(2x2+1) = lim x2/x2(2+1/x2)=1/2
x+ x+
то есть функция является бесконечно большой и
одинакового порядка. Замечание: если одну из
функций одинакового порядка роста домножить на
одинаковую const, то они станут эквивалентны.
Определение:
-
пусть (х)=о(х) – бесконечно малое при хх0(). То мы говорим, что (х) и (х) при хх0 (), если (х)=(х)(х), бесконечно малое при хх0 (). Другими словами - (х) – бесконечно малое более высокого порядка, чем (х) така как (х)/(х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim (x)/(x)=0 x0 ()
-
пусть f(х)=оg(х) – бесконечно большое при хх0(). То мы говорим, что f(х) и g (х) при хх0 (), если f (х)=(х)g (х). Другими словами - f (х) – бесконечно большое более низкого порядка, чем g(х) так как f(х)/g (х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim f (x)/g (x)=0 x0 ()
Шкала бесконечности.
Степенные бесконечности.
xn=o(xm), 0<n<m при х+. Из двух степенных бесконечностей сильнее та, у которой показатель степени больше.
Докажем:
xn=xm(xn/xm)=xm(1/x(m-n))=xm(x) m-n>0 xm(x)o(xm)
Показательные бесконечности.
ах=о(bх), 1<a<b при x+. Из двух показательных бесконечностей сильнее та, у которой основание больше.
Докажам
ax=ax(bx/bx)=ax(a/b)x=bx(xo(bx) (0<a/b<1)
Логарифмическая бесконечность
l n(x)=o(x), >0. Логарифмическая бесконечность слабее любой степенной бесконечности.
ln(x)<x x
lim ln(x)/x=lim [(ln(x)/(x/2x/2))((/2)/(/2))]=
x0 x0
lim [(ln(x)/x/2)(2/(x/2)]
x0
Произведение бесконечно малых на ограниченную
равно бесконечно малой.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.