Алгоритмическое и программное обеспечение расчета нестационарных непрерывно-дискретных систем управления ЛА спектральным методом (1014466), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Повторяя вышеуказанные процедуры, находим искомое выражение, которов связывает ~ -кратныв интегралы от ультрасФерических полиномов. Оно совпадает с (2.17) при пс О . 2.2. Системы нестациона ных ск втных полиноюв Рассмотрим здесь только системы дискретных полиномов Кравчука и Чебышева . )~жданные нолиноыы К нн на, онренвленные на неозннионарноы отрезке ~0,1 ",/, задаются Формулой 46 Р Я1 г г-~ С~ я; О 0=Я (-~) и=о,Ь~ (~-~)~"~ (2 27) ~-а~,...,ь-~; ~=о,~,...,~-~; ~ =г,з, ..., где ~>О, ~)а ир у-1, а Л .ь|з-~) ..
~ь-Р~~). Как видно из определения, сис~ема базисньк Функций (2.27) задана на любом числе так~овых моментов времени ~, болипем или равном дзум. Полиномы (2.27) ортогональны на нестационарном отрезке ~о,1 3 с несом с „Ой,~)-~,, ф'У' ", (2.33) А с Х Ри,а~~ И, ~) К; И, 1) =О (а '. И, . (2.29) т.е. и имеют ворму г гг иж и.,о6- ери,~Цьи4 +-'-д .
(2.3О) ~ о +,Ь'(И Следовательно, формула ортонормированннх нестационарных дискретиых полиномов Кравчука для отрезка ~ОА 3 с учетом выраиений (2.27), (2.3О) имеет вид л у~ ц1 ~,.Р ~, (2.31) Разработка алгоритмического обеснечеиия спектрального метода в базисе (2.31) связана с реиуррентными свойствами полиномов Кравчука М; 0„ ~) , и -кратких Разностей и ~ -кратных сумм от иих. Остановимся на этих свойствах. пусть 5' А;Ы,Ц при п=Р,1,...,2 ' ~; Й,м)- 2.' 1;И,~,„) п~н и=-1п -Р,-~,...,-1+1, ~;о 1=о ' тогда можно записать обобщепнув рекуррентиув формулу, связывающую и-кратные разности и п-кратные суммы от дискретиых полиномов Кравчука (2.27) через обобщенный оператор (2.32): рЦ;-г)(;-и+<) Сп) / г )) (и) С+/ ° ~ ~ ~(Ы)~ /~а~ А. И,0=(аР-~)'-пР.~Р( — -<~~~1 Й 0~- С~ ) (- ~) У7 р 1 ( 1-. и ) (2.33) (2.32) 47 (2.42) и ~й-~) Е,ь;,(л,д= —, ~ р; О.,й-~;,ММЬИ- —,, Г~ В, (2.45) которые связывают межпу собой три последовательных дискретных полипома Чебышева.
рян вышеуказанные процедуры, находим рекуррентную формуЛу, связы- ваюпшю и -кратные сумин от полиномов Кравчука Она совпадае~ с формулой (2.33) при и о . ск етные полиномы Чебышева, определенные на нестационарном отрезке (ОА ] , задаются формулой М Р;Ы,О =Х 1 — ~п (2.41) ИР" И" ,1,...,~-~; ~ О/, ",~-~; ~,Г,З, ..., где ~ =,З(~-~)...(~-Р-~) , а ~;~ определяются выражением (2.9). Как видно из определения, система базисных функций (2.41) за- дана на любом числе тактовых моментов .Е , большем или равном двум.
Полиномы (2.41) ортогональны на нестационарном отрезке (о,~ ~ с весом рЯ,1) и/, т.е, И Е р„~~~~р, и„ц- а (л х), г:о " и имеют норму и г (~+,) Г"" И~~Ы,ОН= еЕ~~~с,4 =, ц,„, (2.43) Лля дискретных полиномов Чебышева можно вывести рекуррентную формулу, которая аналогична (2.33) для дискретных полиномов Кравчу- ка. Ъвод етой формулы можно найти в (7~ . Здесь приведем только рекуррентные формулы и.')'р;ы,п-<.вса - э( —,— )р;.,а,~)-а- н~- ~эр, „и,д са.и> /г1 '2 .3 . Системы нестациона ных неп е ывных и диск ейных й нк Ы Уолту и Хаааа 1;епзе ывные сочно-постоянные) ~а о- по оченные (2.46) Уолнч, опродоленпые на нестационарном отрезке~0,1 ~, задаются ~ ю~мулой /7 1" "(~,т) при ~-~,'ю' г =г,2,...
Р=о где о - максимальный номер разряда двоичного представления числа ~, в котором оно имеет единипу, а . 1 при. 0~т' ~, п=0; з1~ ях ~у 1 при — ат~ ап джей ~~+~) р Г(Ь~Й -1 при — иг.~— ~>~ - ~п А 0 ~~ ... Я~-у' 7Е =~Я ~й,т) = (2.47) — ортогональные кусочно-постоянные ~~ункции Радемахера, определенные на том же нестационарном отрезке [0,1 3 Очевидно, что Функции Радемахера (2.47) принимают на отрезке [0,~ 3 значения +1 и -1, следовательно, их можно пРедставить в ви- 2 "ЯГ ~ ~, (1,т)-ыуи яп— (2.51) 50 где М~п й =Яр~ (й+О) в точках разрыва. Функции Уолша (2.46) ортогональны на нестационарном отрезка [0,1 ~ .с весом ~Ой,т) й~, т.е.
,[ Д ~1,т') 9 (1,'с)(Й = 0 (я ч6 т) а и имеют норму Ий'„(6,ЮП- ~~У„(ю,тЯсй. чР. (2.49) о Следовательно, формула ортонормированных непрерывных Функций Уолша для отрезка [0,~ ~ с учетом выражения (2.49) имеет вид (2.50) ск етные а о- по я ченные н и Уолша, определенные на нестационарном отрезке [0,1 1 , задаются йормулой Р ~.о Ф ~ -~'хЯ ~,~-Р ~Р Яг аИМ=И) ' -е ~'=0<..~3.-(; г=01,...,1-Г; 1 Г,Ф,У,„,, где ар,1~ определяются из двоичных разложений переменных ю' и Е, задаваемых представлениями ,ь р„ь =Е „г; г-Е г„л (2.52) «=о«со« в которых,Ь - максимальный номер Разряда двоичного прадставлония числа ~(~), в котором оно имеет единицу.
Функции Уолпа (2Л1) ортогональны на носта~фонарном отрезке [о,М 3 с весом,р(С,Оы 1, т.е., Л-/ Е~?„(~,ОР; Ь,И=О (Ь ~ '), 1=о и имеют норМу (2.53) (2.54) 11~ И,О!1- = С~'. ~о Следовательно, Уюрыула орионормированных нестационарных дискретных Функций Уолша для отрезка (0,~3 с учетом выражений (2.51), (2.54) имеет вид ь -~'~ 2 г' ~р Д.[~г)=й Е (2.55) «г ду Ь Эс = 2'. (йп 9 г ~ ) Г ,ь-А Ао где Оео О; ОО~=~ОО=г, 18( О, '-'то свойство говорит о том, что снстемы нестационарных Еунк- цяй Уолпга (2.46), (2Л5) являются мультиплик1тивными, так как каж- дая с~лтпихия Уолпа обратна сама к себе.
Следствием,"мультипликативности йункций Уолпа и их определений является слодуюшая ормула: (2Л7) где для ноппопынннх 7ункцнй Уолша 'г=0,~,...;4=0,1,...,2 - /, с для дискретных п=аг,..., Ыд 1-Г;,й=О ~,„,,~"-1. Заметим, что дискретные функции Уолпа (2Л1) южно было ввести аналогично непрерывным Функциям Уолша (2.46) только через дискретные сункции Радемахера ~13. Отметим теперь некоторые свойства непрерывных и дискретных <;ун1сдй Уолпа. При етом„ если свойство будет спРаведливо как для непрерывных, так и для дискретных Функций, то символы времени $', 1 и ~ „Ь будем опускать. ;божество нестеционаРных непрерывных (дискретных) функций Уолша замкнуто относительно операции умножения,,т.е.
произведение двух Функций Уолпа дает новую Функцию Уолпа: аьа; =аьж; (2Л6) "а' гда знаком е обозначена операция поразрядного сложения по юдулю 2 г двух представленных в двоичной системе исчисления чисел (см. представления (2Л2) ), для которых операция поразрядного сложения по молю 2 оп еделяется как ство Ф, О,с) =Ф, И,'), (2.61) которов говорит о симметрии индекса Я и аргумента ~ . Следовательно, матрица-строка функций Виленкина - Крестенсона Еоо ° ~о,с- Р (2,62) 6~.,0" ° СБ./,ь.( .Б-/ Р О...1-~, значения которой развернуты в вертикальный столбец, является симметричной, а алгоритм вычисления элементов этой матрицы может быть задан следующей ренуррентной оюрмулой: .га ~ х ~9" С =е С;е~ -е ~Ф /".ф~+4,й(Е'~-/-юС)~УФ ~ Д «~~-/;с~ ' ~ТЕ (2.63 ) 52 Нвстацнонарные дискретные Функции Уолша (2Л5) являются част- ным случаем при х = 2 дискретных Функций Виленкина - Крестенсона, задаваемых на нестационарном отрезке [а,~ 3 Формулой р~ о Я,'И,а=~ — 'е," ""' (2Л8) ~;с-а,~,...,~-~; ~„~,-о, к, ...,х-~; Я«l ~ х; ж-гдо,...;,о*а,~,г....; ,Ь г Е~рх ' ~ Е~рх (2Л9) Р«о ~э о Как видно из определения, система базисных Функций (2Л8) определена в .~ тактовых точках, кратных числу х .
Следовательно, Функции Уолпа (2Л5) заданы на числе точек дискретного времени, равном целой степени числа 2, Отметим также, что фуксии Виленкина - Крестенсона ыультнпли- кативны, т.е. я'„(ь,йм,. 'и,0- Ф'„„. ~1,~), (2.60) гдв знаком 9 обозначено поразрядное сложение по модулю х (без пе- реноса) двух представленных в с -ичной системе исчисления чисел (см. представление (2.59)), для которых поразрядное сложение по мо- дулю х. определяется как ЬЕ~'-Е й В' )х ь 4«о Для функций Виленкина — Крестенсона справедливо также равен- ,6+ у .~-Х;Р=0~,,; п=О ~,...,Р; ~=О~,...,К"-~, ~=0~~,...,~"-~ гп=О,/,...,х-/,' у"=О,у, ...,е-Г; .г=~,я,,...
Неп е ные ~ сочно-постоянные) о гоно ми ванные н и Хаара, определенные на нестационарном отрезке ~0,~ 3 Формулой , задаются О~г.~ 1; г =0; Г1 1 (Г4+ги — г 'Г( ~и.~ - ~ и+~ П ~ =я +А (,я„., л ,~;й,г)= ~2.64) где О,/, ~п ~ ~~ф й1+/И ЯИ+д1 иг с и и г 8Й Яй+О~ ~ г'( П~/ П+~ 0 Несга она ные ск етные о тоно ми рванине н и Хаа а, — пРи ~ 0,<,.",~.-1; ~ =0; ~Я~ А~г~„!И шМ вЂ” лрц 1 = — — +~„.— ~Пе! 1~+( у. ° > Р7+,~ (Мчи (еЬ~И йй дь — ~ри ~- — — ~г „.
Р р~ 1 ~п+Ф >" 1 г1й+< ) д~~ - ГФ г)А 0 . прн1 0,~. ~ =Я +~;,Ь=0,~,...; ~=Я ч'А; П-ф,„,~,Ь0,~„,2"-/. С2.65) Как видно из определения, система базисных Функций ~2.65) задана на числе тактовых моментов .г,, кратном двум. Свойства Функций Хаара здесь рассматривать не будем, а только укажем на связи между непрерывными (дискретными) Функциями Уолиа и Хаара, которые запишем так; (2.66) ~9 (2.67) 53 ортонормированные на нестационарном отрезке 10,~ ~, задаются Форму- лой 2.4 . Системс неста юна ных неп е ывных и писк етных комплексных экспоне альных и т игономет ических н й Неп е ывные о тоно ми рванине комплексные экспонен альные ~ ункпуи, определенные на несгационарном отрезке[0,~ 3 , задаются формулой г'~ — т ~(~,т)= — 'е (г'=п,-~,„, ) .
(2.68) Отметим, что система функций (2.68) является не только ортогональной и нормированной, но и мультипликативной, т.е. для нее справедливы равенства ГИ,т)Г~ (1,т) =Г;,„И,'И; Р; Й,г)= /Г Кроме настационарной непрерывной базисной системы комплексных зкспоненциальных функций на отрезке [О,~ 1 можно определить несколько различных, но взаимосвязанных между собой нестационарных ортонормированных дискретных комплексных экспоненциальних систем функций. Рассмотрим две такие системы. ' ск агнце о тоно ми ованные комплексные с н и определенные на нестационарном отрезке ~0,1 ) , задаются формулами °,~~ ~' Й' , 2 Р ~--у~"'-1,0,4,...,4 ~ 11- О,~,...,.ь-~; 1=г,~,~, ...
(2.69) (2.70) Как видно из определениИ, система базисных функций (2.69) определена на четном числе тактовых моментов,Ь , а система функций (2.70) задана на любом числе тактовых моментов Ь , болыпем или равном двум. Обе системы комплексных экспоненциальных функций (2.69) и (2.70) связаны между собой равенством ~;Я,~)=Р;, И,~), если между номерами функций К и Й установлено взаимно-однозначное соответствие, которое задается следующей таблицей: 54 С ледовательно, базисную сйсгещ~ (2.69) южно считать частным случаем базисной системы (2.70), но упорядоченной по другому принципу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
