Алгоритмическое и программное обеспечение расчета нестационарных непрерывно-дискретных систем управления ЛА спектральным методом (1014466), страница 4
Текст из файла (страница 4)
31 Усредняя по мноиеству реализаций правую и левую'части полученного выраиения и учитывая свойство НСП, описываемое формулой оФ',ь "~ А', с = ~ [Х ~( сл 1 подучаем алгоритм, устанавливающий связь меаду НСП входного в выходного случайных сигналов через ЛПю, искомой систем~: аХ Е ЭЯ в (1.174) ура х ~ра ррах Я ерв Аналогично мозно показать, что ДНПФ М' и НСП 8 позволяют ~р ~ь т найти взаимную НСП входного и выходного случайных сигналов искомой система по формуле ~рю лу ~ра рь9 * (1.175) Найденные связи (1.171), (1.173) - (1.175) решают задачу определвния характеристик выходных сигнаюв линейннх непрерывно-дискретных систем управления при детерминированных и случайных воздействиях. При этом связи (1.173) - (1.176) достаточны голью для анализа ненрерывно-дискретных систем в рамках коррелнционной теории.
оое е й лине не е но- с ет звеньев. Выведем форщулы, связывающие Ж1Ю линейных непрерывно-дискретных звень ев и их паРаллельного (Рис. 1.2,а), последовательного (рис. 1.2,б) соединений и соединения с обратной связью (рис. 1.2,в). В каждом из этих соединений звено 1, 2 мокет быть любым: непрерывным, дискретным или непрерывно-дискретным. Но эти звенья долтны быть совместимаа, т.е. вход последующего звена долкен быть одного типа с выходом предылущего звена (или непрерывным, или дискретным). при этом сумароваться долины однотипные сигналы.
Рис. 1.2 36 Используя связи вход-выход для непрерывно-дискретных звеньев (1.171), составим системы уравнений: для параллельного соединения Х~ 'А'а у А ф = % б' ' Хг = ~'г б' ) (1.176) Ф Ф ФР' Р ~ - $Р' Р для последовательного соединения х к~ к х,=к~ ы; ~Ф' Ф ' Ф Фрр для соединения с обратной связью Х = В' г; К, = ~б 1; ~ о -к, . (1.178) тр Р ' Р' И.~Ь ' Р Решая эти системы уравнений, т.е. Исключая из них матрицы- столбцЫ НСХ промежуточных сигналов, получаем: для параллельного соединения Х (~Р, Ф' )~; ЧР" УР' Р для последовательного соединения х =кг и',а; (1.180) 1Ф' ИР" Р для соединения с обратной связью М=~Е''Ч~~Фг1 Ф фб ФгГЕ+Ф,ФД б.
(1 181) УР' РЧ' ЧР' Р ЧР' РФ Р'~ Анализируя связи вход-выход (1.179) - (1 ° 181), получаем искомые выражения ЯБПФ: для параллельного соединения Ф Ф'~ ~ Ф'~,' ' ур" Р' ' уР' . для последовательного соединения Э'- 1б Фу (1.18З) УР' $4''РР" для соединения с обратной связью Ф ~Г В', ФД К~ = й'~(Е + В~~ ~Р',~1 (1.184) УР УР"Р~г УР' УР~ Р~РУР Заметим, выражение (1.184) получено в предположении, что сущест. вуют обратные двухсторонние матрицы для матриц Е~Ю, Ц и Е+ЦФ, . Это предположение справедливо для инерционных систем, ФорМулы (1.182) - (1.184) позволяют найти ДЙФ любой непрерывно-дискретной системы как в общем виде, так и в виде числовой мат- РИЦЫ .
Спектральные связи вход-выход при детерминированных воздей- (1.177) (1.179) (1.182) ствиях и нен левых началь слову . Найдем выражение НСХ выходного сигнала линейной непреРывно-дискретной системы; находящейся под воздействием детерминированного сигнала и ненулевых начальных условий. Решение такой задачи основывается на описании непрерывно- дискретной системы ди4ференциальныви (интегральными) и разностными (суммарными) уравнениями и на Результатах, подученных в этом параграфе 37 (1.198) (1.199) "-~ ~~), - а -А- ~ у, 3'(~,ИЕ О„И)вР й,1)лй), с*А г где А(+) — НСХ д -сЪункции.
Аналогично поступая, приведем выражение во второй Фигурной скобке из правой части (1.197) к виду -Х.,'"л'И,)2 у) Р"'Г,).(). Ьо а*6~ Теперь НСХ (1.197) с учетом (1.198) и (1.199) имеет вид г~) ' <к) КЮ= Ф цао(В+Ея, В„~ МНИ)+Е у, Ф ~ (~,Ь) З (~), о~, l о ~, оррвл ~ о ~. о ),окая ~)~,ИФ-0 (Ю2 ~„(О У)Р (~,В, (1.200) е~сЯ,~ * Ю' й,~) -Ю й,~)Е О„ЯЕР (~,ь) (1.201) а~'Ь! - матрицы ДШФ начальных условий соответственно выходного х~69 и входного у~О) сигналов системы, которая описывается диМмренциальным уравнением (1.185), а им) -а Ъ,с~кл,изаиА ~е в,н)айс~>~~ Ри,Ва.2ся> Ьо Ьо ~ - Д1ПФ этой системы.
Рассмотрим теперь дискретную часть непрерывно-дискретной системы. Пусть она описывается разностным уравнением с переменными коэФФициентами м Х ао(СЦ Х(С) =Е Ь,1Й)Р фй) (1.203) о:о „ы:о при ненулевых начальных условиях Хо ~~ Х(~)~ ~ у Р ~ф $ фй)~ (Р О /~ РУ Ф~ф О (~ Уф ф Найдем теперь НСХ выходного сигнала линейной дискретной системы, задаваечой разностным уравнонием (1 .2(3) и начальными условиями (1.204). В данном случае не будем сводить исходную задачу (1.203), (1.204) к эквивалент'ому суммарному уравнеш ю, а преобразуем в спектральную область непосредственно уравнения (1.203) и (1.204).
3аметим, что так ;.е ьоино было поступить и с задачей Коши (1.185), (1,186) (1,2~. 40 численной реализации в этих базисах основных элементарных опера- ций спектрального метода описания и анализа несгационарных непре- рывно-дискретных систем управления. (2.2) 43 Г л а в а П. БАЗИСНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ НА НЕСЧИ1ИОНАРНОМ ОТРЕЗКЕ ~0, Ф 1 В главе рассматриваются полные оргонормированные системы 4унк- ций в пространстве .Л [О, 1 ] . Ныбор веса р в виде (1.2) порождает системы непрерывных базисных Фунай, а в виде (1.3) системы дис- кретных базисных Функций, ортонормированных на несгационарном от- резке ~О, 1 1 .
Эти системы позволяют строить полные оргонормированг 2 ные системы в произведениях в.Ьр, где Х„- пространство Функций двух или большего числа переменных. Например, есю.ф - простран- ство функций двух переменных, го система Функций (Ф~ Д, ортонорми- рованная на промеи~утке О~ г,ь 1,, О~'г~ ~Ю-,, образуется сле- дуиицим образом: ~~~„,,)=(~„,~ ), где (д, ~н(,Ь;) - полные системы оргонормированных Функций соответственно в пространствах.~ ~0,~,1 г Ф и 1,, ~Р,~~1 . Применять эти базисные системы Функций южно не толь- Ф г ко для нахождения НСХ ог Функций, принадлежащих пространству~,, но и для нахождения НСХ обобщенных функций„основываясь на распростра- нении понятия НСХ на эти функции (см. 5 1.1 или [1, 21 ).
Заметим также, что в настоящей главе изучаются только базисные системы Функций, уже нашедшие применение при анализе нестационарных непрерывно-дискретных систем, При этом рассмотрим только такие свой- ства базисных функпнй, которые будут непосредственно использованы в следующей главе для разработки численных алгоригюв элементарных операций спектрального метода .
2.1, Система нестаь она ных льг ас ческих полиномов ультрасферические полиномы (полиномы Гегенбауэра), определен- ные на несгационарном отрезке [Р,~)] , задаются формулой с д. ГК,г)=2. й,~ —,, Гг'-Ц~,...), (2.1) где б~'/г, а .! ф ~ — )Г Г'~ 5+ ~ + ~) ~,, =(-!) Г(гб)Г(И+А+ — )Г г-,()! А! Полиномы (2.1) ортогональны на нестационарном отрезке с весом / / а-.—, р(Р, ~) =- г (~-г) (2.3) Ф ~Уйф~„И,И~; (Ф,С)дх -0 (4 +~), о г.е. (2.4) и имеюг норМу: г г(ь.3) )гбгт,,) Следовагельно, формула оргонормированннх нвсгацнонарннх.ульграсфе- .
рических полиномов для огрезка ~0,1 3 с учегом внракений (2.1) (2Л) имеег нид (Уы) )г ~)И~. ) ) М г~ В внражвниях (2.23, (2.б), (2.6) входиг гаме-Функция Па), югорая опрвделяегся П91 ингегралом Эйлэра вгорого Рода и для когорой справедлива рекурренгная формула Г(а ~) =аГ(а). (3.7) Укакем ганке на значения Г(а) при а 1 и а = 1/2; Г(д -Г; Г(Й) -~(Г. Огмегим геперь нвюгорне ваяние чвсгнне случаи ульграсферичеоких полиномов. Н сг н нне полиноми Лева получаюгся из (3.6), есж по- а)иигь 6 = 1/2: р;Д~)-~ ~ Е);~ —, (г -а),...), <а.е) (2.6) где Г;,~ =(-~) С;, С; (2.9) Весовая функция РЙ,~) = ~, Нвсга он нйв по новы Чвбншвва 1-го о получаюгся из (3.6) предельным переходом при сгрвмлении б к нулю: ~/)Гя' ри г 0 ) т;Р,г)= ~ г.4 ~ф~ж Е (;~ —, ~р~ ~ -~.Г,..., Ьо (2.10) где г'-А )ГК ~' Г (с + А) т '" ( г(~-Я( -ц.~,~! Весовая функция о)),7) // ~~~~.~) (3.П) (3.12) Наст она ные поливом~ Чебышева 2-го (2.6), если положить б = 1: л 2 /д~ ~ г'( О Иг)= — — ~.
1,— ~ т ~э' ~, ' ~4 получаются из (2.13) где ~'- ( ~Г Г Я ~А а) и '~ а Г(м+Ы(г'-и)Ж -(-~) (2.14) Весовая функция .о(г,й-~РЙ:0 . (2.15) Разрабо~ка алгоритмического обеспечения спектрального метода в базисе (2.6) связана с ревуррентнюа свойстваиы ультрасферических полиномов ("; И,~), п «кратных производных и и -кратных интегралов от них. Остановимоя на этих свойствах.
Пусть ~ йф ~~=01,2, ... (2.16) (й,4)~Й при и -пг -/-Г„, I~T 1 р МЯб+Й И р аЯ,х~ 2(б~е-1)~ ~ 4)Й-~~~ т)~ ~ Л ~~~~т~ ®'~ ~~Я лй т)~ (2 30) Л(~0+~~-л) Д й,г) ~7(~ т) у' Г~,г). (2.21) тогда южно запйсать общую ренуррентную формулу, связывающую пкратные производные и и-кратные интегралы от полиномов Гегенбауэра (2.1) через обобщенный оператор (2.16): .(1'-пф й,х)-Л(б+~-г)~ — -~~д, И,г)-(гь~~+п-ьф, (~,г)+ (и), !Я2' '1 (п~ (и) (Ю ру , г(аа-вЫ+ -~) й;, ~ -и(зб'+8-2)(яб+г'-4) Г-и-4)) чтобы вывести эту формулу, поступим следующим образом. продифференцируем почленно формулы с~;(ш,ш)-аЫ а-~>~ — -~)~",,йб-~або~-а)~,.,И,~); (2.1В) (2С г Гб) о которые связывают трн последовательных ненормированных ультрасферических полинома (2.1).
Получим Подставляя (2.21) в (2.20) и приводя подобные, будем иметь (к В~г ИФ 2Ы ' В~ 1Г' ИГ) (М ~ ~)У' й т) Йт ( Ли$ференцируя (2.21) и (2.22) и подставляя первый результат во второй, получаем выражение, связывающее вторые производные от ультра- сферических полиноюв. Повторяя вышеуказанные процедуры, находим выражение, связывающее ~ -кратныв производные ет ультрасферических полиномов: (з-з,)); ~(зе)-г(р з-з)/ — -з()),(г,г)-(гг з' а-г))а~" (з,в). (г.к)) Очевидно, что выражение (2.23) при п~п совпадает с выражением (2,17).
Выведем теперь 4орцулы для и -кратных интегралов'.от ультрасферическнх полнноюв. Лля этого сначала почлвнно проинтегрируем от о до г' выражение (3.18), найдем 7 (/)((з,з)з(з г(0 з'.з)// з))з (з,з)(з (гг з'"г)/);. ((,з)ызз. (г.гн) а () () Первый интеграл в правой части (2.24), используя процедуру взятия интеграла по частям, представим в виде Ф' /( — з()~ ((,з)з(з ( — -з(/)),(з,з)ызз /Шт/), ((,з)нзз, о Подставляя сюда (2.19), а результат подстановки в (2.24), получаем: Ф' т х (з*з)/)з(з,з)азз г(а'з'.()(з з(/(),(гз)азз (гр з'"и)/)) (з,з)ыз ('ЗГ (6) 4) + (~~ ~)(~~ ~г 2) аг,() (2;26) (Яб и г'-~)(Гб 4'~- ~) Интегрируя теперь от о до т выражения (2 .19) и (2.26) и подставляя первый результат во второй, получаем выражение, связывающее повторные интегралы от ультрасферических полиномов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
