Лекция 8 (1014394), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Где Р – давление.

В гидроаэромеханике для случая идеальной жидкости - уравнение Эйлера, для вязкой - Навье-Стокса.

Уравнение закона сохранения энергии:

Где – полная энергия единицы массы

– полный поток энергии

– внутренняя энергия массы

Подобные уравнения лежат в основе математических моделей многих механических, теплотехнических, гидроаэродинамических и др. устройств при их проектировании.

Уравнение теплопроводности вытекает из закона сохранения энергии:

– количество теплоты

– вектор плотности теплового потока

– количество теплоты, выделяемой в единицу времени в рассматриваемой элементарном объеме

Развернутая запись этих законов приводит к системе дифференциальных уравнений в частных производных, решение которых представляет наиболее сложную на сегодняшний день вычислительную задачу. Прежде всего такие задачи характеризуются чрезвычайно высокой размерностью, которая чаще всего выражается порядком соответствующей системы уравнений, но может оцениваться количеством переменных, порядками матриц и т.д..

Например, при расчетах ряда изоляционных систем для высоковольтных конструкций порядок систем уравнений достигает 10000.

Следствием больших размерностей таких задач явилось преобладающее их представление в матричной форме. Это также связано с удобством программирования матричных процедур для ЭВМ. Важной особенностью матриц для распределенных математических моделей является их разреженность. Разреженной матрицей называют матрицу, имеющую небольшой процент нулевых элементов. Практически матрицу размером nn можно считать разреженной, если количество ее нулевых элементов имеет порядок n. Собственно говоря, именно это свойство дает возможность решить большинство интересных и важных задач, которые часто не могут быть решены только потому, что их решение связано с обращением матриц больших размеров, которое либо не осуществимо при имеющемся объеме памяти ЭВМ, либо требует больших затрат машинного времени. Поэтому разработанная в последние десятилетия техника применения разреженных матриц накладывает свой отпечаток на процедуру решения многих задач структурного анализа, теории электрических сетей и энергосистем распределения энергии, теории графов и, конечно, численного решения дифференциальных уравнений.

Следующей особенностью многих задач математической физики следует указать плохую обусловленность систем уравнений, описывающих эти задачи. Матрицы таких систем имеют различающиеся на много порядков максимальные и минимальные по модулю собственные значения, а многие численные методы весьма чувствительны к плохо обусловленным матрицам. Плохая обусловленность математической модели, (max(_K) / min(_K)  10 ⁵ затрудняет численное решение, что чаще всего выражается в росте погрешностей и увеличении затрат машинного времени.

24

Характеристики

Список файлов лекций