Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

τ – сдвигающее напряжение,

– сжимающие напряжения,

.

Вывод этого уравнения весьма сложен и громоздок, поэтому его не приводим. Для нашего случая уравнение (1) примет вид:

P – усилие, равномерно распределенное (гипотеза!) по окружности кромок.

Граничные условия для  в случае шарнирного опирания торцов (ещё одна гипотеза!) будут:

При . ( – длина оболочки)

В качестве простейшего варианта решения примем, что изогнутая поверхность оболочки после выпучивания является осесимметричной, (опять гипотеза) т.е., что поперечные сечения остаются круговыми. Тогда  будет зависеть только от Х и уравнение (2) примет вид:

Примем для выражение , удовлетворяющее граничным условиям, здесь m - число полуволн изогнутой поверхности вдоль длины. При таком характере выпучивания каждая продольная полоска находится в тех же условиях, что и сжатый стержень.

Подставляя (4) в (3), находим:

Где , h – толщина оболочки.

Определим минимальное значение Р, приравнивая нулю производную Р по  , при этом мы считаем m  1, тогда получим:

При котором

При

Формула (5) и есть то аналитическое выражение, которое дает возможность по заданным нагрузкам, радиусу и модулю упругости определить необходимую толщину сжатой цилиндрической оболочки.

Как показали многочисленные эксперименты, формула критических напряжений для идеальных оболочек (5) дает значения существенно большие, чем наблюдаемые на опыте. Даже для оболочек, изготовленных с большой тщательностью обточкой на токарном станке, с минимальными отклонениями толщины стенки и радиуса кривизны от заданных величин, значения критических напряжений, оказываются в 2 – 3 раза меньше по сравнению с данными теории для идеальных оболочек. Величина коэффициента устойчивости, при котором происходит разрушение, составляет 0,15 – 0,3 вместо 0,605. При испытаниях оболочек, изготовленных более грубо, например, из свернутого тонкого листа, обычно уже при малых нагрузках можно заменить образование одиночных вмятин в местах начальных несовершенств или концентраторов напряжений. Напряжения потери устойчивости в значительной степени зависят от начальных несовершенств формы и с их увеличением заметно уменьшаются. По сравнению с качественно изготовленными оболочками при начальных несовершенствах, равных толщине оболочки и более, критические напряжения снижаются в 1,5 – 2 раза. Влияние начальных несовершенств возрастает с уменьшением относительной толщины .

На практике при расчете цилиндров под действием осевой силы Т.

Критические напряжения и критическая осевая сила определяются по формулам:

Коэффициент k определяется с помощью выражения, полученного при аппроксимации результатов многочисленных экспериментов.

Значения этого коэффициента представлены на рисунке.

Если оболочки изготовлены недостаточно качественно, и начальные несовершенства соизмеримы с толщиной стенки, расчетные значения обычно снижают примерно вдвое. Очень короткий тонкостенный цилиндр, длина которого рассчитывают по формуле для широкой пластины:

, где коэффициент k равен 0,9.

Рассмотренные два примера разработки аналитических моделей свидетельствуют о необходимости глубокого проникновения в физическую сущность задачи и весьма большой ненадёжности и ограниченности любого аналитического выражения.

Несмотря на очевидные недостатки аналитических моделей, связанные прежде всего с невысокой точностью, неуниверсальностью и ограниченностью, они как правило весьма экономичны, но основное их преимущество состоит в

Исследование с помощью численных моделей

Когда математическая модель уже построена, первой мыслью обычно является мысль о том, нельзя ли попытаться найти решение в явной замкнутой форме. Однако такое решение обычно возможно только при определенном (часто весьма радикальном) упрощении проблемы. Пример того, к чему могут привести подобные упрощения приведён в разделе 4 курса лекций. Правда, такие упрощенные постановки с известными решениями могут оказать­ся чрезвычайно полезными как контрольные варианты для более общей исходной задачи.

Убедившись в невозможности построения явного решения, приходится обращаться к разработке численного метода для его нахождения. Итак, если аналитическое получение математической модели затруднительно, а упрощения задачи ведут к недопустимо грубым результатам, от аналитического исследования отказываются и переходят к другим способам использования математических моделей. Исследование процессов и систем при помощи численных методов находит более широкое применение на практике, особенно в связи с интенсивным внедрением ЭВМ. Содержание работы при численном исследовании остается, в основном, тем же, что и при использовании аналитических моделей.

Отличие состоит в том, что после выполнения наиболее трудной части исследования - преобразования математической модели в систему уравнений относительно искомых величин - необходимо, реализуя численный метод, получить решение.

Численные методы основываются на построении конечной последовательности действий над числами, приводящей к получению требуемых результатов. При наличии математической модели исследуемого объекта применение численных методов сводится к замене математических операций и отношений соответствующими операциями над числами: замене интегралов суммами, производных разностными отношениями, бесконечных сумм - конечными и т.д. В результате этого строится алгоритм, позволяющий точно или с допустимой погрешностью определить значения требуемых величин.

Результат применения численных методов - таблицы (графики) зависимостей, раскрывающих свойства объекта. Численные методы по сравнению с аналитическими позволяют решать значительно более широкий круг задач. Понятно, что характер процессов, присущих исследуемому объекту и подлежащих отображению в модели, может быть столь сложным, что построение математической модели превращается в трудную задачу, а анализ модели даже численными методами может оказаться нерезультативным из-за трудоемкости или неустойчивости алгоритмов в отношении погрешностей аппроксимации и округления.

Отметим, что класс уравнений, допускающий приближенное (впрочем, со сколь угодно высокой степенью точности) решение, значительно шире, чем класс уравнений, доступных аналитическому исследованию, Вместе с тем, решение задачи при использовании численных методов обычно ограничено по сравнению с аналитическим исследованием, так как не выявляет структуры и характер функционирования системы в целом, а лишь позволяет оценить ее состояние при выбранных численных значениях параметров.

Следует также заметить, что при выборе и реализации численного метода нахождения решения мы сначала подсознательно, а потом, по ходу разработки, все более явно учитываем те вычислительные средства и программное обеспечение, которые имеются в нашем распоря­жении.

Особенности задач математической физики

Одним из принципов моделирования в условиях перехода от ручных методов проектирования к автоматизированным является следующий: при создании теоретических моделей целесообразно исходить из основных физических законов в их наиболее “чистом”, фундаментальном виде. Соблюдение этого принципа обеспечивает получение достаточно универсальных моделей, а применение эффективного численного метода - получение результатов с высокой степенью точности. К наиболее общим функциональным законам в первую очередь относятся законы сохранения массы, энергии, количества движения. Общая формулировка этих законов, помогающая перейти к математическим уравнениям может быть записана в следующем виде: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-оттока этой субстанции через поверхность элементарного объема. В качестве субстанции выступает масса, энергия, количество движения. Такой общий вид уравнений, составляющих основу распределенных моделей, будет следующим:

Где – некоторая фазовая переменная, выражающая субстанцию (плотность, импульс и т.д.)

I – поток фазовой переменной

G – скорость генерации субстанции

t – время

Поток фазовой переменной есть вектор I=(I_x, I_y, I_z). Дивергенция этого вектора, как и любого другого, определяется формулой:

И характеризует сумму притока – стока субстанции через поверхность элементарного объема.

Например, уравнение сохранения массы имеет вид:

Где – плотность, – скорость.

В гидроаэродинамике это уравнение называют уравнением неразрывности.

При одномерном рассмотрении, когда отличная от нуля скорость существует только в одном направлении, например, направлении Х, уравнение упрощается:

Уравнение закона сохранения количества движения (импульса) без учета действия внешних сил в одномерном приближении записывается в виде:

Характеристики

Список файлов лекций