Лекция 8 (1014394), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для расчета жесткости часть корпуса, расположенную между ближайшими массами, разбивают на участки, в пределах которых можно полагать поперечное сечение корпуса постоянным. Податливость каждого из участков вычисляется по известной формуле сопротивления материалов

Где – длина участка

– площадь поперечного сечения

– модуль упругости

Податливость части корпуса равна сумме податливостей всех участков:

Сложнее обстоит дело с расчетом податливости упругой связи жидкости с корпусом, который здесь рассматриваться не будет. Кроме того, в дальнейшем ограничимся рассмотрением неразветвленной системы. Пусть координаты X_i , определяющие положение точек системы, отсчитываются от положения равновесия:

Чтобы составить дифференциальное уравнение движения, рассмотрим движение i - массы.

m_i

C_i-1,i (X_i) C_i,i C_i,i+1 (X_i – X_i+1)

Слева и справа на массу действуют только силы упругости, определяемые разностью перемещений концов пружин. Учитывая выбранное положительное направление отсчета координаты Х, получим:

m_i Х_i  = C_i-1,i (Х _i-1 - Х_i) - С _{i, i+1} (Х _i - Х _i+1 )

Количество таких уравнений, очевидно, равно числу выбранных масс или числу степеней свободы системы. Несколько отличаться будут уравнения для первой и последней массы.

m₁ X₁ = - C_1,2 (X₁ - X₂ ); m_n X_n = - C _{n-1, n} (X _n-1 - X _n )

Задача динамического расчета сводится к определению координат X _i как функции времени и к определению динамических усилий в сечениях между массами, равных усилиям в упругих связях.

N _{i-1, i} = C _{i-1, i} (X _i-1 - X _i )

4 Исследование разрешимости

Решение системы уравнений разыскивают в виде:

Х_i = А_i Cos ( t + )

т.е. полагаем, что все точки системы колеблются с одинаковой чистотой и находятся в одной фазе. Подставив выражение для Х _i в систему уравнений, получим:

- m_i  ² A_i = C _{i-1, i} ( A_i-1 - A_i ) - C_{i ,i+1} ( A_i - A_i+1 )

или

-C_{i-1, i} A_i-1 + (C_{i-1, i} + C_i,i+1 - m_i ²) A_i - C_i,i+1 A_i+1 = 0

помня, что C_0,1 = 0 и C_n,n+1 = 0.

Полученная система уравнений является однородной относительно искомых амплитуд A_i. Как известно, отличное от нуля решение эта система имеет лишь в том случае, если определитель системы равняется нулю, т. е.:

Выписанный определитель называется вековым уравнением или уравнением частот. Порядок этого уравнения равен n, следовательно, можно ожидать n значений  (отрицательные корни отбрасывают, все корни действительные). Однако несложный анализ убеждает, что один из корней нулевой. Физически нулевая частота соответствует перемещению ракеты, как твёрдого тела, когда Х₁=Х₂=...=Х_n.

Следовательно, количество частот на единицу меньше количества масс или числа степеней свободы системы.

Рассмотрим в качестве примера простейший случай. Пусть n=2 , тогда:

Частота колебаний находится из уравнения

m ₁ m ₂  ² - C _1,2 (m ₁ + m ₂ )= 0

Итак, будем полагать, что все частоты системы найдены. Расположим их в порядке возрастания.

 ₁   ₂     _n-1

Подставляя в систему уравнений одну из найденных частот

_S (S=1, 2, ..., n-1) убедимся, что мы не можем найти амплитуды колебаний А_i , а отыскиваем лишь их отношения, например А_i / А _n .

Эти отношения будут различны в зависимости от номера частоты, поэтому введем систему коэффициентов.

а_{i ,S} = А_{i ,S} / А _{n ,S} (2)

По физическому смыслу коэффициенты а_{i ,S} выражают соотношение между амплитудами точек системы при колебаниях S-го тона, т.е. являются коэффициентами форм колебаний.

Исключая из уравнения (1) амплитуды А_{i , S} с помощью выражения (2), получим систему уравнений для определения а_{i , S} в виде :

m_i  _S ² а _{i, S} = С _{i-1, i} ( а _{i-1, S} - а _{i, S} ) - С _{i, i+1} (а _{i, S} - а _{i+1, S} )

или С _{i-1, i} а _{i-1, S} + ( С _{i-1, i} + С _{i , i+1} - m_i  _S ² ) а _{i, S} - С _{i , i+1} а _{i+1, S} = 0

Полученная система уравнений для любого S-го тона легко решается, начиная с последнего уравнения системы, так как а_{n ,S} = f .

Важнейшим свойством коэффициентов форм колебаний, доказательство которого не приводится, является ортогональность, записываемая в виде:

При , и другое свойство:

Общее решение системы дифференциальных уравнений получается как сумма отдельных частных решений, т.е.

Или:

Коэффициенты A _{n ,S} и  _S находим из начальных условий. Система начальных условий в общем случае должна содержать значения координат Х_i (0) и скоростей Х _i ,’(0) при t = 0. Наиболее типичным является случай отсутствия начальных скоростей Х _i ,’(0) = 0 или их равенство между собой. В этом случае  _{S = 0} и

При t =0, очевидно: .

Умножив обе части этого уравнения на m _i a _{i, r ,} и просуммировав по i от 1 до n получим:

В правой части изменим порядок суммирования:

Вследствие свойства ортогональности в правой части вместо суммы по S остается только один член, где i=S. Отсюда:

Таким образом, задача решена и получена аналитическая формула, определения параметров свободных продольных колебаний ракеты.

Пример 2. Реализация второго подхода для получения аналитической формулы.

При проектировании различных конструкций приходится сталкиваться с расчетами на устойчивость оболочек различной формы. Обладая легкостью, тонкостенная пространственная система (оболочка) представляет собой исключительно жесткую конструктивную форму. При расчете и проектировании тонкостенных конструкций, работающих на устойчивость, необходимо дополнительно учитывать влияние ряда технологических и конструктивных факторов: качества изготовления, отклонения формы оболочки от теоретических обводов, несовершенства формы оболочки в районе сварных швов или конструктивных надстроек. Наличие несовершенства превышающей толщину неподкрепленной оболочки, снижает несущую способность конструкции в 1,5 - 2 раза. Для большинства тонкостенных систем имеют большое значение условия заделки опорного контура (защемление или опирание). Влияние этих факторов в работе элементов, работающих на расстоянии обычно не ощутимо. Эти и подобные им факторы, как правило, учитываются при расчете соответствующим выбором коэффициента устойчивости k. Существующие теоретические решения позволяют определить значения k для наиболее простых случаев. Однако на практике учет всех влияний представляет весьма сложную задачу, поэтому действительная несущая способность конструкции может быть установлена на основании испытаний натурных образцов. При проектировочных расчетах коэффициенты устойчивости принимаются условно по существующим теоретическим или статистическим данным испытаний аналогичных конструкций.

Построение математической модели для определения толщины стенки гладкой цилиндрической оболочки.

Обратимся к задаче об устойчивости замкнутой круговой цилиндрической оболочки, подвергающейся сжатию вдоль образующей усилиями Р, равномерно распределенными по торцам оболочки:

и перечислим этапы процесса получения уравнений для решения данной задачи, а также некоторые гипотезы положенные в основу производимых упрощений.

Деформацию твердых тел, к которым, безусловно, следует отнести металлическую цилиндрическую оболочку, изучает теория упругости. Уравнения упругого равновесия, записанные относительно трёх компонент перемещения каждой точки тела u (x,y,z), v (x,y,z),w(x,y,z),при отсутствии массовых сил (первое допущение!) имеют следующий вид:

Здесь:

– двумерный оператор Лапласа,

– двойной оператор Лапласа.

Так как трёх совместных дифференциальных уравнений достаточно для определения трёх неизвестных упругих перемещений u,v,w, то решение задачи упругости можно найти, если будут удовлетворены:

• условия на поверхности упругого тела – так называемые граничные условия

• условия в начале перемещения – так называемые начальные условия

Но решение этой задачи возможно только для тел простой формы с простыми граничными и начальными условиями. Тонкостенные конструкции (а, цилиндрическая оболочка как раз и является тонкостенной конструкцией) к ним не относятся и для решения задач по определению напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций разработана теория оболочек.

Согласно теории оболочек уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние оболочек, включают 6 зависимостей, связывающих деформации и перемещения, 5 уравнений равновесия, 8 соотношений закона Гука.

Неизвестные: 3 перемещения u,v,, 4 момента, 2 поперечные силы, 3 деформации и 3 параметра кривизны.

В основу создания теории оболочек положены гипотезы, главные из которых:

• бесконечно малый участок поверхности заменяется участком касательной плоскости

• оболочка имеет малые прогибы - гипотеза прямых нормалей

Уравнения теории оболочек можно решить только численно. Поэтому для получения аналитических формул классическую теорию оболочек приходится упрощать. Это привело к разработке теории пологих оболочек. В основе теории пологих оболочек положены следующие допущения:

• Выпучивание оболочек при деформации сопровождается появлением сравнительно мелких волн, т.е. таких волн, размеры которых хотя бы в одном направлении малы по сравнению с радиусами кривизны срединной поверхности. При этом в пределах каждой величины оболочка рассматривается как пологая.

• Геометрия срединной поверхности независимо от ее гауссовой кривизны является на некотором участке такой же как и геометрия на плоскости.

• Функции, через которые выражаются перемещения, деформации и напряжения, изменяются сравнительно быстро вдоль одной координаты.

На основе теории пологих оболочек была разработана более частная теория - теория устойчивости цилиндрических оболочек, в основе которой лежит разрешающее уравнение (1) относительно только прогиба , подразумевая тем самым абсолютно симметричную деформацию цилиндрической оболочки при нагружении, что, конечно, является серьёзным приближением:

Где – цилиндрическая жесткость,

μ – коэффициент Пуассона,

Характеристики

Список файлов лекций