6Simulation systems Лекция 21 Реш ур-я (1014329), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Обозначим через ₁ угол, характеризующий положение плоскости, проходящей через траектории нейтрона до и после столкновения относительно траектории нейтрона до столкновения. Этот угол будет равномерно распределен в интервале (0,2). Угол, который образует траектория нейтрона после столкновения с ядром с нормалью к пластине, определяется по формуле, известной из сферической геометрии.

После первого столкновения мы опять-таки из экспоненциального распределения определяем абсциссу второй точки столкновения и, аналогично предыдущему, определяем дальнейшее движение нейтрона.

Процесс моделирования прекращается в следующих случаях:

- если произойдет поглощение нейтрона;

- если нейтрон отразится от передней поверхности пластины;

- если энергия нейтрона снизится до уровня энергии тепловых нейтронов;

- если нейтрон пройдет через пластину.

Такое моделирование движения нейтронов можно рассматривать как систему независимых испытаний.

Рассмотрим случайную величину , зависящую от результата каждого испытания и принимающую значение нуль, если процесс заканчивается одним из первых трех вариантов, и значение единица, когда нейтрон проходит через пластину. Естественно, что среднее значение величины 

E_ =P

где Р - вероятность прохождения нейтрона через пластину.

Предлагаемый метод нахождения величины E_ состоит в том, что мы полагаем приближенно

E_ =P=

где N - общее число испытаний, а r - число благоприятных испытаний, заканчивающихся прохождением нейтрона через пластину.

Нормированная дисперсия величины равна

В практически интересных случаях вероятности прохождения чрезвычайно малы.

Р10^-6-10^-10

Таким образом, согласно общей оценке число испытаний, которые надо совершить для получения хотя бы десятипроцентной точности, имеет порядок

N=10⁹-10^-13

Такой объем вычислений слишком большой, чтобы его выполнить в обозримое время даже на современных быстродействующих ЭВМ. Поэтому для практических применений метода статистических испытаний к рассматриваемой задаче приходится отказаться от использования непосредственной модели физического явления и воспользоваться искусственными приемами. С помощью таких приемов значение нормированной дисперсии удается существенно уменьшить, так что получение относительной погрешности в 10% занимает уже вполне приемлемое время.

Кроме того, следует обратить внимание на следующее обстоятельство.

Вероятность того, что вышедший нейтрон будет иметь скорость >0, приближенно определяется так

где Na - количество нейтронов, прошедших через пластинку, для которых выполнено неравенство V>a.

В методе Монте-Карло имеет место оценка

Например, если N=10⁴, то ошибка имеет порядок  10^-2.

Однако в ряде случаев необходимо получать существенно более высокую точность. Так, при расчете защиты нужно быть уверенным, что нейтрон поглотится защитой с вероятностью большей, чем 0,9999.

Как уже говорилось, в этих условиях метод Монте-Карло в непосредственном виде не годится. Поэтому приходится применять различные способы ускорения метода Монте-Карло.

Разделим защиту на n одинаковых слоев. Проведем моделирование для одного слоя. Пусть найденная вероятность поглощения в одном слое равна W. Вероятность прохождения нейтрона через один слой равна 1-W. Следовательно, вероятность прохождения нейтрона через n слоев равна (1-W)ⁿ.

Вообще говоря, средняя скорость входящих нейтронов от одного слоя к другому ослабевает, и вероятность на самом деле меньше.

С помощью метода Монте-Карло при N=10⁴ можно достаточно надежно проверить, что W99, следовательно

(1-W)<0,001, а (1-W)ⁿ < 0,01ⁿ

Таким образом, окажется, что вероятность прохождения нейтрона через пачку из n слоев (в полном защитном слое) больше, чем 1- (1-W)ⁿ < 0,01ⁿ. Так, при n=3 мы можем проверить, что вероятность прохождения <0,000001.

Итак, метод Монте-Карло в комбинации со специфическими приемами ускорения может дать очень большую точность результатов.

Пример 2. Ещё пример задач второй группы.

Моделирование танкового сражения.

Описанный ниже пример приведен в работе Андерссона. Работа выполнялась для вооруженных сил Швеции. Авторы считают (видимо не без основания), что на территории Швеции невероятно сражение, в котором принимали бы участие более 10-15 танков с каждой стороны.

Предполагается, что в виду высокой скорострельности и большой вероятности поражения на расстояниях менее 1,5 км, сражение происходит столь быстро, что можно пренебречь передвижением танков за время сражения. Поэтому рассматривалась модель, в которой танки ведут огонь с фиксированных позиций и движение разрешено лишь в начальный период.

Весь интервал времени разделяется на интервалы равной длины, за каждый интервал поле сражения просматривается полностью и учитываются все изменения, вызванные деятельностью отдельных сражающихся единиц (танков).

Предполагается, что каждая единица модели может быть в одном из следующих состояний.

1. Не повреждена

2. Может только двигаться

3. Промежуточное

4. Выведена из строя.

В промежуточном состоянии находится пораженная, но не выведенная из строя единица. Через некоторое время она может перейти в одно из трех предыдущих состояний.

Кроме состояний, каждая единица имеет другие свойства. Некоторые из них постоянны, как например, скорость, другие могут изменяться в процессе сражения, например, тип оружия, используемый в данный момент, скорострельность и некоторые специальные характеристики - контрольные времена (например, время выхода из промежуточного состояния).

Активность стороны А против стороны Б описывается матрицей

Элементы ее могут принимать целые значения от 0 до 4.

Если Аi обозначает i-ую единицу стороны А, Бj - j-ю единицу стороны Б, то имеют следующие значения:

=0 1 2 3 4.

Так, = 3 означает, что Аi готовит следующий выстрел по Бj.

Начальная фаза сражения обычно весьма важна для его исхода, в частности, очень важно, как быстро стороны обнаружат друг друга. На открытой местности обнаружение происходит почти немедленно - достаточно танкам приблизиться до расстояния прямой видимости. При других обстоятельствах вероятность обнаружения зависит от многих факторов. Если, например, танк замаскирован на стационарной позиции, то его трудно обнаружить, пока он не выстрелит.

Для создания адекватной модели обнаружения требуются серьезные исследования физического и психологического характера.

В данной модели вводилась вероятность обнаружения Рij в интервале времени

_i,j - есть момент времени, когда возникает

прямая видимость между А_i и Б_j,

при t<_i,j

(t-t,t) при условии, что Аi не обнаружила Бj за время (0,t-t) ;

при t _i,j

Здесь

Величина Kj учитывает эффект маскировки и d_ij- расстояние между Аi и Бj.

- функция активности наблюдения Аi. Эта функция равна константе до и после момента t=t₂, где она скачкообразно возрастает, t₂ - есть момент времени, в который становится известно о появлении вражеских танков. Оно слагается из времени t₁ -первого обнаружения стороной А противника и некоторого случайного времени оповещения.

S_j,k(t) - функция, характеризующая эффект обнаружения в момент времени t_k

k-го выстрела Бj.

Рисунок соответствует случаю, когда

выстрелы происходят в моменты t₃и t₄.

Матрица заполняется в начальной фазе движения танков. При этом учитываются условия местности, наличие тумана и т.п.

Таким образом, вопрос обнаружения Бj единицей Аi решается положительно, если окажется, что Р_r,j(t).

Правила выбора цели были в данной модели детерминированы. Использовались два вида тактики: открытие огня немедленно по обнаружении цели и открытие огня по команде командира. Первая тактика использовалась при внезапном контакте, вторая при заблаговременной подготовке атаки.

Если цель поражена или находится в промежуточном состоянии, то согласно установленным правилам, происходила смена цели. При этом, в связи со взаимным расположением цели вводились различные приоритеты.

Вероятность поражения цели вычислялась как функция расстояния между танками. Кроме того, она зависела от типа вооружения, точности в определении расстояния и размеров видимой цели.

При этом вычислялась таблица вероятностей перехода.

1  1 2 2 3  3

1  2 2 4 3  4

1  3

1  4

в зависимости от перечисленных выше факторов. Точность в определении расстояния могла варьироваться на двух уровнях, размер видимой цели зависел от отрезка времени, прошедшего от момента возникновения прямой видимости цели.

Этот фактор возрастал скачкообразно и имел три различных значения. Промежуток времени между двумя выстрелами определялся как сумма двух случайных величин, которые имели заданные законы распределения, и постоянного слагаемого, которое зависело от типа оружия.

Для описанной модели была составлена программа на Фортране для машины типа IBM 7090. Входные данные составляли около 1000 чисел. Время расчета составило 18 сек на проигрывание одного сражения 15 танков против 9, что соответствовало продолжительности сражения 100 сек с шагом t =1 сек. Для того, чтобы сопоставить определенное представление об исходе сражения, требовалось провести около 50 его проигрышей.

Аналитическое описание подобной задачи практически неосуществимо.

Пример №3. Последний пример задач второй группы.

Одномерное броуновское движение частиц.

Пусть некоторые микроскопические частицы в дискретные моменты времени в результате столкновений с молекулами жидкости перемещаются с равной вероятностью либо налево, либо направо на расстояние 1. Найдем средний квадрат смещения этих частиц за К столкновений.

Методом Монте-Карло эту задачу можно приближенно решить так.

Сначала моделируем траекторию движения одной частицы, обращаясь к датчику равномерно распределенных случайных чисел, затем 2-х и более частиц. В этом случае, согласно закону больших чисел среднее арифметическое из n квадратов смещений будет уже устойчивой (почти неслучайной) характеристикой движения массы частиц.

(Теорема Чебышева: Пусть Х₁, Х₂, Х₃, ... ,Х_n, независимые случайные величины с математическим ожиданием a и с равномерно ограниченной дисперсией.

Тогда для любого )

Пусть при К=15 и n=10 получен следующий результат

( Здесь Xi - смещение b²⁾

Характеристики

Список файлов лекций