6Simulation systems Лекция 21 Реш ур-я (1014329), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

т.е. математическое ожидание штрафа есть решение конечно-разностного уравнения теплопроводности.

Краевые и начальные условия для проверяем, исходя из (Б). Действительно, положим Р=Q_j , где Q_j - внешний узел. Тогда в правой части (С) остается один ненулевой член

Если положить Р=Р_i и К=0, то в (С) также остается один член

Пример решения краевой задачи

Снова вернёмся к задаче Дерихле. Как уже говорилось, во внутреннем узле (Хj,Yl) уравнение (1) заменяется разностным уравнением:

(3)

которое можно переписать в виде:

В граничных узлах полагаем: U_j,l=g_j,l (4)

(Значения g_j,l сносят с ближайших точек границы G^O).

Если перенумеровать все узлы, принадлежащие G+G^O (в произвольном порядке), и переписать в том же порядке уравнения (3) и (4), то получим систему вида:

=1,2, ... , m

(m - количество узлов), с весьма своеобразной матрицей; внутреннему узлу с номером  отвечает строка а_1, ... , а_m , в которой 4 элемента равны 1/4, а остальные - нули;

граничному узлу с номером  отвечает строка а_1= а_2=...= а_m =0; все диагональные элементы а_ =0. Свободные члены этой системы равны f_= , если узел номера  -внутренний, и f_= g_, если узел номер  - граничный.

Построим метод Монте-Карло для расчета Ur - значения в одном заранее заданном узле.

Выберем матрицу переходов

(_ - символ Кронекера, _=1 _=0 при ).

Процесс построения цепи по такому закону оказывается очень наглядным.

начинаем с k_о=r;

если узел k_i внутренний, то с одинаковой вероятностью 1/4 выбираем в качестве k_i+1 номер

одного из соседних с ним узлов;

если узел k_i граничный, то цепь останавливается k_i =k_i+1 =k_i+2 = ... .

Расчет весов Wi вдоль такой цепи также чрезвычайно прост: пока цепь не попала на границу Wо= W_l=Wi=1; далее W_i+1= W_i+2= ... = 0.

Поэтому случайная величина оказывается равной

=_ko+_k1+ ... +_ki где ki - номер первого выхода цепи на границу.

В этом выражении все слагаемые вычисляются по формуле: f_= - (1/4)h²F_

и лишь последнее f_ki равно g_ki.

Важно отметить следующие особенности метода Монте-Карло:

1. при решении нужно помнить малое число промежуточных результатов (только величины X, Y, Xo, Yo). На этом основана идея построения специализированных ЭВМ с малой памятью и простой структурой, приспособленных к решению краевых задач методом Монте-Карло;

2. время вычисления значения (P) в одном узле практически не зависит от размерности решетки. Если необходимо вычислить значения (P) во всех узлах, то время решения возрастает. Но часто бывает не нужно находить значения функции (P) во всех узлах, а лишь в некоторых критических узлах;

3. На задаче Дирихле проявляется основная особенность метода Монте-Карло - приспособленность к многомерным задачам.

Можно показать, что среднее время блуждания при решении задачи Дирихле Z(P) < не зависит от размерности решетки.

4. Известно, что, если область G отличается от прямоугольника или круга, то точное аналитическое решение выше приведенной задачи невозможно. Конечные разности также склонны к простым областям. Метод Монте-Карло не зависит от формы области.

5. Рассмотренный метод решения задачи позволяет находить приближенное значение функции только в одном произвольном узле, что часто бывает единственной целью решения задачи.

6. Имеется возможность одновременного моделирования процесса блуждания нескольких частиц, стартующих из узла А, что позволяет в некоторых случаях существенно уменьшить время решения задачи этим методом.

7. Замечательной особенностью метода Монте-Карло является также возможность применения одних и тех же блужданий для решения данной краевой задачи с разными граничными условиями. Более того, одни и те же блуждания можно использовать также для решения того же дифференциального уравнения, но область интегрирования которого содержится внутри данной области интегрирования.

9.5.5. Применение метода Монте-Карло для решения задач смешанного типа.

Мы убедились, что применение вероятностного подхода для решения традиционных математических задач и задач математической физики обладает рядом преимуществ. Коротко рассмотрим другие сферы применения вероятностного подхода.

Итак, задачи, решаемые методом Монте-Карло, можно разбить на две группы.

1. Задачи нестохастического характера, сформулированные аналитически: вычисление интегралов, решение дифференциальных и интегральных уравнений, обращение матриц, решение систем линейных уравнений, нахождение экстремумов функций многих переменных и т.д. (примеры таких задач мы рассматривали ранее).

2. Задачи вероятностной природы, аналитическая формулировка которых представляет значительные трудности и часто практически невозможна. К таким задачам относятся, например, задачи о рассеянии и поглощении нейтронов в атомном реакторе, задачи теории массового обслуживания, игровые задачи, задачи исследования надежности электроэнергетических установок, задачи на исследование систем управления со случайными входными параметрами и т.д.

3. Задачи смешанного характера.

Пример №1.

В качестве первого примера задач 2-ой группы рассмотрим задачу о прохождении нейтронов через плоскую пластину с определенными физическими свойствами, в которой нейтроны либо рассеиваются, либо поглощаются. При этом предполагается, что нейтроны не взаимодействуют друг с другом, и вероятность перехода частицы в последующее состояние зависит только от предыдущего состояния. Иначе говоря, поведение нейтронов описывается цепью Маркова.

Вошедший в пластинку нейтрон, проходит по прямой некоторое расстояние Х внутри пластинки и затем сталкивается с ядром вещества пластинки. Здесь Х - есть значение случайной величины , плотность вероятности которой предполагается известной. В момент столкновения нейтрон либо поглощается ядром с известной вероятностью Р, либо не поглощается с вероятностью 1-Р. В последнем случае нейтрон рассеивается, причем предполагается известным распределение вероятностей угла нового направления движения нейтрона, который опять проходит некоторое расстояние до его столкновения с ядром и т.д. В конечном счете наступает одно из двух: либо нейтрон поглотится ядром внутри пластинки, либо он вылетит из пластинки.

Спрашивается, какова вероятность Р вылета из пластинки, вошедшего в нее нейтрона, если пренебречь уменьшением его скорости .

Моделирование движения одного фиктивного нейтрона заключается в следующем.

Прежде всего выбирают значение Х случайной величины , имеющей плотность вероятности . Это значение Х можно найти как корень уравнения: , где - значение равномерно распределенной в интервале (0,1) случайной величины.

Если, например: , то

Эта операция называется розыгрышем длины пути свободного пробега нейтрона.

Далее следует выяснить, поглотится или нет нейтрон в момент столкновения.

Это можно сделать с помощью процедуры реализации жребия. Пусть событие А наступает с вероятностью Р.

Шаг 1: выбираем очередное равномерно распределенное число Рi.

Шаг 2: проверкой неравенства устанавливаем принадлежность этого числа отрезку [0,1]. Если удовлетворяет этому неравенству, говорят, что событие А наступило.

Если нейтрон поглощается, то процесс моделирования на этом заканчивается.

Если же нейтрон рассеивается, необходимо разыграть угол этого рассеивания.

Этот розыгрыш осуществляется аналогично розыгрышу длины пути Х.

Цикл повторяется. Испытание заканчивается, когда нейтрон в каком-либо цикле поглотится, или сумма проекций смещений нейтрона на перпендикулярную к плоскости пластины ось окажется больше толщины пластинки.

Затем испытание повторяется.

Если проведено достаточно большое число N таких испытаний, то на основании теоремы Бернулли

Рассмотрим эту задачу в несколько изменённой постановке.

Простейшая схема моделирования защиты от ядерного излучения

Для простоты предположим, что защита имеет форму плоской пластины

Рассмотрим процесс, состоящий в том, что в пластину входит нейтрон. Нас интересует, с какой вероятностью он пройдет через защиту, и каков будет закон распределения энергий выходных нейтронов.

Состояние нейтрона характеризуется: координатой вектора Х, величиной скорости V и углом , который вектор скорости составляет с осью ОХ.

Физический процесс состоит в следующем: вошедший в пластину нейтрон проходит некоторый путь и в точке М₁ претерпевает столкновение с ядерной частицей, после чего он приобретает новую скорость V₁ и новое направление скорости ₁ или же может исчезнуть (поглотиться).

(Следует заметить, что нейтрон также может породить группу нейтронов, но этот случай здесь не рассматривается.)

При дальнейшем движении нейтрон претерпит очередное столкновение в точке М₂ и изменит величину и направление скорости либо поглотится. Процесс блуждания нейтрона может, таким образом, закончиться либо его поглощением, либо выходом из пластины (прохождением через защиту).

Искомыми величинами являются вероятность нейтрона пройти через пластину и характеристики распределения скоростей, прошедших пластину нейтронов (математическое ожидание V, вероятность Wo того, что скорость превосходит выбранное значение ).

Временные характеристики в этой задаче не существенны, так как процесс стационарный.

Моделирование движения нейтронов

Состояние входящего нейтрона характеризуется величинами Хо=0, Vo, _o. Прежде всего нужно определить точку первого столкновения. Причем, это число столкновений распределяется по закону Пуассона.

Тогда вероятность того, что нейтрон пройдет путь длины r без столкновения, равна

Координата первой точки столкновения связана с длиной пройденного пути соотношением:

X₁=Xo+r Cos  (1)

Таким образом, нужно выбрать значение случайной величины r, распределенной по экспоненциальному закону (способ получения такой величины рассматривался ранее).

Затем нужно согласно (1) определить абсциссу точки столкновения.

В момент столкновения с вероятностью q может произойти поглощение нейтрона; с вероятностью 1-q поглощение не происходит. Поэтому нужно промоделировать случайное событие происходящее с вероятностью q, и в случае его ненаступления считать, что нейтрон поглотится. Факт поглощения фиксируется, и начинается заново моделирование прохождения следующего нейтрона через пластину.

Если нейтрон не поглотится, то мы определим новые значения величины и направления скорости нейтрона V₁ и ₁.

Если столкновение нейтрона с ядром рассматривается как неупругое, то после столкновения мы имеем некоторое распределение вероятности для угла , характеризующего отклонение нейтрона после столкновения от его предыдущей траектории. При упругом столкновении угол  определяется изменением энергии нейтрона.

Характеристики

Список файлов лекций