Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Для линейных задач функционалЭ(u) является квадратичной функцией от u и ее производных, и следовательно, e-ый член правой части (6.21) принимает вид:

Где – квадратная матрица, размером ( – число узловых неизвестных e -го элемента).

Коэффициенты этой матрицы определяются свойствами среды. Для физически нелинейных задач матрица является функцией вектора – вектор узловых неизвестных. Для физически линейных задач и независимы.

Вектор имеет размер , он характеризует внешнее воздействие на e-ый элемент.

С учетом (6.22) выражение (6.21) можно переписать:

Где – квазидиагональная матрица порядка rM (М - число элементов), – вектор размеромrM. Обратим внимание, что это уравнение полностью совпадает с уравнением (6.18).

Уравнение (6.23) записано в местной системе координат. В целях дальнейших упрощений целесообразно от местной системы осуществить переход к так называемой общей системе координат.

Это связано с понятием непрерывности функции u(x,y,z) и её производных до (m-1) –го порядка во всей области. Очевидно, что в узловых точках эти величины, принимаемые за основные неизвестные, также непрерывны и, следовательно, не зависят от «принадлежности» узловой точки тому или иному из примыкающих к ней конечных элементов.

Введем для S – ой узловой точки вектор неизвестных .

Совокупности этих векторов образуют вектор основных неизвестных в общей системе координат:

Где F – число узлов, N – число неизвестных по всей области.

Между векторами и существует некоторая связь:

Где – булева матрица размером M х N. Ее структура определяется геометрией элемента, классом краевой задачи и принятым порядком нумерации для элементов векторов и .

Если принять в векторе тот же порядок нумерации компонентов, что и в векторе , то умножив, (6.23) на матрицу , с учетом зависимости (6.24), получим:

Здесь

Есть общая матрица коэффициентов при основных неизвестных в общей системе координат для всей области.

Размер квадратной матрицы равенNN.

– вектор – столбец размером N. Его элементы характеризует внешнее воздействие на всю область .

Полученное матричное уравнение (6.25) и есть искомая система алгебраических уравнений для определения основных узловых неизвестных , а выражение (6.26) определяющее для реализации МКЭ вариационным методом.

7.2.2.Совместное решение системы алгебраических уравнений

Для физически линейных краевых задач система уравнений (6.25) линейна. Для ее решения обычно используется один из ниже перечисленных методов: Гаусса, Холецкого, Зейделя, сопряженных градиентов и, иногда, итерационные методы. Для нелинейных краевых задач система уравнений (6.25) нелинейна, поскольку матрица является функцией определяемых неизвестных параметров . При решении нелинейной системы алгебраических уравнений используются только итерационные методы.

Пусть вектор найден. Тогда с помощью зависимостей (6.24) и (6.8) можно найти функцию для всей области:

Где – матрица координатных функций .

Значения производных от функции , которые могут интересовать также при решении краевых задач, определяются либо дифференцированием полученного выражения, либо непосредственно через узловые значения искомых производных, если последние входят в состав вектора .

Иллюстрацией использование вариационного подхода может служить рисунок из лекции 12.

Характерные черты метода конечных элементов

Из вышеизложенного следует, что МКЭ — сеточно-вариационный метод: с одной стороны, возможна разбивка области на конечные элементы и, с другой стороны, — непосредственно вариационное решение задачи. Именно с этим связаны преимущества МКЭ как прямого метода математической физики. При вариационном методе используются более широкие теоремы существования, так как подынтегральные выражения в функционалах имеют порядок производных, равный половине порядка исходных диф­ференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую крае­вую задачу. Это расширяет класс допустимых функций и, в ча­стности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций, составляющих основу МКЭ.

Одним словом, МКЭ обладает всеми достоинствами сеточных и вариационных методов решения задачи математической физики и лишен их недостатков.

Как уже говорилось, сеточные методы очень затруднительно использовать при сложной геометрии области . В этих случаях практически невозможно использовать и вариационные методы вследствие очевидных затруднений с построением координатных функций.

При использовании МКЭ указанные выше затруднения не встречаются. Это, пожалуй, единственный на сегодня метод, который проявляет такое безразличие к геометрии области, характеру краевых условий, законам изменения свойств среды и внешнего воздействия на область. Как правило, разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусло­вленными, с редко заполненными матрицами, и, что очень важно, формирование таких матриц оказывается достаточно простым.

МКЭ можно трактовать как специфический метод Галёркина (см. главу 5.3 лекции 10). Новым следует считать лишь выбор координатных функций: в МКЭ они кусочно-полиномиальны. От этого выбора зависит успех решения. Каждая функция равна нулю на большей части области , отлична от нуля только в окрестности соответствующего узла и, следовательно, носит локальный характер. В этой окре­стности функция составлена из полиномов невысокой степени, что способствует упрощению вычислений в МКЭ. Кроме того, в классическом варианте метода Галёркина добавление новых коорди­натных функций не меняет координатные функции, использован­ные ранее. В МКЭ добавление новых координатных функций связано с иной разбивкой на элементы и узлы и может вызвать изменение всех координатных функций. Таким образом, в МКЭ при переходе от одного приближения к другому имеем дело не с последовательностью координатных функций, как в классическом методе Галёркина, а с последовательностью наборов координат­ных функций.

Указанные преимущества МКЭ вряд ли обеспечили бы ему ту популярность, которой он пользуется при решении различных задач механики сплошных сред. Дело в том, что для таких задач вся процедура МКЭ сводится к простой и удобной механической интерпретации, которая позволяет ясно понять существо каждого из составных этапов метода при решении краевых задач.

Как в случае прямого метода построения матрицы жесткости КЭ и всей системы мы учитывали и использовали специфику механики сплошных сред, так и при реализации вариационного подхода мы будем использовать эту специфику.

Список литературы

1. Л.Э. Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., Наука, 1969.

21

Характеристики

Список файлов лекций