5Simulation systems Лекция 10 ДУ в частных производных (1014125), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Важным резервом повышения эффективности метода является выбор пробных функций. Здесь важно отметить, что использование проблемных функций, ортогональных в заданной области, значительно уменьшает усилия, требуемые для получения решения при достаточно большом N. Использование ортогональных пробных функций является важной особенностью разновидности метода - так называемого спектрального метода.

В общем случае всегда можно ожидать, что наличие априорной информации о форме точного решения существенно повышает эффективность метода.

Для обобщенного метода Галеркина весовая функция, входящая в выражение (4), имеет вид:

W_K(x) = P_K (x)

P_K (x) - аналитическая функция, аналогичная поверочной функции _K , используемой при применении метода Галеркина, однако используются некоторые дополнительные члены или множества, которые нужны для предъявления к решению некоторых добавочных требований. Обобщение метода Галеркина понадобилось потому, что при применении обычного метода Галеркина с линейными конечными элементами к исследованию течений с преобладающим внесением конвекции получаются алгебраические уравнения с нежелательными характеристиками.

Для современных методов Галеркина – в том числе, спектрального метода и метода конечного элемента эффективность определяется в форме точности решения, отнесенного к единице машинного времени выполнения программы.

При количестве неизвестных 10⁴ - 210⁴ в МКЭ выбор пробных функций представляется не столь уж важным. Однако при использовании спектральных методов выбор пробных функций оказывает существенное влияние на скорость сходимости.

При сравнении различных вариантов метода взвешенных невязок можно сделать вывод о том, что метод Галеркина дает результаты неизменно высокой степени точности, имея при этом столь же широкий диапазон приложений, как и любой другой метод МВН.

Метод наименьших квадратов обладает точностью, сравнимой с методом Галеркина, при условии его применения к равновесным эллиптическим задачам. Однако этот метод более сложен в реализации и не пригоден для решения эволюционных задач на собственные значения. Метод подобластей дает меньшую точность, чем метод Галеркина, но является, как правило, более простым в реализации. Это замечание относится и к методу коллокаций, хотя метод ортогональных коллокаций дает точность, сопоставимую с методами Галеркина.

Результаты анализа модификаций метода взвешенных невязок приведены в следующей таблице:

Метод	Метод Галеркина	Метод наименьших квадратов	Метод подобластей	Метод коллокации
Точность	Очень высокая	Очень высокая	Высокая	Умеренная
Простота формулировки	Умеренная	Низкая	Высокая	Высокая
Примечания		Непригоден для решения задач на собственные значения	Эквивалентен методу конечных объемов. Имеет ограничения к применению.	Имеет ограничения к применению

Высокие характеристики методов Галеркина обеспечили им значительно более широкое применение, нежели другим методам. Это также объясняется возможностью формирования на основе методов Галеркина достаточно универсальных и высокоточных программ. К таким методам, прежде всего, следует отнести метод конечных элементов и метод конечных разностей, которые почти идеально реализуются на ЭВМ.

Следующая таблица, сравнивающая три метода: МКР, МКЭ и спектральный метод позволяет отметить несомненные преимущества первых двух методов в части алгоритмизации.

	Метод
Характеристики	МКР	МКЭ	Спектральный метод
Пробное решение	Локальное	Локальное	Глобальное
Простота составления программ	Очень хорошая	Хорошая	Удовлетворительная
Логика изменения программ	Хорошая	Очень хорошая	Удовлетворительная
Точность на одну неизвестную	Удовлетворительная	Хорошая	Очень хорошая
Вычислительная эффективность	Хорошая	Хорошая	Очень хорошая
Важнейшие сильные стороны	Простота программирования	Легкость изменения программ	Высокая точность
Важнейшая слабая сторона	Повышение порядка точности	Экономичность	Трудность модификации программ

Дальнейшим развитием МКЭ является метод суперэлементов, обладающий всеми достоинствами МКЭ.

8

Характеристики

Список файлов лекций