Chang_t3_1973ru (1014104), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для стационарного в интегральной форме течения закон энергии записывается Ц Х вЂ” дА= Ц (е+ — 1 рУ„ЫА+Ц рУ„ЫА+Ц тУьИА. (58) л Я А л где Х = ср)иРг — коэффициент теплопроводности; е = й — р/р— удельная внутренняя энергия; ӄ— составляющая скорости, нормальная к А (направление из контрольного объема считается положительным); У! — составляющая скорости, касательная к А (положительное направление выбирается так, чтобы через касательное напряжение определялась работа, производимая газом внутри А); т =(р ди/ду( — составляющая напряжения, касательная к А.
Так как вдоль линии тока У„=- О, а вдоль стенки У! =- О, то уравнение сохранения в приложении к замкнутому контуру, образованному разделяющей линией тока ЯВ (обозначена индексом О) н стенкой ВЯ (фнг. 87), будет следующим: ь~(ь — ',") е. Е.=еье ь((е — ',") ь-.,ье*, ьи! 0 о.э.4. Тепловой поток и коэ44ициент восстановления на стенке Определим тепловой поток к стенке из закона сохранения энергии для замкнутой контрольной поверхности А с учетом смешения ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЯХ 485 где Ь вЂ” ширина плоского течения, г",е„ вЂ” тепловой поток к стенке.
Так как напряжение т производит работу над газом, знак ие отрицателен. Тогда Г е'е)ие д,", ~ (й4 ду)е о (59) (61) (63) Из уравнения (43) 6 (0) = О, так что уравнение (44) сводится к следующему: (4и и. ]Рг (Ф).=-С ""'" (60) ее Индекс ' означает дифференцирование. Так как Ри<)У=Ре')е тепе)с * ((ге=Ре3' теиелсг(~~ ( —.) =, дее ') Реие Ре ег' Уеиехс интеграл (59) сводится к следующему уравнению: Ом (62) е поскольку р,и„= С = р„р .
Это сравнительно простое урав- нение, так как и,, = ирlи, и и;, = г)и,Ы~ при ь = 0 постоян- ные, не зависящие от числа Рг, равные 0,587 и 0,341 соответ- ственно. Для адиабатического процесса «',) = О, и. подставляя С, в уравнение (62), получим "е ее Коэффициент восстановления г определяется по формуле 4 Рг иге и„', (64) Окончательно безразмерная средняя плотность теплового потока д, = е,) Усе будет равна 65) Реие(ааи Ье) г Не ) г г1)ед) ( 5 Числовые значения г и д„приведены в табл.
1Ъ' работы (6). Из рассмотрения уравнения энергии получается средний тепловой поток д„, но не местный. 186 ГЛАВА ХГ Средний тепловой поток (ц )е[ к пластине при ламинарном пограничном слое и тех же допущениях определен Чепменом и Рубезином (901, а также Блумом (91) 1/ — 'ж 0,664 Р~-'м ри Рг — 1. Рене (Ам лам) г с Тепловой поток, вычисленный для оторвавшегося ламинарного слоя воздуха при Рг = 0,72, составляет 0,56 соответствующего значения для присоединенного ламинарного пограничного слоя.
Коэффициент восстановления в областях отрыва ламинарного слоя приблизительно равен корню квадратному из числа Прандтля и почти таков же, как для присоединенного ламиварного пограничного слоя. Керл (92) теоретически исследовал отрыв «равновесного» ламинарного пограничного слоя, происходящий далеко перед падающим скачком уплотнения или перед уступом, индуцирующим скачок при сверхзвуковых скоростях. Перед отрывом происходит резкое повышение давления, и коэффициент давления в точке отрыва Ср равен С, = 0,825 (М', — 1) '" Веа [', где М, — число Маха перед отрывом, Вел — число Рейнольдса в точке отрыва, вычисленное по расстоянию от передней кромки и характеристикам невозмущенного потока.
Ср ве зависит от температуры стенки. ИЭ. ИССЛЕДОВАННЕ КАРЛСОНА ОТ~ЫВА ЛАМИНАРНОГО СЛОЯ ПРИ ГИПЕРЗВУНОВЫХ СКОРОСТЯХ [933 Карлсон исследовал теплопередачу в ламинарном отрывном течении около тела вращения при гиперзвуковых скоростях, отсутствии химических реакций и подвода массы. Он рассмотрел ения щал лилия июиа Замыкающий олаеоя аотоинал лона Ф и г. 98. Схема теплепередечи ее уступом (939 профиль скорости в области отрыва.
В соответствии с его результатами местное число Нуссельта растет приблизительно пропорционально местному числу Рейнольдса, что хорошо согласуется ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЯХ 187 с экспериментальными данными. Другими исследователями показано, что при приближении к области присоединения тепловой поток возрастает. Схема теплопередачи за уступом на осесимметричном теле, предложенная Карлсоном, представлена на фиг. 88. В соответствии с экспериментальнымн результатами Блума и Паллоне (94] статическое давление в области отрыва было принято постоянным, что позволило упростить основе.о) ь — д - ные дифференциальные урав- нения.
Выбранная для раск, И~х> ' „м„мз маак чета система координат по- казана на фиг. 89. Так как (В,о)' давление принято постоянным, разделяющая линия тока прямая. вз '8 ус з «88- «г Координата х положи- тельна вдоль разделяющей Ф в г. 89. Система коорлваат (98)- линии тока в направлении от точки отрыва к точке присоединения, координата у отсчитывается в направлении внешней нормали к х. За ось х принята разделяющая линия тока, а не поверхность тела по следующим соображениям. а) Разделяющая линия тока прямая и г, (х) может быть пред- ставлена простой функцией.
б) Простое представление профилей скорости и энтальпии. в) Разделяющая линия тока должна остаться прямой для удовлетворения основных допущений, принятых при выборе схемы расчета, даже если исходные дифференциальные уравнения будут преобразованы в другую систему координат.
Если бы координата х отсчитывалась вдоль кривой, например вдоль поверхности тела, то разделяющая линия тока искажалась бы при преобразованиях, применяемых в исследовании Карлсона. Жидкость не втекает к не вытекает из области отрыва через рааделяющую линяю тока (фиг. 89), поэтому при установившемся течении энергия, переносимая через эту линию тока, равна подводимой к поверхности тела. В дополнение к обычным предположениям теории пограничного слоя Карлсон (931 предположил, что толщина изолированной области отрыва под разделяющей линией тока является величиной того же порядка, что и толщина слон смешения над этой линией. Основные уравнения: неразрывности — (гри)+ —. (гри) =О, д д (66) 188 глАВА хг количества движения ди ди д Г да Г ри — + ро — = — р — ), дх ' ду ду 1 ду ] ' др 0 энергии (67) (68) (69) где Н вЂ” энтальпия торможения.
В расчете принято, что Т„, Рг, е, рр и р)е — постоянные. б.а.1. Преобразование и решение дифференциальных уравнений Для сведения уравнений осесимметричного течения газа к уравнениям плоского течения жидкости применим преобразования Манглера и Дородницына. Введем новую переменную У и = — ~ — 'бу. р г 'О (70) Черта означает плоское течение. Введем функцию тока ф, удовлетворяющую уравнения неразрывности — =и, (71) ду 1 р — р= — У, дХ .У',—, р, (73) где У вЂ” составляющая преобразованной скорости, определяемая уравнением (71).
Уравнения количества движения и энергии сводятся к следуюгцим: дф дЦ дф дгф дзф ( 2) ду де ду де ду~ дуг ' д~Р дН ду дН 1 дзН 1 Рг — 11 з I )х дУ дх дх дУ Рг дуг ' 1 Рг ) С помощью уравнения (71) уравнения (72) и (73) принимают вид (74) (76) ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЯХ 189 Уравнения (74) и (75) интегрируются поперек слоя смешения от поверхности тела Уэ (х) до внешней границы слоя смешения Ь (х). Производная Уа (х) в рассматриваемой области конечна и непрерывна. После интегрирования получаются следующие обыкновенные дифференциальные уравнения: .дЕ ди~ и,-= — — ! =О, ' дх дУ )Уе (76) дбн 1 дН и,//,=- — — — ! = О, е е — р, ду (77) где Он — толщина потери энергии, определяемая уравнением го б — = ~Ч~ ~а1а1, ие (78) 5 (Ь вЂ” Ь )/(Ь,,— Ь„) = ~~5 Ь1а1, (79) где а = (У вЂ” Уе)/(Л вЂ” Уе), а Ь вЂ” статическая энтальпия.
Предполагается, что толщина слоя для профилей скорости и энтальпии одна и та же: гт — Уе. Из одиннадцати коэффициентов а, и Ь, определяются путем решения уравнения количества движения и энергии, остальные девять иэ граничных условий как функции а1 и Ь1. Так как при к = 1, и =- и, и Ь =- Ь„то дэи езе ди/д У' = — = —..„= 11. дУе д1"" дЬ/дУ= —,=О, дУе а из уравнения количества движения и энергии на стенке — ее/2 а=О, а,=О, Ь,= ' Рга*,. ~е Ьи Индекс е относится к невязкому течению на границе слон смешения, 1эн — интеграл потери энергии, Л вЂ” преобразованная координата внешней границы слоя смешения.
Уравнение количества движения (76) решается независимо от уравнения энергии. Профиль скорости и для упрощения профиль статической, а не полной энтальпии представляются в виде полиномов Глдвд х1 Тогда — = аза+ ( — из+ 2) аз + 5 (4а1 — 9) аз+ 3 ( — 5а, + 12) ао+ + 2 (2а, — 5) а', (80) д — дее з = Ь,а.+ А,а -(- ( — 6Ь, ЗА, + 10) аз 1 (8Ь, + ЗА, — 15) ад+ ( — ЗЬ| — Ае+ 6) аз, где А1 — — — ((и~!2) /(йе — Ь,„)) Рг аз. Теперь интегралы потери количества движения и энергии будут следующими: 1З1 1ОО (82) (81) (84) о~=1 ~ ) (~4 ~+7) ( Н ) 190 о 7+924 ~+ 7 3951 х 72 (7 535 7 + 165 о + 924 7 Н, ( '1 470262 3960 ) 2693 Рг 1 з 54161 135706 1 — )"- — ) 352116 120 ! ' ' 1293292 о 323323 ) ' (83) Задача сводится к определению трех неизвестных а„Ь, и Л.
Так как уравнения количества движения и энергии дают два решения, третье получается из расчетной схемы. В соответствии с предположением, что жидкость не втекает и не вытекает из обла- сти отрыва через разделяющую линию тока, из условия сохра- нения массы имеем о о ~ ри е(у = р)/т, ~ и Иу. зо хе Теперь безразмерные уравнения количества движения, энергии и неразрывности для области отрыва будут следующими: Ы Вед — (1о Вед) — аз = О, и кех Вед — (1о Вед) — ' Ье = О, х де дхе хйе и (Н Рг) (85) х —, а1 Вед — — (а, — 2) Вед Вег, — (4а, — 9) ВедВе$-е— 1 е 5 з з з — — (5а, — 12) Кед Вег, — — (2и, — 5) Ве~ге = О.
(86) ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЯХ 191 Эти уравнения нельзя решить до конца, поэтому решаются совместно уравнения (84) и (86) относительно аг (Ве-„) и Ве (Ве„-). После задания формы тела в безразмерном виде Кег, (Ве-„) величина 51 (Ве,-) определяется иэ уравнения (85). Местный коэффициент поверхностного трения и число Нуссельта для плоского течения определяются по формулам (87) 2(еа М 1+ (ЭЬе.)б*)э ье ьы ((в- 31 5)п„-= и НЭ вЂ” Ьы Веа У1+ Наконец, с помощью преобразования Манглера для осесимметричного течения получаем СУ„=Хсу, 5(П.=ЛХП2, (89) (88) где (Ке„,— Веа виза)эК22 ч 1)2 Ь= ЗВ1па Кев — (2(е — Кев в1и а)в ) и Ве — радиус тела. Вычисленные значения с)„я .Эпв приведены на фиг.
90 и 91. Согласно полученным результатам, в интервале 10в ( Ке, ( ( 6,540а величина с), практически постоянна, а величина )чп„ и лов Эа' 1О' с '" и' 1б 1О' и' 1О ЭОЭ ИЭ ае . Ф н г. 90. Местиыа ли.242)эи2ии ит Я' и 1. 91. Мьитное число Нус- поверхностного тренин в ииагги ге.1ьта в области отрыва (93). отрыве (93). прямо пропорциональна Ве„, следовательно, тепловой поток постоянен, что согласуется с экспериментами Блув1а и Паллоне (94].
Из расчетов следует. что теплопередача в области отрыва мала по сравнению с тепдопередачей в критической точке и, вероятно, меньше, чем к передней части тела перед отрывом, что объясняется малой плотностью (давлением) за веером волн разрежения, а также небольшим эффектом конвекцни вследствие 192 ГЛАВА Х( сравнительно малой скорости течения в области отрыва. Чепмен )95) показал, что при небольших сверхзвуковых скоростях ато давление меньше, чем статическое давление в невозмущенном 3 Ип.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
