lopt2 (1013491), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Найти условный экстремум в задачеf ( x) = x12 + x 22 → extr ,g1 ( x) = x1 − 1 = 0 ,g 2 ( x) = x1 + x 2 − 2 ≤ 0 .† 1. Составим обобщенную функцию Лагранжа:L ( x, λ 0 , λ ) = λ 0 ( x12 + x 22 ) + λ 1 ( x1 − 1) + λ 2 ( x1 + x 2 − 2) .2. Выпишем необходимые условия экстремума первого порядка:а)∂ L (x , λ 0 , λ )∂ x1= 2λ 0 x1 + λ1 + λ 2 = 0 ,∂ L (x , λ 0 , λ )∂ x2= 2λ 0 x 2 + λ 2 = 0 ;б) x1 − 1 = 0, x1 + x 2 − 2 ≤ 0 ;в) λ 2 ≥ 0 (для минимума), λ 2 ≤ 0 (для максимума);г) λ 2 ( x1 + x 2 − 2) = 0 .3. Решим систему для двух случаев.Первый случай: λ 0 = 0 , тогда λ1 = 0 и λ 2 = 0 , что противоречит утверждению3.8.Второй случай: λ 0 ≠ 0 . Поделив уравнения приведенной в п.

2 системы на λ 0 иλλзаменив 1 на λ1 и 2 на λ 2 , условие «a» запишем в видеλ0λ0∂ L (x , λ )= 2 x1 + λ1 + λ 2 = 0 ,∂ x1∂ L (x , λ )= 2x 2 + λ 2 = 0 .∂ x2Остальные соотношения сохранят свой вид.Рассмотрим 2 p − m = 2 варианта удовлетворения условия «г» дополняющей нежесткости:1) λ 2 = 0 , тогда x 2 = 0 . Из ограничения следует, что x1 = 1 , а из условия «a»λ1 = −2 . Имеем условно-стационарную точку A : x1∗ = 1, x 2∗ = 0, λ∗1 = −2, λ∗2 = 0 ,вкоторой удовлетворяются необходимые условия и минимума, и максимума;2) λ 2 ≠ 0 , тогда x1 + x 2 − 2 = 0, 2 x1 + λ 1 + λ 2 = 0, 2 x 2 + λ 2 = 0, x1 − 1 = 0 .

По-лучаем условно-стационарную точку B: x1∗ = 1, x 2∗ = 1, λ∗1 = 0, λ∗2 = −2 < 0 , в которойудовлетворяются необходимые условия максимума.254. Проверим выполнение достаточных условий экстремума.Исследуем точку A . Ограничение-неравенство не является активным.

Поэтомуl = 1 < n = 2 и достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим условия второго порядка: d 2 L (A ) = 2dx12 + 2dx 22 . Так как ограничение g 2 ( x ) ≤ 0 в точке Aпассивно, то dg1 ( A ) = dx1 = 0 и d 2 L ( A ) = 2dx 22 > 0 при dx 2 ≠ 0 . Следовательно, в точкеA – условный локальный минимум.x2g1 ( x) = 02f ( x) = 1B21 Ax1g 2 ( x) = 0f ( x) = 2XРис.

4Исследуем точку B. Ограничениеg 2 ( x) ≤ 0является активным, поэтомуl = 2 = n = 2 . Так как λ ∗2 = −2 < 0 , то в точке B выполняются достаточные условия максимума первого порядка и она является точкой локального максимума. Из методическихсоображений проверим достаточные условия второго порядка: d 2 L (B ) = 2dx12 + 2dx 22 . Вточке B ограничение g 2 ( x) = 0 активно: dg1 (B ) = dx1 = 0 , dg 2 (B ) = dx1 + dx 2 = 0 .

Отсюда dx1 = dx 2 = 0 и d 2 L (B ) = 0 . Поэтому требуется дополнительное исследование. Нарис. 4 видно, что в точке B – условный локальный максимум, поскольку при приближении к этой точке вдоль множества X функция возрастает, а при движении от нее – убывает. Это подтверждает сделанный ранее вывод.5. Значения функции в точках экстремума: f ( A ) = 1, f (B ) = 2 . „26.

Характеристики

Список файлов лекций