rpd000001855 (1012682), страница 5
Текст из файла (страница 5)
На рис. точками обозначены табличные данные, сплошной линией - приближающий многочлен первой степени, пунктирной – приближающий многочлен второй степени.
Practice11.doc
Практическое занятие 11. Численное интегрирование (2 ч, СРС – 1 ч, тема 3, лекция 11).
Пример 1.
Вычислить определенный интеграл 
, методами прямоугольников, трапеций, Симпсона с шагами 
. Уточнить полученные значения, используя Метод Рунге-Ромберга-Ричардсона:
, 
.
Решение.
В случае интегрирования с постоянным шагом формулы метода прямоугольников принимает вид:
;
метода трапеций:
;
метод Симпсона:
.
Вычислим интеграл с шагом 0.5, результаты занесем в таблицу.
|
|
|
|
| ||
| Метод | |||||
| прямоугольников | трапеций | Симпсона | |||
| 0 | -1.0 | -1.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 |
| 1 | -0.5 | -0.08 | -0.12245 | -0.27 | |
| 2 | 0.0 | 0.0 | -0.13428 | -0.29 | -0.22 |
| 3 | 0.5 | 0.01653 | -0.12874 | -0.28587 | |
| 4 | 1.0 | 0.02041 | -0.11914 | -0.27663 | -0.20558 |
Вычислим интеграл с шагом 0.25, результаты занесем в таблицу.
|
|
|
|
| ||
| Метод | |||||
| прямоугольников | трапеций | Симпсона | |||
| 0 | -1.0 | -1.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 |
| 1 | -0.75 | -0.24490 | -0.11570 | -0.15561 | |
| 2 | -0.5 | -0.08 | -0.15031 | -0.19622 | -0.17163 |
| 3 | -0.25 | -0.02367 | -0.16165 | -0.20918 | |
| 4 | 0.0 | 0.0 | -0.16403 | -0.21214 | -0.18619 |
| 5 | 0.25 | 0.01108 | -0.16239 | -0.21076 | |
| 6 | 0.5 | 0.01653 | -0.15882 | -0.20731 | -0.18112 |
| 7 | 0.75 | 0.01920 | -0.15430 | -0.20284 | |
| 8 | 1.0 | 0.02041 | -0.14914 | -0.19789 | -0.17164 |
Уточним значение интеграла, используя метод Рунге-Ромберга 
, получим:
|
| Точное значение |
| ||
| прямоугольников | трапеций | Симпсона | ||
| -0.16474 | -0.15937 | -0.17164 | -0.16033 | |
| 0.00537 | 0.00690 | 0.00441 | ||
Practice12.doc
Практическое занятие 12. Одношаговые методы решения задачи Коши для ОДУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 4, лекция 12).
Пример 1. Явным методом Эйлера с шагом h=0.1 получить численное решение дифференциального уравнения 
с начальными условиями 
на интервале [0, 0.5] . Численное решение сравнить с точным решением 
.
Р е ш е н и е
Итак, исходя из начальной точки 
, 
рассчитаем значение 
в узле 
=0.1 по формулам 
:
.
Аналогично получим решение в следующем узле 
=0.2; 
. Продолжим вычисления и, введя обозначения 
и 
, где 
- точное решение в узловых точках, получаемые результаты занесем в таблицу.
| k | x | y |
|
|
|
| 0 | 0.000000000 | 0.000000000 | 0.000000000 | 0.000000000 | 0.0000 |
| 1 | 0.100000000 | 0.000000000 | 0.001000000 | 0.000334672 | 0.3347E-03 |
| 2 | 0.200000000 | 0.001000000 | 0.004040100 | 0.002710036 | 0.1710E-02 |
| 3 | 0.300000000 | 0.005040100 | 0.009304946 | 0.009336250 | 0.4296E-02 |
| 4 | 0.400000000 | 0.014345046 | 0.017168182 | 0.022793219 | 0.8448E-02 |
| 5 | 0.500000000 | 0.031513228 | 0.046302490 | 0.1479E-01 |
Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе)
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0.00000 | 0.1000 | 0.200000 | 0.3000000 | 0.400000 | 0.500000 |
|
| 0.00000 | 0.000 | 0.001000 | 0.0050401 | 0.014345 | 0.031513 |
Пример 2. Решить задачу из примера 1 методом Эйлера-Коши.
Р е ш е н и е
Исходя из начальных значений , , рассчитаем значение в узле =0.1 по формулам
.
Аналогично получим решение в остальных узлах. Продолжая вычисления и вводя обозначение 
получаемые результаты занесем в таблицу.
Таблица 4.3
| k |
|
|
|
|
|
|
| 0 | 0.0 | 0.000000000 | 0.000500000 | 0.000000000 | 0.000000000 | |
| 1 | 0.1 | 0.000500000 | 0.00000 | 0.002535327 | 0.000334672 | 0.1653E-03 |
| 2 | 0.2 | 0.003035327 | 1.510025E-003 | 0.006778459 | 0.002710036 | 0.3253E-03 |
| 3 | 0.3 | 0.009813786 | 7.157661E-003 | 0.013594561 | 0.009336250 | 0.4775E-03 |
| 4 | 0.4 | 0.023408346 | 1.941224E-002 | 0.023615954 | 0.022793219 | 0.6151E-03 |
| 5 | 0.5 | 0.047024301 | 4.133581E-002 | 0.046302490 | 0.7218E-03 |
Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе)
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
