rpd000001855 (1012682), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

1. Практические занятия

1.1.1. Нормы векторов и матриц. Обусловленность матриц. Прямые методы решения СЛАУ(АЗ: 2, СРС: 2)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice2.doc

1.1.2. Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ. Обзор и анализ численных методов, применяемых в пакетах программ линейной алгебры на ПЭВМ(АЗ: 6, СРС: 2)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice3.doc

1.1.3. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц(АЗ: 2, СРС: 2)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice4.doc

1.2.1. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений(АЗ: 2, СРС: 2)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice5.doc

1.3.1. Преобразование Фурье, Лапласа, быстрое преобразование Фурье.(АЗ: 2, СРС: 2)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice7.doc

1.3.2. Равномерное приближение функций.(АЗ: 2, СРС: 2)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice8.doc

1.3.3. Приближение обобщенными рядами Грама-Шарлье.(АЗ: 2, СРС: 2)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice9.doc

1.3.5. Численное интегрирование. Численное дифференцирование (АЗ: 2, СРС: 1)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice11.doc

1.4.1. Одношаговые методы решения задачи Коши для ОДУ (АЗ: 2, СРС: 3)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice12.doc

1.4.2. Решение краевых задач для ОДУ методом конечных разностей(АЗ: 2, СРС: 4)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: Practice15.doc

1. Лабораторные работы

1. Типовые задания

Приложение 3
к рабочей программе дисциплины
«Численные методы »

Прикрепленные файлы

Practice2.doc

Практическое занятие 2. Прямые методы решения СЛАУ. (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 2).

Пример 1. Методом Гаусса решить СЛАУ.

Р е ш е н и е.

Прямой ход:

Обратный ход:

Ответ: .

Пример 2. Методом Гаусса вычислить определитель матрицы и обратить матрицу СЛАУ из примера 1.1.

Р е ш е н и е.

; (точное значение 946).

Прямой ход.

Обратный ход:

Отсюда

Проверка: ,

т.е. с точностью до ошибок округления получена единичная матрица.

Пример 3. Методом прогонки решить СЛАУ

Р е ш е н и е.

,

.

Practice4.doc

Практическое занятие 4. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 4).

Пример 1. С точностью вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы

Р е ш е н и е.

1). Выбираем максимальный по модулю внедиагональный элемент матрицы , т.е. находим , такой что = . Им является элемент .

2). Находим соответствующую этому элементу матрицу вращения:

.

3). Вычисляем матрицу :

.

В полученной матрице с точностью до ошибок округления элемент .

, следовательно итерационный процесс необходимо продолжить.

Переходим к следующей итерации :

.

.

Переходим к следующей итерации

.

Таким образом в качестве искомых собственных значений могут быть приняты диагональные элементы матрицы :

Собственные векторы определяются из произведения

; .

Полученные собственные векторы ортогональны в пределах заданной точности, т.е.

Пример 2.

Вычислить спектральный радиус матрицы с точностью .

В качестве начального приближения собственного вектора возьмем .

Реализуем итерационный процесс (1.26, лекции), полагая .

, ;

, ;

;

, ;

;

, ;

.

Таким образом, полученное на 4-ой итерации значение =6,9559 удовлетворяет заданной точности и может быть взято в качестве приближенного значения . Искомое значение спектрального радиуса = 6,9559.

Practice3.doc

Практическое занятие 3. Итерационные методы решения СЛАУ (2 ч, СРС – 1 ч, тема 1, лекция 3).

Пример 1. Методом простых итераций с точностью решить СЛАУ.

Р е ш е н и е.

Приведем СЛАУ к эквивалентному виду:

или

где ; ;

, следовательно достаточное условие сходимости метода простых итераций выполнено.

Итерационный процесс выглядит следующим образом.

; ; ;

;

;

; .

Таким образом, вычислительный процесс завершен за 4 итерации. Отметим, что точное решение исходной СЛАУ в данном случае известно . Отсюда следует, что заданной точности удовлетворяло решение, полученное уже на третьей итерации. Но в силу использования для вычисления погрешности оценочного выражения (1.20) (видно, что в данном случае , при этом , хотя ) процесс останавливается только на четвертой итерации.

Отметим также, что априорная оценка необходимого количества итераций в данной задаче дает: , т.е. для достижения точности , согласно априорной оценке, необходимо сделать не менее пяти итераций, что иллюстрирует характерную для априорной оценки тенденцию к завышению числа итераций.

Пример 2. Методом Зейделя решить СЛАУ из примера 1.

Р е ш е н и е.

Приведение СЛАУ к эквивалентному виду аналогично примеру (1.5). Диагональное преобладание элементов исходной матрицы СЛАУ гарантирует сходимость метода Зейделя.

Итерационный процесс выглядит следующим образом:

Таким образом, уже на второй итерации погрешность , т.е. метод Зейделя в данном случае сходится быстрее метода простых итераций.

Practice5.doc

Практическое занятие 5. Решение нелинейных уравнений (2 ч, СРС – 1 ч, тема 2, лекция 5).

Пример 1.

Решить уравнение

с точностью .

Решение.

Для локализации корней применим графический способ. Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:

Построив графики функций и , определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале .

Метод половинного деления. В качестве исходного отрезка выберем [0.4, 0.6]. Результаты дальнейших вычислений, согласно приведенному выше алгоритму содержатся в таблице.

Метод Ньютона. Для корректного использования данного метода необходимо, в соответствии с теоремой 2.2 (лекции), определить поведение первой и второй производной функции на интервале уточнения корня и правильно выбрать начальное приближение .

Для функции имеем:

, - положительные во всей области определения функции. В качестве начального приближения можно выбрать правую границу интервала , для которой выполняется неравенство (2.3, лекции):

Дальнейшие вычисления проводятся по формуле , где , .

Итерации завершаются при выполнении условия .

Результаты вычислений содержатся в таблице.

Метод секущих. В качестве начальных точек зададим: и .

Характеристики

Список файлов учебной работы