Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

dp0 = - λρ0 + μ ρ1

dt

............

dp κ = - (λ + μ) ρκ + λ ρκ-1 + μ ρκ+1, κ = 1, 2, ..., η

dt

………

dpη+1 - μ ρη+1 + λ ρη

dt

η+1 α -1

Р0 = [ Σ (λμ) ]

α=0

κ

Рκ = (λ/μ) * ρ0, κ = 1, η + 1

Определим характеристики системы:

η+1

1. Ротк = Рη+1 = (λ/μ) * Р0

η+1

1. q отн = 1-P η+1 = 1 – (λ/μ) * Р0

Если λ=μ, то ρ0=ρη+1=1/(η+2)

Характеристики очереди:

Н-длина очереди

1. Средняя длина очереди

2 η-1

η = Σκρκ=(λ/μ)[ 1+2(λ/μ)+...+η(λ/μ) ]ρ0

Е сли λ=μ, то η1

1. Среднее время пребывания в очереди.

t оч=η/λ

Случай неограниченной очереди

η , тогда:

1. lim Р0=1-(λ/μ), при λ/μ < 1

lim Р0=0, при λ/μ  1

2

(λ/μ)

б) lim η= 1+λ/μ

2 -1

в) lim tоч= ( λ/μ )(1+λ/μ)

Формула Литтла

Это один из редких универсальных результатов ТМО, позволяющий проводить те или иные оценки систем в различных ситуациях

Ч исло заявок

4

3

2

1

0

Т t

- покидание системы заявкой

- поступление заявки

[0;Т]-наблюдается процесс обслуживания, который можно представить графически.

Пусть произвольна система, произволен входной поток заявок с интенсивностью λ; произвольное (в статистическом смысле) время обслуживания (μ). При этом все процессы являются стационарными.

Нт-среднее число заявок, обслуженных за время Т

λ=Нт/Т

Пусть, -время затраченное системой на обслуживание заявок в период Т

Формула Литтла

1/μ=τ=M/Т=υ

это характеризует интенсивность загрузки системы на интервале [0,Т]

υ>1 – система перегружена

υ<1 – система недогружена

Выводы:

1. ТМO изучает специфический класс систем, называемый СМО, на которых возлагаются следующие функции: преобразование потоков заявок в поток результатов обслуживания.

2 . ТМО изучает поведение СМО и их «производственных» характеристик.

Физическая природа СМО теорию не интересует.

3 . Большую роль в изучении СМО играют предположения, из которых вытекают оценки этих систем:

• поток заявок – ексионенциальный

• стационарный

- допустимость / недопустимость очередей

- и др.

 Нельзя абсолютизировать получаемые теоретические результаты

4. Известный исключением из общего правила относительности оценок системы явления формула Литтла, позволяющая дать обобщенную, но довольно грубую оценку работоспособности системы.

5. Аналитические зависимости, получаемые в результате исследования моделей массового обслуживания и служить основой разработки программных средств, позволяющих автоматизировать процессы исследований СМО, их проектирования и модернизации.

5. Теория календарного планирования (теория расписаний).

Теория Календарного планирования (КП) (теория расписаний) изучает проблемы рационального распределения времени, отводимого на производство тех или иных операций (действий, работ, мероприятий и т.д.)

Время является невостанавливаемым ресурсом и сточки зрения попытки рационального его распределения, основываются на производственно-экономических отношениях.

Расписанием (календарным планом) называется документ, содержащий сведения о:

• количестве выполняемых операций;

• момента начала и окончания каждой из заявленных работ

• месте проведения каждой работы и используемом при этом оборудовании;

• ограничениях, накладываемых на производимые работы;

• возможных, дополнительных привлекаемых для производства работ, ресурсах.

Наиболее удобной формой представления расписания является Гантт-карта (графики Гантта): каждой работе ставится в соответствие отрезок нужной длины, изображающий в некотором масштабе длитнльность этой работы.

Каждая единица оборудования (каждому оборудованию ставится в соответствии ось времени, вдоль которой располагаются отрезки-работы, выполняемые на данном оборудовании)

Раб.1 Раб.2 Работа 3 t

Совокупность временных осей и создает общую картину выполнения заданного количества работ (графики Гантта), при установленном общем начале времени.

Гантт-карта отражает структуру произвольной системы.

Отличительной чертой задач КП является, в общем случае, отсутствие установленных отношений предшествования.

Простейшая задача теории расписаний.

Дана произвольная система, состоящая из единственного «исполнителя», который должен выполнить Ν работ.

Известны длительности работ τj (j=1-n ), система номеров, присваемая работам, произвольна.

Задан некий критерий оценки качества будущего расписания (К).

Требуется определить такую последовательность производства этих работ (т.е. календарный план), которая обеспечило бы минимальное (максимальное) значение К.

τ1 τ2 τn-1 τn t τj (j=1-n )

K min

Тс (max)

Тс- полное время выполнения заданных работ (время загрузки системы)

Если нужны перерывы между работами, то их можно включить в τj или выделить как отдельные работы.

Характеристики задач:

• нет смысла бороться за Тс, т.к. оно постоянно и равно сумме Тj (т.е. отрицает экономию времени)

• решении этой задачи при другом К, отличном от времени, наталкивается на трудность, связанную с большим количеством вариантов расписания (в пределе, кол-во вариантов расписания = N!)

• в случае появления каких-то дополнительных условий, ограничивающих произвольный выбор варианта расписания, возникают «запрещенные» перестановки работ, поиск и отсеивание которых ведет к дополнительным трудностям.

Задача Джонсона

Возникновение теории расписаний связано с постановкой и оригинальным решением задачи Джонсона (задачи о 2-х станках)

Дана система, включающая 2 станка, которая должна выполнить N

работ, каждая из которых является

двуэтапной (сперва на одном станке,

потом на другом)

Каждая работа характеризуется парой чисел – {τ1j; τ2j}, j=1-n (длительность работы на каждом станке)

Каждый этап каждой работы выполняется без прерываний если он начался, причем 2-ой этап начинается только после завершения 1-го этапа той же самой работы

эт.1

э т.1

эт.2 эт.2

Предполагается, что вторые этапы всех работ выполняются в той последовательности, что и первые.

Требуется построить расписание работы рассматриваемой двустаночной системы (календарный план), обеспечивающее минимизацию полного времени занятости этой системы выполнением работ.

Tcmin

τ11 τ12 τ1n-1 τ1n t1

τ21 τ22 τ2n-1 τ2n t2

0

Tc

При неудачном выборе последовательности работ появляются простои и задержки на 2-ом станке.

Подобные эффекты способствуют увеличению Тс.

Задача Джонсона стала знаменитой, т.к. удалось сформулировать условия существования расписания.

Теорема Джонсона.

Т: При возможном произвольном выборе № работ, порядок их производства, доставляющий min Тс в условиях рассматриваемой задачи, таков, что работа с порядковым номером v предшествует работе с № v+1, если min {τ1v;τ2,v+1} < min {τ2v;τ1,v+1}, где v=1,2,…,n-1.

Пример: Даны 5 двуэтапных работ, выполняемых в системе из 2-х станков. Длительности этапов работ заданы таблично.

Требуется найти порядок выполнения работ в рассматриваемой системе такой, что полное время занятости системы минимально.

порядокmin Тс

Перестроим таблицу исходных данных:

Рассмотрим ряд предложений:

1. работа II занимает в будущем оптимальной последовательности выполнения работ v+1 позицию, это равносильно требованию:

min{τ1v;2}<min{0;τ2,v} min{τ1v;2}<0-это условие не выполняется, т.е.

эта работа II не может идти ни за какой другой работой, т.е. она должна попасть на 1-ое место в оптимальном порядке

1. Работа V занимает V позицию, т.е. опережает другую работу,

 min {2;τ2,v+1} < min{τ1,v+1;1}

min {2;τ2,v+1} <1- условие не выполняется, т.е. работа V должна занять последнюю позицию в оптимальном порядке.

1. Работа I занимает V позицию:

min {6;τ2,v+1}<min{3;τ1,v+1}- не выполняется, т.е. работа I не может идти ни перед какой из оставшихся работ  она займет место после работ 3 и 4

1. Работа III занимает v позицию:

min {5;τ2,v+1}<min{4;τ1,v+1}- не выполняется

Работа III после работы IV

Таким образом, оптимальная последовательность выполнения работ:

II  IV  III  I  V  min Tc = 23

Задача Бельмана-Джонсана-это задача Джонсона для n станков. Она не решена до сих пор.

Теория вычислительной сложности появилась в результате, т.к. она полезна, и для задач линейного программирования, и для других задач.

Главная задача теории - оценка того, является ли предложенный алгоритм решения задачи вычислительно эффективный, т.е. требующим умеренного объема работ.

Критерием эффективности является утверждение: если трудоёмкость алгоритма характеризуется экспоненциальной функцией от размерности задачи, то алгоритм является вычислительно не эффективный.

Задача о мультипроцессоре.

Мультипроцессором будем называть любую систему, объединяющую однотипные технологические единицы, способные выполнить заданные работы, т.е. многоканальная система.

Постановка задачи: дана система, объединяющая несколько однотипных процессоров (L); N работ с известными длительностями их выполнения (τj), причем каждая работа может быть выполнена на любом процессоре: известен момент начала работ (t0)

Требуется построить расписание для этой системы (план загрузки этой системы), доставляющий min времени занятости системы этими работами

(план)  min Tc

Tc – отсчитывается от момента (t0) до момента завершения последней работы.

Г ант-карта:

T1 N>>L- тогда задача имеет

смысл

1 Tl

Ti- времена занятости

Характеристики

Список файлов лекций