МУ - М-10 (1003836), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В результатескорость Vmax будет направлена вертикально вверх, и маятник, наматываясь на нити, станетподниматься. В крайнем нижнем положение изменение направления скорости Vmax на 1800 всилу малости значений радиуса r осевого стержня происходит за очень короткий промежутоквремени ∆t. Поэтому натяжение нитей маятника при прохождении резко возрастает (возникает рывок нитей). Значения силы натяжения Fmax каждой нити при рывке можно опредилитьиз приближённого в данном случае равенства(2 Fmax −mg)∆t = m Vmax −(−m Vmax ) = 2m Vmax ,(30)где m—масса маятника.Равенство (30) не является строгим, так как Fmax — значение силы, усреднённой в промежуткевремени ∆t.Полагая, что при изменении направления скорости Vmax на 180o её модуль не изменяется,πrимеем Vmax ≈ ∆t,т.е. ∆t = Vπr.
Подставляя 4t в (30), получимmax2 Fmax =22m Vmax+ mg .πr(31)2Значенияе Vmaxопределяется высотой спуска h и ускорением a:2Vmax = 2ah .Таким образом,4hma + mg ,(32)πrНесмотря на то, что a < g, первый член правой части равенства (32) может иметь значениене только сравнимое с mg, но и превышающее его, так как обычно h r.Поэтому прочностьнитей, на которых подвешен маятник Максвелла, должна быть такой, чтобы при рывке каждаяиз них выдержала натяжение1 4hFmax = ( ma + mg) .2 πr2 Fmax =Экспериментальная частьМаятник Максвелла (рис. 2), используется в данной работе,– это массивный цилиндр(маховик) 1 (радиусом R1 и толщиной l1 ), насаженный на осевой цилиндрический стержень2 (радиусом r и длиной l2 ). Маховик 1 и стержень 2 изготовлены из одного материала.
Намаховик 1 вплотную насажено кольцо 3 из другого материала, имеюшее внешний радиус R2и толщину вдоль своей оси lk . Маятник с помощью двух нитей подвешен к опоре 5.Измерив в эксперименте время спуска t и высоту его снижения h, можно по формуле (27)определить значения момента инерции J маятника Максвелла.С другой стороны, значения этого момента инерции можно рассчитать по формуле∗J =mц R12 mст r2 1++ mк (R12 + R22 )222(33)где mц — масса цилиндра (маховика) 1 включая массу части осевого стержня внутри его,mст — масса части осевого стержня вне маховика 1,mк —масса кольца,R1 и R2 — внутрений и внешний радиусы кольца,r— радиус осевого стержня.Сравнивая вычисленное по формуле (33) значение J ∗ со значением J, полученным изэксперимента по формуле (27), можно найти относительную погрешность измерения γ поформулеJ ∗ −Jγ=100 %(34)J∗Выполнение эксперимента1.
С помошью штангенциркуля измерить d, dн , l1 , L2 , lк , R1 , R2 (см. рис. 2).2. Вычислить массу маятника по формулеm = ρπ[R12 l1 + r2 (l2 − l1 )] + mк ,(35)где ρ— плотность материала маховика и осевого стержня,mк = ρк π lк ·(R22 − R12 )(36)где mк — масса кольца, имеющего плотность ρк .3.Измерить высоту спуска h оси маятника от крайнего верхнего положения до крайнегонижнего.4. Вращая маятник вокруг оси, поднять маховик с кольцом до упора. При врашении следить за тем, чтобы нити наматывались на осевой стержень в один слой.5. Отпустить маховик и одновременно включить секундомер.Примечание. В установке с автоматической регистрацией времени спуска маятника нажатием клавиши приводится в движение маятник и одновременно с этим включается электронный секундамер.6. Выключить секундомер, когда маятник достигнет крайнего нижнего положения.Примечание.
При автоматической регистрации времени спуска выключение секундомераавтоматическое.7. Операции пп. 4–6 повторить не менее трёх раз и подсчитать среднее значение времениспуска t.8. По формуле (27) подсчитать момент инерции J.9. Вычислить значения момента инерции J ∗ по формуле (33) с учётом (36) и подсчитатьотносительную погрешность по формуле (34).В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХКОЛЕБАНИЙТеоретическая частьМомент инерции твёрдого тела определяет его инерционные свойства при вращательном движении.
Существуютразличные методы экспериментального определения моментов инерции тел, в данном случае используется метод крутильных колебаний.Круглая горизонтальная платформа (рис. 3), подвешенная на трех одинаковых симметрично расположенных нитях(трифилярный подвес), закреплённых внизу у краёв платформы и вверху у краёв небольшого диска, может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, прошодящей через центр платформы.Если платформа массы m, вращаясь из положения равновисия в одном направлении, поднимется на высоту h, топриращение потенциальной энергии будет равно mgh, гдеg— ускорение силы тяжести.
Вращаясь в обратном направлении, платформа придёт в положение равновесия с кинетической энергией, равной 12 J ω02 , где J— момент инерцииРис. 3. Крутильный маятникплатформы относительно её оси вращения, ω0 — её угловаяскорость в момент прохождения положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, наосновании закона сохранения энергии имеем1mgh = J ω02 .2(37)При малых амплитудах можно считать колебания платформы гармоническими. В этом случаезависимость угла поворота платформы от времени имеем видα = α0 sin2πt,Tгде α— угол поворота платформы, α0 — амплитудное значение угла поворота, T — периодколебаний, t— текущее время.
Продифференцировав угловое смещение по времени, получимзависимомость угловой скорости ω от времени tω=dα2πα=.dtTВ момент прохождения платформой положения равновесия (t= 0, 12 T , T , 23 T , 2T , 52 T и т.д.) ωпринимает значения ωo :2π α0ω0 =.(38)TПодставляя (38) в (37), получаем1 2π α0 2mgh = J () .2T(39)Если l— длина нитей подвеса, R— расстояние от центра платформы до точек креплениянитей на ней, r— расстояние от центра верхнего малого диска до точек крепления нитей нанём, то легко видеть (рис. 4),чтоh = OO1 = BC − BC1(BC)2 = (AB)2 − (AC)2 = l2 − (R − r)2 ,(B C1 )2 = (B A1 )2 − (A1 C1 )2 = l2 − (R2 + r2 −2RrCOS α0 ) .Выражая разность BC и BC1 как отношениеразности их квадратов к их сумме(BC)2 − (B C1 )2h = BC − B C1 =,BC + B C1находимh=4Rr sin2 α202Rr(1 − cos α)=.BC + B C1BC + B C1При малых углах отклонения α0 , выраженныхв радианах, можно принять sin α20 ≈ α20 , а приl >> R можно допустить, что BC + BC1 ≈ 2l.Rr α2Учитывая это, получим h = 2l 0 .
Тогда на осноРис. 4.вании (39) mgRr α202l2= 12 J ( 2πTα0 ) , откудаJ=mgRr 2T .4 π2 l(40)Формулу (40) можно использовать для определения момента инерции как самой платформы, так и платформы с телом, положенным на неё. В первом случае m– масса платформы,T — период её колебаний, во втором — m– общая масса платформы и тела, T – период ихколебании.Экспериментальная часть1. Определение момента инерции тела (цилиндра)Jцо . Момент инерции цилиндра Jцо относительно оси, проходящей параллельно его образующей через его центр масс, можно найтииз равенства(41)Jцо = J − Jо ,где Jо — момент инерции ненагруженой платформы относительно проходящей через её центрмасс вертикальной оси вращения, J— момент инерции (относительно той же оси) платформыс цилиндром, расположенным вертикально, центр масс которого находится на оси вращения.Jо вычисляется по формуле (40) после экспериментального определения периода колебанииTо ненагруженной платформы.
Необходимые при этом значения параметров l, R, r (см. рис. 3)и массы ненагруженной платформы mо даются как постоянные прибора. Момент инерции Jсистемы "платформа+цилиндр в её центре"находится аналогично по периоду колебаний системы T и её массе m = mо + mцо . Масса цилиндра mц предварительно определяется путёмвзвешивания.2.
Экспериментальная проверка теоремы Гюгенца-Штейнера.1-й способ (с помощью четырех цилиндров). Для подтверждения этой теоремы можно использовать четыре одинаковых цилиндров с массой кажлого mц , расположив их на платформев вертикальном положении по два на каждом из двух произвольных диаметров платформытак, чтобы расстояние a от центров масс цилиндров до оси вращения было у них одинаковым. Если затем центр масс двух цилиндров, расположенных на одном диаметре платформы,приблизить к её оси вращения до расстояния a1 , а центры масс цилиндров, находящихся надругом диаметре, удалить от этой оси до расстояния a2 так, чтобы суммарный момент инерциичетырех цилиндров относительно оси вращения платформы не изменился, то на основаниитеоремы Гюгенса-Штейнера можно написать равенство4(Jцо + mц a2 ) = 2(Jцо + mц a21 ) + 2(Jцо + mц a22 )илиa21 + a22.(42)2Таким образом, в тех случаях, когда значения a1 и a2 удовлетворяют равенству (42), суммарный момент относительно оси вращения платформы остаётся неизменным.
Подтверждением этого должно быть постоянство периода крутильных колебаний в указанных случаях.2-й способ (с помощью двух цилиндров). Для этого два одинаковых цилиндра с массойкаждого mц надо расположить в центре плвтформы один над другим так, чтобы их центрымасс были на оси вращения платформы. Определив эксперментально период колебаний T1этой системы, вычисляют по формуле (40) её момент инерции J1 , принимая за массу системыm1 = mо + 2mц . Учитывая, что ненагруженная платформа имеет момент инерции Jо , находятмомент инерции одного цилиндра относительно оси, проходящей через его центр массa2 =1Jцо = (J1 − Jо ) .2(43)Затем оба цилиндра располагают симметрично относительно оси вращения платформы так,чтобы их центры масс были удалены от этой оси на некоторое расстояние a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
