МУ - М-10 (1003836)
Текст из файла
Московский государственный технический университетим. Н.Э.БауманаИ.Н.ФетисовОпределение моментов инерции телМетодические указания к лабораторной работе М-10 а,б,впо курсу общей физики.Под редакцией А. Ф. НаумоваИздательство МГТУ им.Н.Э.Баумана 1989Рассмотрены различные методы экспериментального определения моментов инерции тели законы динамики вращательного движения, на которых эти методы основаны.Пособие предназначено для студунтов 1-го курса МГТУ.Цель работы — ознакомиться с различными методами экспериментального определениямоментов инерции тел и законами динамики вращательного движения, на которых эти методыоснованы.ВВЕДЕНИЕМомент инерции J системы материальных точек относительно некоторой оси определяетсяравенствомXJ=mi ri2 ,iгде mi — масса i-й точки систем,ri — расстояние от i-й точки до оси.Для твёрдого телаXJ = limri2 ∆mi ,∆mi →0iгде 4mi — элемент массы твердого тела ,ri — расстояние от элемента массы 4mi до оси.В некоторых случаях момент инерции тела J относительно произвольно заданой оси можнонайти с помощью теоремы Гюйгенса-ШтейнераJ = Jо + md2 ,(1)где m — масса тела,Jо — момент инерции данного тела относительно оси, проходящей через центр масс телапараллельно заданой оси,d — расстояние между указанными осями.Используя осноное уравнение динамики вращательного движения, можно вычислить момент инерции тела J относительно неподвижной оси по формулеJ=M,ε(2)где М — результирующий момент действующих на тело сил относительно данной неподвижнойоси,ε — угловое ускорение тела.
С другой стороны, момент инерции тела J относительнозаданой оси и его угловая ω позволяет вычислить кинетическую энергию вращательного движения этого тела Jω 2 /2.A. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКАТеоретическая частьОборотный маятник является разновидностью физического маятника, период колебанийкоторого определяется формулойsJT = 2π,(3)mgdгде J — момент инерции физического маятника относительно горизонтальной оси, проходящейчерез точку опоры;m — масса физического маятника;d — расстояние от точки опоры до центра масс маятника;g — ускорение свободного падения.Формула (3) справедлива для изохронных колебаний, т.е. таких, период которых не зависит от амплитуды.
Это условие выполняется лищь при малых амплитудах колебаний (уголотклонения от вертикали не должен превышать 5 − 60 ).Оборотный маятник, используемый в данной работе (рис. 1), представляет собой стальнойстержень 3, на коткром неподвижно закреплены две стальные опорные призмы 1 и 2 с параллельными ребрами. Кроме этого на стержне есть два стальных груза 4 и 5 в форме чечевиц,один из которых можно перемещать и закреплять в разных местах стержня.Для наблюдения колебаний маятника его подвешивают опорным ребром той или иной призмына стальную пластину в кронштейне, укреплённом в стене лаборатории во избежание вибрацииподвеса.Если расстояние между ребрами опорных призмоборотного маятника равно l,то положение егоцентра масс C, т.е.
расстояние d (см. рис. 1) может быть найдено следующим образом.Пусть T1 = период колебаний маятника, подвешенного на опорную призму 1, а J1 - его моентинерции относительно оси, совпадащей с ребромопорной призмы 1. Тогда из (3) следуетJ1 =T12mgd .4π 2(4)Если маятник подвесить на опорную призму2, то период его колебаний T1 в общем случаеизменится, так как изменится момент инерции ирасстояние от точки опоры до центра масс маятника.Аналогично соотношению (4) имеемJ2 =Рис. 1. Оборотный маятникT22mg(l − d) .4π 2(5)На основании теоремы Гюйгенса-Штейнера можно записать2J1 = Jс + md ,(6)где Jс — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс C ипараллельной ребру опорной призмы.Аналогично2(7)J2 = Jc + m(l − d) .Вычитая из (7) уравнение (6), получимJ2 − J1 = ml(l − 2d) .(8)С другой стороны, вычитая из (5) формулу (4), имеемJ2 − J1 =T22 mg(l − d) T12 mgd−.4π 24π 2(9)Приравнивая правые части выражений (8) и (9), получим формулу для вычисления расстояния d:4π 2 l2 − glT 22d= 2.(10)8π l −g(T12 + T22 )Подставляя (10) последовательно в (4) и (5), получим расчетные формулы для определениямоментов инерции оборотного маятника относительно осей, совпадающих с ребрами опорныхпризм,J1 =mg T12 (4 π 2 l2 −gl T22 ),4 π 2 [8 π 2 l − g(T12 + T22 )](11)J2 =mg T22 (4 π 2 l2 −gl T12 ),4 π 2 [8 π 2 l − g(T12 + T22 )](12)или2J1 =mgl T12 ( 4 πg l − T22 )24 π 2 [ 8 πg l − (T12 + T22 )],(13),(14)2J2 =mgl T22 ( 4 πg l − T12 )24 π 2 [ 8 πg l − (T12 + T22 )]В данной работе m, g и l имеют постоянные значения.
Поэтому (13) и (14) можно записатьв видеb T12 ·(c − T22 ),(15)J1 =2c − (T12 + T22 )J2 =b T22 ·(c − T12 ),2c − (T12 + T22 )(16)b=mgl4π 2 l,c=.g4π 2(17)гдеВыполнение эксперимента1. Отклонив маятника на угол 5 − 60 , свободно его отпустнть.2. Измерить время t1 , n(например,четырех) полных колебаний. Найти период T1 = t1/n .3. Повторить измерения, указаные в пп.1 и 2 не менее K=5 раз и полученные данныезанести в таблицу 1.Таблица 1kt1 , ct2 , cnT1 , cT2 , c4. Осторожно перевернув оборотный маятник, произвести указанные в пп. 1-3 операциидля аналогичного нахождения периода T2 .5.
По данным таблицы 1 найти среднее значения < t1 > и < t2 >, абсолютные погрешности4t1 и 4t2 (см. лабораторную работу М-1), дополнив таблицу 1 полученными данными.Обработка экспериментальных данных1. По формулам (17), полагая g = 9, 81м/с2 , вычислить l и c. Значения m и l для этогорасчета должны быть указаны на установке.2. По формулам (15) и (16) вычисляем моменты инерции оборотного маятника J1 и J2 .3.
Необходимые для нахождения погрешностей измерения моментов инерции J1 и J2 ихчастные производные вычислить по формулам:∂ J12b T1 (c − T22 )(2c − T22 ),=2∂ T1[2c − (T12 + T22 )](18)2b T12 T2 (T12 −c)∂ J1=2 ,∂ T2[2c − (T12 + T22 )](19)∂ J22b T22 T1 (T22 −c)=2 ,∂ T1[2c − (T12 + T22 )](20)∂ J22b T2 T1 (c − T12 )(2c − T12 )=,2∂ T2[2c − (T12 + T22 )](21)4. Оценить значения абсолютных погрешностей ∆T1 и ∆T2 , учитывая,чтоs∆ T1∆ t1 2∆ n1 2 ∆ t1= () +() =,n1t1t1T1т.е. ∆ T1 = Tt11 ∆ t1 = n1 ∆ t1 и аналогично ∆ T2 = n1 ∆ t2 ,где n-число периодов за измеряемый промежуток времени (t1 или t2 ). При этом абсолютныепогрешности измерения времени ∆t1 и ∆t2 следует найти либо как случайные погрешностиK(например, K=5) измерений t1 и t2 , либо (если случайные погрешности меньше приборных ) как приборные с учетом того, что при отсчёте времени t1 и t2 допускается ручнойхронометраж, позволяющий в данном случае принять t1 ≈ t2 ≈ 0.2 c.5.Вычислить значения абсолютных погрешностей найденных моментов инерции J1 и J2 поформулам:s∆ J1 =(s∆ J2 =(∂ J1 2∂ J1 2) (∆ T1 )2 + () (∆ T2 )2 ,∂ T1∂ T2(22)∂ J2 2∂ J2 2) (∆ T1 )2 + () (∆ T2 )2 ,∂ T1∂ T2(23)6.Окончателдный результат представить в видеJ1 ± 4J1 ,4J1· 100 % ,J1J2 ± 4J2 ,4J2· 100 % ,J2Б.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛАТеоретическая частьМаятник Максвелла (рис. 2) представляет собой маховик 1, жёстко закреплённый наосевом стержне 2, висящем на двух нитях 4, прикреплённых к опоре 5.Вращая маятник Максвелла вокруг его оси и тем самым наматывая нити 4 на осевойстержень 2, можно поднять его на некоторую высоту h. В этом случае маятник, обладающий массой m, будет иметь потенциальную энергию mgh (g -ускорение свободного падения).Предоставленный затем самому себе, маятник начнет раскручиваться и его потенциальная2энергия будет переходить в кинетическую энергию поступательного движения mv2 и вра2щательного движения Jω2 .
Таким образом, на основании закона сохранения механическойэнергии имеемm v2 J ω2mgh =+,(24)22где J— момент инерции маятника относительно его оси,h— высота, на которую опустилась ось маятника,v— скорость спуска оси маятника в тот момент, когда ось опустилась на расстояние h,ω— угловая скорость маятника в тот же момент времени.Из уравнения (24) следуетv 2 2ghJ = m 2 ( 2 − 1) .(25)ω vРис. 2. Маятник МаксвеллаРаскручивание нитей с осевого стержня маятника совершается обычно без их проскальзывания. Поэтому v = (r+dн )ω , где r— радиус осевого сечения стержня, dн — диаметр нити. Маятник опускается с ускорением a, отличающимся от g(a < g).
Подставив в (25) v 2 = (r + dн )2 ω 2и v 2 = 2ah имеемgJ = m (r + dн )2 ( − 1) .(26)aУчитывая, что r = d2 и a = 2h, получимt2m(d + 2dн )2 g t2(− 1) ,(27)J=42hгде d— диаметр осевого стержня,dн — диаметр нити,t— время спуска оси маятника на расстояния h,m— масса маятника,g— ускорения свободного падения.Из уравнения (27)следует, что чем больше момент инерции J, тем меньше ускорения спускаa маятника Максвелла.
В силу того, что значения J не может быть равным нулю (или менеенуля), всегда ускорение спуска a < g. Отсюда следует, что сила F , с которой каждая нитьдействует на спускающийся маятник, не может равняться нулю. Значения силы F (и равнойей, но противоположно направленной силы натяжения нити) находится из уравнияmg − 2F = ma(28)при условии, что трением нитей, сопротивлением воздуха и незначительным отклонениемнитей от вертикали можно принебречь.
Таким образом,mF = (g − a) .(29)2Можно показать, что формула (29) опредляет значения силы натяжения каждой нити как приспуске, так и при подъёме маятника Максвелла.Из сказанного, однако, не следует, что в любой момент времени 2F < mg /см.уравнение(28)/. Очевидно, в нижнем положении маятника, когда нить полностью размотается и скорость спуска оси маятника достигнет максимального значения Vmax , ось маятника начнётвращаться вокруг параллельной ей оси, проходящей через нижний конец нити.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
