МУ-О-70 (1003788)
Текст из файла
1Московский государственный технический университет имени Н.Э.БауманаА.В. Косогоров, С.В.Чумакова, С.О.ЮрченкоДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРАМетодические указания к лабораторной работе О-70 по курсу общей физикиМосква, 2010Цель работы – определение длины волны монохроматического излучения полупроводникового лазера с помощью прозрачной дифракционнойрешетки и измерение размеров малых объектов дифракционным методом.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬВолновой характер света отчетливо обнаруживается в дифракции, проявляющейся при распространении света в среде с резкими неоднородностями. Дифракция выражается в проникновении света в область геометрическойтени, а также в специфическом рассеянии света на неоднородностях с образованием в общем случае максимумов и минимумов интенсивности дифрагированной волны по разным направлениям как в области тени, так и вне ее.Обнаруживающееся в явлении дифракции отступление от законов геометрической оптики, в частности, закона прямолинейного распространения света,не всегда наблюдается вследствие малости длины волны света по сравнениюс размерами привычно наблюдаемых нами неоднородностей среды – преград,отверстий и т.п.
Однако при уменьшении размеров этих неоднородностей довеличины порядка длины волны дифракция становится заметной. Ее можнообнаружить и тогда, когда размеры неоднородностей велики по сравнению сдлиной волны, но только при специальных условиях наблюдения.Проникновение световой волны в область геометрической тени можетбыть объяснено с помощью принципа Гюйгенса, который утверждает, чтоточку волнового фронта можно рассматривать как источник новой элементарной сферической волны. Зная положение фронта волны в некоторый момент времени t , можно построить положение фронта волны в следующиймомент времени t +∆t , построив огибающую к фронтам всех элементарныхволн, испускаемых такими источниками.Чтобы объяснить различие в интенсивности дифрагированной на отверстии или препятствии световой волны по различным направлениям и вразличных точках, Френель дополнил принцип Гюйгенса принципом интерференции.
Согласно принципу Гюйгенса-Френеля интенсивность света в некоторой точке ( например, Р ) - есть результат наложения световых волн, источниками которых являются элементы волновой поверхности, расположенной между реальным источником света и данной точкой. При этом следует2считать, что все «источники» колеблются синфазно, так как они располагаются на одной и той же волновой поверхности; амплитуды складываемыхколебаний в точке наблюдения зависят от расстояния до нее от «источников»(обратно пропорционально), площади элементов поверхности (прямо пропорционально) и угла между нормалью к волновой поверхности и направлением на избранную точку ( амплитуды уменьшаются с увеличением угла).Предполагается, что«источники» создают когерентные (или частично когерентные) волны.Существует строгое обоснование принципа Гюйгенса-Френеля, являющееся основой расчёта дифракционной картины.
В общем случае такойрасчёт оказывается технически сложным. Но при наличии определённойсимметрии вычисления упрощаются.Структура дифракционного поля существенно зависит от расстояния lмежду излучателем и точкой наблюдения. Различают дифракцию Френеляпри l ~ a2/λ и дифракцию Фраунгофера при l >> a2/λ , где a - характерныйразмер излучателя ( диаметр отверстия, ширина щели или радиус кривизныкрая препятствия и т.п.) , λ – длина волны.Дифракция Фраунгофера имеет большее практическое применение воптике, поскольку приводит к более простым закономерностям (формулам).При дифракции Фраунгофера на дифракционный объект (отверстие, щель,дифракционную решетку и т.д.) направляют параллельный пучок света (плоскую волну) и дифракционную картину наблюдают на достаточно большомрасстоянии, то есть практически в параллельных лучах или на экране, расположенном в фокальной плоскости собирающей линзы.В данной лабораторной работе рассматриваются эксперименты по дифракции Фраунгофера.1.
Дифракция Фраунгофера на щелиПусть параллельный пучок лучей падает перпендикулярно на непроницаемую плоскость П с длинной прямоугольной щелью, ширина которой aсоизмерима с длиной волны света: АВ = a (рис.1). За плоскостью П , параллельно ей ставится линза Л , в фокальной плоскости которой на экране Эможно наблюдать дифракционную картину – чередующиеся светлые и темные полосы, параллельные щели.3Рис.1Для расчета дифракционной картины используется принцип ГюйгенсаФренеля, согласно которому каждая точка волновой поверхности, совпадающей с плоскостью щели, становится источником новых когерентныхволн, то есть из каждой точки под всевозможными углами будут выходитькогерентные лучи.
Линза собирает пучок параллельных лучей, выходящих източек щели под некоторым углом ϕ к падающим на нее лучам в одну точку вфокальной плоскости. В результате наложения всех волн в этой точке в зависимости от фазовых соотношений между колебаниями, возбуждаемыми волнами, может получиться усиление или, наоборот, ослабление интенсивностивплоть до гашения света. Так, все лучи, идущие от щели в том же направлении, что и падающие, собираясь в главном фокусе линзы, придут в одинаковой фазе ( сама линза не вносит разности хода между этими лучами).
Следовательно в центре дифракционной картины в точке Ро (см. рис.1 ) получаетсямаксимум.В точку Рφ дифракционной картины (рис.1) придут когерентные волныс одинаковой амплитудой от разных точек щели, но с разными фазами: разность фаз δ от волн, идущих от краев щели, зависит от оптической разностихода этих волн ∆ = a,sin φ согласно известному соотношениюδ=2π ⋅ ∆λ,(1)где λ – длина волны света, то естьδ=2π ⋅ аλsin ϕ .(2)Разобьем щель a на очень узкие по ширине одинаковые зоны-полоски,параллельные боковым граням щели. Суммирование волн, пришедших в точку Рφ проведем с помощью векторной диаграммы.
От каждой полоски амплитуда в точке наблюдения (в точке Рφ) одинакова и равна dA (здесь для удобства dEm заменили на dA). В точке Ро между dA нет сдвига по фазе и поэтому4АО(1) = dA + dA + ... + dA ,(3)где индекс (1) у АО отмечает, что это амплитуда волны от одной щели.То есть эта цепочка образует прямую, что соответствует максимуму интенсивности (рис.2).Рис.2Вточке Рφ при графическом изображении мы получим цепочку векторов d Аi , одинаковых по модулю и повернутых друг относительно друга наодин и тот же угол; а разность фаз между d A1 и d AN , где N – число полосок вщели, равно δ =2πаλsin ϕ (см.
(3)). Это сложение показано на рис.3.Рис.3Результирующая амплитуда изобразится вектором Аϕ(1) – хордой окружности с центром в точке С .Из рис.3 видно, чтоАϕ(1)2= R sin(δ/2), Ао=R.δ , где R - радиус окружности.Исключив R, получимАϕ(1) = АО(1) sin(δ / 2) .δ /2Ноδ2=π∆λ=πa sin ϕλ. В итоге5πa sin ϕ)λπa sin ϕλsin(Аϕ(1) = АО(1),(4)где АО(1) – амплитуда колебаний дифракционного максимума нулевого порядка, то есть при φ=0. Модуль ставится потому, что амплитуда всегда положительна.Выражение (4) обращается в нуль для углов φ , удовлетворяющих условиюπa sin ϕ= mπ или a sin ϕ = mλ, где m= ± 1,±2,±3 ...λ(5)Выражение (5) определяет положение минимумов (число m являетсяномером минимума).
Кроме того из этого выражения видно, что уменьшениеширины щели a приводит к расширению дифракционной картины.Между минимумами располагаются максимумы. Амплитуда Аϕ(1) в максимумах определяется максимумами функцииπa sin ϕ)sinψπa sin ϕλ) , или, где ψ =πa sin ϕψλλsin(Амплитуда имеет максимум при выполнении условияd sinψcosψ sinψ() = 0 , то есть− 2 = 0 , или tgψ=ψ.dψ ψψψОчевидное решение ψ=0 илиπa sin ϕ 0= 0 , что соответствует центральλному максимуму. Последующие решения даютπa sin ϕ 3πa sin ϕ1πa sin ϕ 2= ±1,43π ;= ±2,46π ;= ±3,47π ; …λλλ(6)Условия 1-го, 2-го и 3-го максимумов можно записать в виде:a sin ϕ1 = ±1,43λ ; a sin ϕ 2 = ±2,46λ ; a sin ϕ 3 = ±3,47λ .(7)Так как интенсивность монохроматической волны пропорциональнаквадрату амплитуды Аϕ(1) , то с учетом формулы (4) можно записать6I ϕ(1) πa sin sin ϕ λ= I O(1) πasin ϕ λ2(8)Приняв I O(1) = 1 и подставив значения (6) в выражение (8), получим, чтоинтенсивности центрального (нулевого) и боковых (первого, второго, третьего) максимумов относятся друг к другу, какI O(1) : I 1(1) : I 2(1) : I 3(1) : … = 1 : 0,047 : 0,016 : 0,008 : … .Таким образом, в центральном максимуме сосредоточена основная доля световой энергии, проходящей через щель.
На рис.4 представлено распределение интенсивности света в фокальной плоскости линзы (без соблюдениямасштаба). Угловая полуширина центрального максимума равна λ /a ( длямалых углов sinφ=φ).Дифракционная картина в монохроматическом свете имеет вид чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели. Такую же картинуможно наблюдать и без линзы на достаточно большом расстоянии от щели,при котором лучи от краев щели идут приблизительно параллельно до точкинаблюдения.Рис.42. Дифракция Фраунгофера от круглого отверстияДифракцию Фраунгофера от круглого отверстия диаметром D можнонаблюдать на удаленном экране или в фокальной плоскости собирающейлинзы (рис.5), направив на отверстие в непрозрачной преграде нормальноплоскую световую волну. Дифракционная картина будет иметь вид центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами.7Рис.5Вычисление зависимости интенсивности света от угла φ требует знаниябесселевых функций и представляет большие трудности.
Приведем лишь готовый результат.На рис.6 изображена зависимость интенсивности света I ϕ( o ) от величиныФ=πDsin ϕ . Имеется главный максимум при φ = 0 (в него все вторичныеλволны приходят в одинаковых фазах) и ряд максимумов (светлые кольца) иминимумов (темные кольца), тем более близких между собой, чем больше Dи чем меньше λ. Индекс (о) у I ϕ отмечает, что это интенсивность света придифракции от круглого отверстия.Рис.6Соответствующий расчет дает для первого минимума (первого темногокольца):8sin ϕ1 = 1,22λ(9)DДля экрана установленного на большом расстоянии L от преграды с отверстием, с учётом малости угла φ1 ( sin ϕ1 = tgϕ1 =d 1 = 2,44 Ld1), получаем:2Lλ(10).DДанные по четырём тёмным и светлым кольцам приведены в Таблице 1.Таблица 1.Минимумыsin ϕ1 = 1.22sin ϕ 2 = 2,24sin ϕ 3 = 3.24sin ϕ 4 = 4,24λМаксимумыsin ϕ O/ = 0Интенсивность в максимумах1DλDλDλDλsin ϕ1/ = 1,62Dsin ϕ 2/ = 2,66sin ϕ 3/ = 3,70,0175λ0,0042Dλ0,0016DИз этой таблицы видно, что около 98% света приходится на центральный максимум.
Если исключить центральный максимум, то остальные тёмные и светлые кольца практически равноотстоящие.Случай круглого отверстия на практике представляет большой интерес,так как все оправы линз и объективов имеют обычно круглую форму.3. Дифракция Фраунгофера на дифракционнойрешёткеДифракционную решётку может представлять система параллельныхщелей одинаковой ширины a , находящихся друг от друга на одинаковомрасстоянии b .Величина d = a + b называется постоянной решётки или её периодом.Традиционным способом изготовления дифракционной решётки является нанесение на стеклянную пластинку параллельных штрихов через одинаковые интервалы с помощью делительной машины, снабжённой алмазнымрезцом (штрихи свет не пропускают, обеспечивая одинаковые непрозрачныепромежутки между щелями).
В настоящее время разработаны и другие технологии изготовления дифракционных решёток.9Общий размер решётки в направлении, перпендикулярном к её элементамl = N.d , гдеN – число штрихов решётки.Пусть на решётку падает плоская монохроматическая волна перпендикулярно её плоскости. Наблюдение дифракционной картины производится впараллельных лучах с помощью линзы, собирающей свет на экран, помещённый в её фокальной плоскости (рис.7).Рис.7При дифракции на решётке колебания во всех точках щелей происходят в одной фазе, поскольку эти точки принадлежат одной и той же волновойповерхности.
Следовательно, колебания, приходящие в точку наблюденияРО , Рϕ , ... от разных щелей когерентны. Для нахождения результирующей амплитуды (и интенсивности) необходимо найти фазовые соотношения междуэтими когерентными колебаниями. Здесь удобно использовать метод векторных диаграмм.В фокус линзы, т.е. в середину дифракционной картины, когерентныеколебания от всех щелей приходят в одинаковой фазе. Это означает, что еслиамплитуда от одной щели равна А01 , а число щелей в решётке N , то результирующая амплитуда в точке Р0 равнаA0 = A01.NВ точку Рφ (см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
