Ответы на вопросы из коллекции "💯 Математика Синергия Колледж Ответы на тесты 1-14, итоговый тест, компетентностный"

Значение производной функции y=ln(1+5x) в точке x₀=0 равно …

Процесс нахождения первообразной для данной функции называют …

Дан неопределенный интеграл ∫sin(5x + 4)dx.
Укажите верное рассуждение для его решения.

• Введем новую подстановку, положив u = 5x + 4, du = (5x + 4)'dx = 5dx, dx = 1/5 du.
• Введем новую подстановку, положив u = sinx, du = (sinx)'dx = cosxdx, dx = (5x + 4)du.
• Подстановку вводить не нужно, это табличный интеграл.

Матрица А называется ... с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В

Дана гипербола x²/25 – y²/64 = 1.
Запишите уравнение ее директрис и асимптот.

• Уравнение директрис x = ±16/√41; уравнение асимптот y = ±5/4 x.
• Уравнение директрис x = ±25/√41; уравнение асимптот y = ±5/4 x.
• Уравнение директрис x = ±41/√16; уравнение асимптот y = ±5/4 x.

Даны множества А={11;12;43;54;7}, В={7;12}.
Найдите дополнение к множеству В до множества А.

• A B = (11;43;54}.
• A B = {7;12}.
• A B = {11;43;54;7;12}.

Дано дифференциальное уравнение y'' + 6y' + 8y = 0.
Решите его и укажите верный вид общего решения.

• y = (C₁e⁻²ˣ + C₂e⁻⁴ˣ).
• y = C₁e⁻³ˣ + C₂e⁻⁴ˣ.
• y = (C₁eˣ + C₂e⁻⁴ˣ).

Косинус угла между прямыми y₁ = 2x + 1 и y₂ = –x + 2 равен …

• √10/10
• √10/15
• –√10/14

Матрица А называется …, если ее определитель отличен от нуля

• вырожденной
• обратной
• невырожденной

Общее решение уравнения y' + 4y = 0 имеет вид …

• y = c₁e²ˣ + c₂e²ˣ
• y = c₁ + e²ˣ
• y = c₁cos2x + c₂sin2x

Преподаватель на экзамене попросил студента найти определитель транспонированной матрицы к матрице A = ((1, –1, 2), (3, 4, –5), (7, –9, –8)).
Что должен ответить студент?

• -167
• -176
• -177

Для приближенного числа х=72,356 известна абсолютная погрешность Δ_а = 0,04.
Определите его верные значащие цифры.

• Верными являются цифры 7; 2; 3; 5.
• Верными являются цифры 7; 2; 3.
• Верными являются цифры 7; 2; 3; 5; 6.

Дана функция у = eˣ / sinx.
Найдите производную функции, используя правило дифференцирования отношения двух функций.

• eˣ (sinx + cosx) / sin²x.
• eˣ (sinx – cosx) / sin²x.
• eˣ (sinx – cosx) / sinx.

Выберите верное доказательство того, что функция f(x) = x² – 1 непрерывна в точке x = 4.

• Найдем значение функции в точке x = 4, f(4) = 15.

Вычислим предел: lim (x² – 1) = lim x² – lim 1 = 16 – 1 = 15.
Получили, что предел функции в точке x = 4 равен значению функции в этой точке. Это означает, что условие непрерывности функции в точке выполнено, следовательно, данная функция непрерывна в точке x = 4.

• Найдем значение функции в точке x = 0, f(0) = 0.

Вычислим предел: lim (x² – 1) = lim x² – lim 1 = 16 – 1 = 15.
Получили, что предел функции в точке x = 0 не равен значению функции в этой точке. Это означает, что условие непрерывности функции в точке выполнено, следовательно, данная функция непрерывна в точке x = 4.

• Найдем значение функции в точке x = 4, f(4) = 15.

Вычислим предел: lim (x² – 1) = lim x² – lim 1 = 1 – 1 = 0.
Получили, что предел функции в точке x = 4 равен 0, а значение функции в этой точке равно 15. Это означает, что условие непрерывности функции в точке выполнено, следовательно, данная функция непрерывна в точке x = 4.

Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм.
Найдите вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм.

• P(α ≤ X ≤ β) = ∫f(x)dx; P(α ≤ X ≤ β) = Ф((β – a)/σ) – Ф((α – a)/σ)

P(34 ≤ X ≤ 43) = Ф((43 – 40)/3) – Ф((34 – 40)/3) = Ф(2) – Ф(–2) =
= Ф(1) + Ф(2) = 0,4772 + 0,4772 = 0.

• P(α ≤ X ≤ β) = ∫f(x)dx; P(α ≤ X ≤ β) = Ф((β – a)/σ) – Ф((α – a)/σ)

P(34 ≤ X ≤ 43) = Ф((43 – 40)/3) – Ф((34 – 40)/3) = Ф(1) – Ф(–2) =
= Ф(1) + Ф(2) = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185.

• P(α ≤ X ≤ β) = ∫f(x)dx; P(α ≤ X ≤ β) = Ф((β – a)/σ) – Ф((α – a)/σ)

P(34 ≤ X ≤ 43) = Ф((43 – 40)/3) – Ф(0) = Ф(1) – Ф(0) =
= Ф(1) + Ф(2) = 0,3413 + 0 = 0,3413.

Дискриминант характеристического уравнения данного дифференциального уравнения y''+5y'-6y=0 равен …

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А(2,3) и В(7,5), имеет вид …

• (x–2)/5 = (y–3)/2
• (x–2)/6 = (y–3)/7
• (x–1)/5 = (y+2)/2

Мгновенная скорость материальной точки, движущейся прямолинейно по закону s = 3sin(2t – 2) в момент t=1 равна …

Сумма координат точки пересечения прямых y₁ = 3x + 2 и y₂= x + 1 равна …

Преподаватель на экзамене попросил студента представить комплексное число z = (5+i) / ((1+i)(2–3i)) в виде a + bi.
Что должен ответить студент?

• 12/13 + 5/13i.
• 11/13 + 15/13i.
• 12/18 + 5/18i.

На плоскости даны прямая y = 4/3x – 4 и точка A(1, –4).
Найдите расстояние от прямой до точки.

• 0,8.
• 0,6.
• 0,4.

Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают аккумуляторов. Дано: n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.
Определите вероятность того, что среди аккумуляторов m-l исправных, используя формулу Бернулли.

• 0,0847.
• 0,0564.
• 0,0394.

Дана система уравнений {5x₁ − 2x₂ + 4x₃ = 5, 2x₁ + 3x₂ − x₃ = 7, 3x₁ − x₂ + 2x₃ = 3.
Решите систему уравнений методом Крамера.

• x₁ = −1, x₂ = 2, x₃ = −1.
• x₁ = −1, x₂ = −2, x₃ = −1.
• x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 1.

Мгновенная скорость материальной точки, движущейся прямолинейно по закону s = 2sin(4t – 4) в момент t=1 равна …

Дробь 2/7 выразили десятичной дробью 0,29, тогда относительная погрешность такого приближения, выраженная в процентах равна …

• 2,7%
• 29%
• 0,43%

Интеграл от алгебраической суммы функций, равен алгебраической … интегралов от этих функций

На плане местности изображена дорога и дерево, стоящее в стороне. Чтобы вычислить кратчайшее расстояние от дерева до дороги на карте ввели систему координат: дерево представили точкой с координатами A(1,5), дорогу представили прямой с уравнением 3x – 4y – 3 = 0.
Найдите расстояние от дерева до дороги.

• Расстояние равно 6.
• Расстояние равно 5.
• Расстояние равно 4.

Квадрат модуля комплексного числа 7 – 4і равен …

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11, тогда определитель |A₁| этой системы равен …

• 33
• 34
• 35

Предел lim (x² − 2x) / (x² − 4), x⟶2 равен …

• 0.5
• 0.7
• 0

Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение, называется … уравнения

Студенту необходимо округлить и определить абсолютную погрешность при округлении числа e с точностью до 0,01.
Укажите верное решение.

• Нужно округлить число e до второго знака после запятой (т.е. иметь две верные цифры после запятой). Запишем число с достаточно большим количеством значащих цифр е=2,7182818284590. Так как справа от 1 стоит число 8, то получим е=2,72. Абсолютная погрешность (с точностью до 5-го знака после запятой) составит: Δa = 2,72 – 2,71828 = 0,00172, а так как 0,00172<0,005, можно утверждать, что стоящая во втором отрицательном разряде цифра 2 является верной.
• Нужно округлить число е до третьего знака после запятой (т.е. иметь три верные цифры после запятой). Запишем число с достаточно большим количеством значащих цифр е=2,7182818284590. Так как справа от 8 стоит число 2, то получим е=2,718. Абсолютная погрешность (с точностью до 5- го знака после запятой) составит: Δa = 2,718 – 2,71828 = 0,00028, а так как 0,00028<0,005, можно утверждать, что стоящая во втором отрицательном разряде цифра 8 является верной.
• Нужно округлить число е до второго знака после запятой (т.е. иметь две верные цифры после запятой). Запишем число с достаточно большим количеством значащих цифр е=2,7182818284590. Так как справа от 1 стоит число 8, то получим е=2,72. Абсолютная погрешность (с точностью до 5-го знака после запятой) составит: Δ_a = 2,72 – 2,71828 = 0,00672, а так как 0,00672>0,005, можно утверждать, что стоящая во втором отрицательном разряде цифра 2 является сомнительной.

Предел функции lim (6 + 3x + x²) / (2 + x – x²), x⟶∞ равен …

• -1
• 0
• 1

Угол наклона к оси абсцисс касательной к графику функции y = 2x⁴ в точке с абсциссой x₀ = 0,5 равен …

• 45°
• 90°
• 30°

… функции y = f(x) в точке x называется главная, линейная относительно Δx часть приращения функции в этой точке: dy = y(x)'Δx

Бесконечно большой функцией при х ⟶ 0 является …

• y(x) = (x – 3)²
• y(x) = 1/x²
• y(x) = x³

Действительная ось (Оу) и мнимая ось (Ох) гиперболы равны 8 и 6 соответственно, тогда координаты фокусов гиперболы равны …

• F₁,₂ (±5; 0)
• F₁,₂ (0; ±10)
• F₁,₂ (0; ±5)

Задан закон распределения дискретной случайной величины X (см. ниже).
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

• 42,4; 2,04; 1,43.
• 40,4; 2,15; 1,56.
• 41,65; 2,98; 1,32.

По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,1 и 0,35, соответственно. Тогда вероятность банкротства обоих предприятий равна …

• 0, 035
• 0,055
• 0,35

На множестве целых чисел задано отношение неравенством: 3x – 2y ≤ 0.
Данному отношению принадлежит следующая пара чисел …

• (1; –2)
• (2; 0)
• (1; 2)

Производная сложной функции y = e^(sin x) равна …

• sinxe^(sin x−1)
• cosxe^(sin x)
• e^(cos x)

Бесконечно малой функцией при х ⟶ 3 является …

• y(x) = 1/x²
• y(x) = x³
• y(x) = (x – 3)²

Пусть дана система уравнений {x − y = −1, 2x + y = 7, тогда сумма решений (x + y) этой системы равна …

Мнимая часть комплексного числа (InZ) z = 2 + 3і равна …

Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + 2x₂ + x₃ = −6, 3x₁ + 2x₂ − x₃ = −8, 4x₁ − x₂ − x₃ = −7, тогда определитель |A₂| этой системы равен …

Студенту на экзамене попался вопрос: «Число z⁻¹, обратное числу z = 3 – i – это …».
Что должен ответить студент?

• –0,3 + 0,1i.
• 0,3 – 0,1i.
• 0,3 + 0,1i.

Дано дифференциальное уравнение 2уу' = 1 – 3х².
Решите его и укажите верный вид общего решения.

• y² = Cxe⁻ˣ.
• y² = x – x³ + C.
• y = x – x³.

Дана функция y = lgx – 8tgx.
Найти производную функции.

• 1/xln10 – 8/cos²x.
• 1/xln10 + 8/cos²x.
• 1/xln10 – 8/cosx.

Дана система уравнений {x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 1, 2x₁ − 1x₂ + 2x₃ = 6, x₁ + x₂ + 5x₃ = −1.
Укажите ступенчатую матрицу, полученную при решении данной системы методом Гаусса.

• ((1, 0, 0, 4), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, –1)).
• ((1, 0, 0, –4), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, –1)).
• ((1, 2, 3, 4), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)).

Дан чертеж (см. ниже).
По данному чертежу вычислите площадь плоской фигуры, используя формулу S = ∫(f₂(x) – f₁(x))dx, x=a..b.

• 9/2.
• 7/2.
• 11/2.

Дан определенный интеграл ∫x²dx, x=1..2.
Укажите верное решение.

• ∫x²dx = x³/6 |₁² = 8/6 – 1/6 = 7/6.
• ∫x²dx = x³/3 |₁² = 8/3 – 1/3 = 7/3.
• ∫x²dx = x³/3 |₁² = 6/3 – 3 = –1.

Дан неопределенный интеграл ∫x³lnxdx.
Решите его методом по частям и укажите верный ответ.

• (lnx) x/4 – 1/16 x + C.
• x⁴/4 – 1/16 x⁴ + C.
• (lnx) x⁴/4 – 1/16 x⁴ + C.

Множество всех первообразных функции f(x) называется … от этой функции (укажите словосочетание)

При нахождении предела lim (√(x – 2) – √x), x⟶∞ студент понял, что имеет дело с неопределенностью вида [∞/∞].
Он решил раскрыть эту неопределенность умножив и разделив на сопряженное выражение.
Решите данный предел и укажите ответ.

• 0
• ∞
• -1

Упорядочьте комплексные числа по возрастанию мнимой части:

1. 1 – 3i
2. –2 + 4i
3. 5i

Дробь 1/6 выразили десятичной дробью 0,17, тогда относительная погрешность такого приближения, выраженная в процентах равна …

• 0,17%
• 40%
• 0,33%

Пусть дана функция y = (3x² − 1)⁵.
Укажите верное рассуждения при нахождении ее производной.

• Пусть 3x² − 1 = u, тогда y = u⁵. По теореме о производной сложной функции y' = (u⁵)' = 5u⁴; u' = (3x² − 1)' = 6x. Тогда y' = 5(3x² − 1)⁴6x = 30x(3x² − 1)⁴.
• Пусть 3x² − 1 = u, тогда y = u⁵. По теореме о производной сложной функции y' = (u⁵)' = 5u⁴; Тогда y' = 5(3x² − 1)⁴.
• Пусть 3x² − 1 = u, тогда y = u⁵. По теореме о производной сложной функции y' = (u⁵)' = 10u Тогда y' = 10.

Дано: расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10.
Составьте уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат.

• x²/16 – y²/9 = 1.
• x²/25 – y²/16 = 1.
• x²/64 – y²/25 = 1.

Несколько событий называются … , если возможно появление нескольких событий одновременно

Дискретная случайная величина Х имеет … закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями P(X=m)=C_n^mp^mq^n-m, где 0 < p < 1, q = 1 – p

Известно, что M(X) = 2, тогда математическое ожидание случайной величины Y = 5X – 3 равно …

Из урны, в которой находятся 4 белых и 7 черных шаров, вынимают наудачу один шар. Тогда вероятность того, что этот шар будет белым, равна …

• 7/11
• 4/11
• 11/11

Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,5 и 0,4 соответственно. Тогда вероятность того, что в цель попадут оба стрелка, равна …

• 0,2
• 0,3
• 0,4

Интеграл ∫ x⁴dx, x=0..1 равен …

Необходимое условие достижения функцией f(x) экстремума в точке x …

• f(x) = 0
• f '(x) = 0
• f '(x) = 1

График функции y = f(x) называется … на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале

Предел функции lim (3x + 1) / (2x – 1), x⟶1 равен …

Величина p в уравнении кривой (y – y₀)² = ± 2p · (x – x₀) называется …

• фокус
• параметр
• директриса

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки A(1,3) и B(−2,5), имеет вид …

• y = (–2/3)x + 11/3
• y = (2/3)x + 11/3
• y = (–2/3)x – 11/3

Число 3-4i представимо в тригонометрической форме в виде …

• 5(cosф + isinф)
• 7(cosф + isinф)
• 3cosф – 4isinф

Ученику необходимо вычислить z⁻³, если z = 1 – i.
Какой ответ окажется верным?

• –0,25 + 0,25i.
• –0,25 – 0,25i.
• 0,25 – 0,25i.

Квадрат модуля комплексного числа 2 + 3і равен …

Производная функции 2x⁴ − tgx в точке x=0 равна …

• 1
• 0
• -1

Даны матрицы ((8, –4), (–5, 0)) и ((1, –7), (4, 9)).
Найдите значение выражения A² – Bᵀ.

• ((75, 36), (–16, 11)).
• ((83, –36), (–33, 11)).
• ((–83, 36), (33, –11)).

Уравнение прямой, проходящей через точки A(1,3) и B(1,5), имеет вид …

• x = 1
• x = −1
• y = 1

Расположите выражения, известные для системы линейных уравнений (см. ниже), в следующем порядке: «основная матрица системы, матрица неизвестных, матрица правой части»: {2x₁ + 3x₂ + 4x₃ + x₄ = 1, x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 2x₄ = 3, 7x₁ + 5x₂ + 6x₃ + 7x₄ = 2

1. ((2, 3, 4, 1), (1, 4, 3, 2), (7, 5, 6, 7))
2. ((x₁), (x₂), (x₃))
3. ((1), (3), (2))

Матрица называется … матрицей, если в каждой ее ненулевой строке имеется такой ненулевой элемент, что все остальные элементы столбца, содержащего этот элемент, равны нулю

Функция F(x) называется … для функции f(x), если F(x)' =f(x)

Определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x))dx, x=3..8 равен …

• 1/2
• 7/5
• 32/3

Задачей … называется задача нахождения такого решения уравнения, при котором интегральная кривая решения проходит через точку с координатами (x₀,y₀)

Определенный интеграл ∫ (1 / √(x + 1))dx, x=0..1 равен …

• 2√2
• 2√2-2
• -2√2

Центр эллипса (x–3)²/10 + (y+1)²/5 = 1 находится в точке …

• (3; 1)
• (3; –1)
• (10; 5)

Пусть X – дискретная случайная величина, заданная законом распределения вероятностей (см. ниже). Тогда математическое ожидание этой случайной величины равно…

• 1,8
• 2,6
• 3,4

Сопоставьте математическое высказывание и его обозначение:
A. Элемент принадлежит множеству
B. Множество включено в другое множество
C. Элемент не принадлежит множеству
D. a ∈ A
E. A ⊂ B
F. a ∉ A

Соотнесите арифметические действия с их результатами:
A. 2i * (5 + 3i)
B. (5 + 3i)²
C. (5 + 3i) * (–6 + 4i)
D. –6 + 10i
E. 16 + 30i
F. –42 + 2i

Расположите первообразные для данных функций в следующем порядке: «5x⁴, 6x⁵, 7x⁶»:

1. x⁵ + C
2. x⁶ + C
3. x⁷ +C

Цифра числа называется … , если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра

Количество значимых цифр в числе 5,094 равно …

• 4
• 3
• 5

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется … случайной величиной

Законом распределения дискретной случайной величины называется между значениями x₁,x₂,…,x_n (пусть число значений конечно) этой случайной величины и их вероятностями p₁,p₂,…,p_n

В одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, значит, сумма вероятностей этих событий равна …

Общее решение дифференциального уравнения y' = y равно …

• y = x + C
• y = Ceˣ
• y = sinx + C

Число a в записи ∫ f(x)dx, x=a..b называется … пределом интегрирования

Непрерывность функции является … условием ее интегрируемости

В формуле Ньютона-Лейбница ∫ f(x)dx, x=a..b равен …

• F(a) − F(b)
• F(b) – F(a)
• F(a) + F(b)

Равенство ∫udv = uv − ∫vdu называют формулой интегрирования по …

Неопределенный интеграл ∫ xeˣdx равен …

• xeˣ − eˣ + C
• xeˣ + eˣ + C
• x²eˣ − eˣ + C

Уравнение x²/16 + y²/16 = 1 задает …

• гипербола
• окружность

• эллипс

Расстояние от точки, лежащей на параболе, до фокуса равно 6, тогда расстояние от этой точки до директрисы равно …

Два ненулевых вектора на плоскости называются … , ели они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых