Простейшие модели надежности

8. Простейшие модели надежности

8.1 Последовательное соединение элементов

При последовательном соединении элементов разрушение происходит по наиболее слабому из них. Последовательным соединением элементов может быть названо также любое их соединение, образующее статически определимую систему. (Прочность – случайна, s – напряжение в стержне от фактической определенной нагрузки).

Интегральный закон распределения прочности i-того элемента системы – P_i(s) (т.е. вероятность того, что прочность элемента будет находиться на интервале (-¥,s), т.е. это вероятность разрушения). Вероятность неразрушения равна 1-P_i(s) для i-того элемента. Аналогично для всей системы ее вероятность не разрушения 1-P_c(s), где P_с(s) – интегральное распределение прочности всей системы, состоящей из n последовательно соединенных элементов. Согласно (3¢/2) и (4/2)

                                                             (92.8)

Если стержни системы сделаны из одного материала, но имеют различные поперечные сечения, то формула вероятности неразрушения системы:

                                                         (98.8),

где  (в каждом стержне свое конкретное напряжение).

Здесь F – внешняя нагрузка;

s_i – напряжение, вызываемое усилием  в i-том стержне;

 - усилие в i-том элементе от внешней нагрузки F=1; A_i – площадь сечения i-того стержня.

В случае, когда прочность материала подчиняется распределению Вейбулла (54.4), вероятность неразрушения системы (подставим (95.8) в (98.8)):

                                  (99.8)

Тогда м.о. и стандарт прочности системы:

,                                                           (100.8)

Пример.

Дано: стальная статически определимая ферма. Нагрузка и размеры детерминированы, прочность всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245. Расчетное сопротивление R_y = 240 МПа, матожидание предела текучести  МПа, стандарт предела текучести s(R_y) = 20 МПа. Тогда коэффициент вариации предела текучести

      (7,7%).

Обычным путем получены усилия, подобраны сечения и найдены напряжения в стержнях фермы. Необходимо найти вероятность неразрушения (надежность) фермы.

Функция распределения прочности элементов:

,

где s - напряжение, действующее в стержне.

Значение P(s) – есть вероятность того, что случайный предел текучести R_y будет меньше действующего напряжения s, т.е. вероятность разрушения. Через интеграл вероятности Гаусса:  определим вероятности разрушения каждого стержня:

;

;

;

;

;

, .

Тогда по (93.8) вероятность неразрушения фермы (надежность):

1 - P_c(r) = (1-0.0239)⁴×(1-0.0082)²×(1-0.0256)²=0.8478.

Ферма обладает такой надежностью в случае действия максимальных нагрузок, вероятность появления которых невелика, поэтому действительная надежность фермы больше. Кроме того, ферма не является в действительности статически определимой системой и появление в стержне напряжения равного пределу текучести не есть еще разрушение этого стержня.

8.2  Параллельное соединение элементов

Считаем элементы идеально хрупкими, модуль упругости и площадь сечения элементов одинаковыми и детерминированными. Известна функция распределения прочности P_r(R) и плотность распределения p_r(R),

                                                   (101.8).

Внешнее усилие N распределяется поровну между всеми n элементами, в которых напряжения не достигли предельных. При напряжении s из строя выходит nP_r(s) элементов (произведение общего количества стержней на вероятность выхода из строя одного) и м.о. воспринимаемого усилия:

                                                                (102.8)

или т.к. , то

                                                              (103.8).

Уравнение (10.3) описывает диаграмму работы системы n параллельно соединяемых хрупких элементов, т.е. кривую состояний равновесия этой системы. P_r(s) – вероятность того, что прочность R будет меньше действующего напряжения s, т.е. вероятность хрупкого разрушения стержня, F – площадь поперечного сечения каждого стержня. Рассмотрим зависимость напряжений от деформаций для хрупкого стержня s = j(e).

Напряжения в стержне – с.в., т.к. его предел прочности R также с.в.

М.о. действующего в стержне напряжения (из 102.8)

и при n=1

                                                             (104.8),

где  - м.о. напряжения в стержне при деформации e.

Т.к. функция s(e) разрывная, то возможны два события:

1) сопротивление равно eE и вероятность этого ;

2)  сопротивление равно 0 и вероятность этого , т.е. вероятность хрупкого разрушения стержня и падения напряжения до нуля.

Согласно этому (и используя формулу определения м.о. для двух случайных событий )

математическое ожидание:

      (идентично 104.8).

Дисперсия  (используя формулу для дисперсии ):

        (105.8).

Подобным образом получаем корреляционную функцию

.

Данные характеристики относятся к одному хрупкому стержню. В случае n параллельно работающих стержней сопротивление системы (при одинаковой для всех стержней деформации) равно сумме сопротивлений составляющих:

,

где  и  - случайные несущая способность системы и действующее напряжение в i-том стержне.

М.о. несущей способности

, что аналогично (102.8).

Дисперсия несущей способности системы:  (см. далее 105.8). При этом предполагается, что прочности отдельных стержней – независимые с.в.

При нормальном распределении м.о. максимальной несущей способности системы:

,

где Ф(u) – интеграл вероятности Гаусса,

,

где  - ожидаемая прочность одного стержня (м.о.);

s(R) – стандарт этой прочности;

 - коэффициент вариации прочности одного стержня.

Дисперсия несущей способности системы:

.

Коэффициент изменчивости несущей способности системы:

.

Пример. Определим надежность статически неопределимой системы.

Дано: нагрузка и размеры – детерминированы, прочность (предел текучести R_y) всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245, R_y=240 МПа, МПа – м.о. предела текучести; s(R_y)=25 МПа (достаточно большой разброс), N=130кН, А₁=6см², А₂=10 см², l₁=1.5 м, l₂=1 м, а=1 м.

Считаем, также, что разрыв стержней происходит хрупко, динамический эффект хрупкого разрушения не учитываем.

Вычисляем усилия в стержнях.

А) SМ_А=-N×3a+N₁×2a+ N₂×a=0,

, ,

и подставляя в уравнение равновесия, получим

(кН),

тогда  (кН)

и напряжения  (МПа),  (МПа).

Б) В случае хрупкого обрыва стержня 1:

SМ_А= -N×3a+ N₂×a=0   (кН)

и напряжение в оставшемся стержне 2:  (МПа).

В) В случае хрупкого обрыва стержня 2: SМ_А= -N×3a+ N₁×2a = 0  (кН)

и напряжение в оставшемся стержне 1:  (МПа).

Вероятность неразрушения системы определим по формуле полной вероятности (9.2). Система не разрушится в трех случаях:

А) не разрушится и стержень 1 и 2 – вероятность этого P_a;

Б) разрушится стержень 1, но не разрушится стержень 2 – P_б;

В) разрушится стержень 2, но не разрушится стержень 1 – P_в;

А) Р_а=(1-Р₁(s₁^а))(1 - Р₂(s₂^а)), где Р₁(s₁^а) – вероятность разрушения стержня 1 (т.е. предел текучести будет меньше действующего напряжения s₁).

(1-Р₁(s₁^а)) – вероятность неразрушения стержня 1;

(1-Р₂(s₂^а)) – вероятность неразрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 не разрушился.

Б) Р_б=Р₁(s₁^а)(1-Р₂(s₂^б)), где Р₁(s₁^а) – вероятность разрушения стержня 1.

(1-Р₂(s₂^б)) – вероятность не разрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 разрушился.

.

В) Р_в=Р₂(s₂^а)(1-Р₁(s₁^в)), где Р₂(s₂^а) – вероятность разрушения стержня 2.

(1-Р₂(s₂^б)) – вероятность неразрушения стержня 1, при условии, что стержень 2 разрушился.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 1 Особенности определения сметной стоимости оборудования и его монтажа .

.

Тогда вероятность неразрушения системы (события а, б, в – не совместны):

Р_с = Р_а+Р_б+Р_в= 0,99179 + 2×10^-9 + 25×10^-9 = 0,99179.

Значения двух последних слагаемых очень малы, поэтому с достаточной степенью точности можно сказать, что статическая неопределимость в данной системе почти не увеличивает ее надежность. Однако, при увеличении степени статической неопределимости увеличение за счет ее надежности системы более существенно.

На рисунках показаны зависимости надежности системы (с параметрами из задачи) от усилия N, от предела текучести R_y и от стандарта s(R_y). Максимальная надежность данной системы наблюдается при выравнивании напряжений в стержнях, т.е. при . При увеличении разброса прочности s(R_y) увеличивается разброс воспринимаемой нагрузки (кривая зависимости надежности от нагрузки становится более пологой).