Нелинейное программирование

9. Лекция. Нелинейное программирование.

9.1. Основные понятия.

      Во многих оптимизационных задачах целевая функция, или функции, задающие ограничения, не являются линейными. Такие задачи называются задачами нелинейного программирования.

  Пример простой нелинейной задачи:

      Предприятие для производства какого-то продукта расходует два средства в количестве х и y соответственно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных вида сырья и т.п., а х и y – затраты факторов производства.

  Факторы производства считаются взаимозаменяемыми. Если это «труд» и «машины», то можно применять такие методы производства, при которых величина затрат в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое).

Объем производства, выраженный в натуральных или стоимостных единицах, является функцией затрат производства

Z = f (х, y). Эта зависимость называется производственной функцией.

Совокупные издержки выражаются формулой с₁х₁ + с₂y₂ = в.

Рекомендуемые материалы

Требуется при данных совокупных издержках определить количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции Z.

            Математическая модель задачи:

  Определить такие переменные  х и  у, удовлетворяющие условиям  

                                      с₁х₁+с₂у=в, х≥0, у≥0,

            при которых функция z=f(х, у) достигнет максимума.

            Ограничения могут отсутствовать. В этом случае производится безусловная оптимизация задачи. Как правило, функция z может иметь произвольный нелинейный вид. В теории нелинейной оптимизации выделяют понятие локального экстремума (локального минимума, локального максимума), глобального экстремума, условного экстремума.

Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше 2 (n≥2).

Разница между глобальным и локальным экстремумами предоставлена на рисунке:

                       А                            С                В                                                                                                          

 Точки А и В являются точками локального экстремума, а точка С является точкой глобального экстремума.

Задачи нелинейного программирования делятся на два класса: имеющие безусловный экстремум и имеющие условный экстремум в зависимости от того есть ли дополнительные условия или нет.

9.2. Безусловный экстремум

  Рассмотрим задачу безусловного экстремума.

Найти экстремум функции  z=х²+ху+у²-2х-3у.

Найдем частные производные.

Первая производная по    х: z׳_х=2х+у-2

Первая производная по   у: z׳_у=х+2у-3

Решим систему уравнений. 2х+у=2

                                                          х+2у=3

          Получаем критическую точку (1/3; 4/3).

Найдем вторые частные производные.

Вторая производная по            х: z׳׳_хх=2

Вторая производная по           у: z׳׳_уу=2

Смешанные производные      z׳׳_ху=z׳׳_ух=1  

          Составим определитель 2  1

                                                    1  2       ∆ = 4-1=3

 Следовательно, экстремум есть. Так как z=2>0, то в точке (1/3; 4/3) точка минимума.

9.3. Условный экстремум

Задача на минимум.

      Определить матрицы L и все ее главные миноры порядка больше чем m+1 должны иметь знак (-1)^m, где m – число ограничений задачи.

Задача на максимум.

      Определить матрицы L должен иметь знак (-1)ⁿ, где n – число переменных в задаче. Главный минор порядка m+n-1 должен иметь противоположный знак. Последующие миноры должны иметь чередующие знаки.

Рекомендуем посмотреть лекцию "Как подготовиться к ядерному взрыву или радиоактивному заражению".

Пример: Z = f(x)=xy, х²+у²=2.

Критические точки: М1=(1, 1), М2=(-1, -1), =(1, -1), =(-1, 1).

                                   0    -2x   -2y

                          L=    -2x  -2λ     1    Δ=8 λ(x²+y²)+8xy     Δ=-4x²

                                  -2y    1    -2 λ 

Таким образом, максимум в точках М1, М2 (λ=0,5), минимум – в точках М3, М4 λ=-0,5.