Экспоненциальное и нормальное распределения
Лекция 5
Экспоненциальное и нормальное распределения.
Экспоненциальное распределение.
Непрерывная случайная величина имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность распределения задается формулой
, 
- параметр экспоненциального распределения.
Для случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, 
, 
.
Если времена между последовательными наступлениями некоторого события – независимые, экспоненциально распределенные случайные величины с параметром 
, то число наступлений этого события за время t имеет пуассоновское распределение с параметром 
. Геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциального распределения.
Нормальное распределение (распределение Гаусса).
Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение (распределена нормально или по Гауссу), если ее плотность имеет вид
Рекомендуемые материалы
.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины.
.
Вычислите аналогично 
.
Обозначим плотность стандартного нормального распределения (при 
) 
,
обозначим функцию распределения стандартного нормального распределения
,
где 
- интеграл Лапласа. Значения 
можно найти в стандартных таблицах.
Вычислим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок [a,b].
. При вычислении вероятности полезно учитывать нечетность функции :
.
Локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа.
Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, причем p и q=1-p велики, то для всех m справедлива локальная формула Муавра – Лапласа
.
Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, причем p и q=1-p велики, то для всех m справедлива интегральная формула Муавра – Лапласа
.
Это означает, что при большом числе испытаний распределение числа успехов становится нормальным.
Иногда приходится оценивать вероятность отклонения частоты события от вероятности. Покажем, как можно использовать для этого интегральную формулу Муавра – Лапласа.
Заметим, что 
.
Запишем интегральную формулу Муавра – Лапласа
в виде
.
Поэтому
.
Если интервал симметричен, 
, то по нечетности
.
Примеры.
1) (3.42) Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность вызова за минуту 0,0005. Какова вероятность, что за минуту поступит не менее двух вызовов? Здесь n = 1000, p = 0,0005, = np =0.5. 
(по таблице 
).
2) (3.43) Известно, что 20% автомобилей нарушают скоростной режим. Какова вероятность того, что из 1000 автомобилей 210 нарушат правила? Здесь надо пользоваться локальной формулой Муавра-Лапласа при n=1000, p=0,2, m=300. 
3) (3.44) Монету подбрасывают 10000 раз. Найти вероятность того, что частота выпадения герба будет отличаться от 0,5 не более, чем на 2%. Здесь надо пользоваться интегральной формулой Муавра-Лапласа при n=10000, р=1/2, m1=400, m2=600. Тогда 
Другие распределения, часто используемые в инженерных расчетах.
Распределение Вейбулла. Это распределение с плотностью
и функцией распределения
Вместе с этой лекцией читают "Доказать свойства свертки интегралов".
.
Если 
, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное, а при 
- в распределение Релея.
Достаточно близкую к распределению Вейбулла плотность имеет гамма – распределение:
.
Здесь 
- гамма-функция.
Если 
- целое число, то гамма-распределение превращается в распределение Эрланга порядка k. Если k – нечетное число, 
, то гамма-распределение превращается в распределение 
(хи-квадрат) распределение с k степенями свободы. При 
(так как 
) гамма-распределение переходит в экспоненциальное. Для всех рассмотренных распределений составлены таблицы, по которым можно определять значения функций распределения.
