Повторные испытания
Лекция 4
Повторные испытания.
Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.
Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка и т.д.
Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).
Рассмотрим ситуацию А.
Пусть число исходов равно двум (N = 2). Такая схема испытаний называется схемой Бернулли.
Рекомендуемые материалы
Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или не попаданию в мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промаха равна q = 1 – p. Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов P(m,n). 
, так как в каждом опыте стрелок промахивается. Вероятность попасть один раз равна 
, так как стрелок может попасть при первом, втором, … n ом выстреле. 
,так как два попадания (порядок не важен) должны быть размещены (выборки без возвращения) среди n выстрелов. Аналогично
- формула Бернулли.
Само распределение 
называют биномиальным.
В самом деле, это – коэффициенты при 
в разложении по степеням 
производящей функции 
.
Из формулы Бернулли вытекают два следствия:
1) Вероятность появления успеха в n испытаниях не более m1 раз и не менее m2 раз равна 
,
2) Вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях равна 
.
Если Х имеет биномиальное распределение, то Мх = np, Dx = npq.
Пусть в ситуации А число исходов равно N, а их вероятности равны p1…pN . Вычислим вероятность того, что после n испытаний i – тый исход наступит 
раз 
.
Заметим, что 
.
так как 
.
Поэтому 
. Это – полиномиальное распределение.
Заметим, что 
- это коэффициенты при 
в разложении по степеням 
производящей функции 
.
Рассмотрим ситуацию В. Здесь вероятность того или иного исхода зависит от номера испытания, так как условия испытаний различны. - это коэффициенты при в разложении по степеням производящей функции 
при N исходах.
При двух исходах 
- это коэффициент при в разложении производящей функции
, где 
.
Примеры.
1) Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт а)три туза, б)не менее одного туза?
а) 
, б) 
.
2) Мишень для опытного стрелка содержит три круговых кольца: 10, 9, пусто. Вероятность попасть при одном выстреле в десятку – 0,2, в девятку – 0,7, в «пусто» – 0,1. Какова вероятность в серии из 10 выстрелов попасть в «пусто» два раза, в девятку 4 раза, в десятку 4 раза?
3) Производится три выстрела в мишень. При первом выстреле вероятность попасть в мишень равна 0,5, не попасть 0.5. При втором выстреле – соответственно 0,4 и 0.6, при третьем выстреле 0,3 и 0,7. Какова вероятность два раза попасть в мишень?
.
Вероятность не попасть ни разу равна 0,21, один раз – 0,44, два раза – 0,29, три раза – 0,06.
Распределения, связанные с повторными испытаниями.
Геометрическое распределение.
Рассмотрим схему Бернулли. Обозначим Х – число испытаний до первого успеха, если вероятность успеха в одном испытании р. Если первое испытание успешно, то Х = 0. Следовательно, 
. Если Х = 1, т.е. первое испытание неудачно, а второе успешно, то по теореме умножения 
. Аналогично, если Х = n , то все испытания до n-ого неудачны и 
. Составим ряд распределения случайной величины Х
|
| 0 | 1 | 2 | … |
| … |
|
|
|
|
| … |
| … |
Случайная величина с таким рядом распределения имеет геометрическое распределение.
Проверим условие нормировки 
.
Гипергеометрическое распределение.
Рассмотрим схему испытаний, обобщающую задачу о выборке бракованных деталей и похожую на ситуацию А с N исходами. Пусть имеется n элементов, разделенных на группы: n1 элементов первого типа, n2 – второго типа и т.д., nN – N-ого типа. Какова вероятность, выбрав m элементов, получить среди них m1 элементов из первой группы, m2 – из второй и т.д. mN - из N-ой?
Ее легко вычислить по классическому определению вероятностей с учетом теоремы умножения:
.
В частности, при N=2 (m2=m-m1, n2=n-n1) (задача о бракованных деталях)
Формула Пуассона и распределение Пуассона.
Пусть число испытаний n велико, вероятность p мала и 
np мало. Тогда вероятность наступления m успехов в n испытаниях можно приближенно определить по формуле Пуассона:
.
Заметим, что по формуле Пуассона можно считать вероятность неуспеха, если q мало, приняв 
Вам также может быть полезна лекция "12.2. Древнейшие календари".
Случайная величина с рядом распределения m, имеет распределение Пуассона. Чем больше n, тем формула Пуассона точнее. Для грубых расчетов формулу применяют при n =10, 0 – 2, при n = 100 0 – 3. При инженерных расчетах формулу применяют при n = 20, 0 – 3, n =100, 0 – 7. При точных расчетах формулу применяют при n = 100, 0 – 7, n =1000, 0 – 15.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей распределение Пуассона.
,
