Упорядочение сетевого графика. Понятие о пути

Лекция 12

Упорядочение сетевого графика. Понятие о пути

Предположим, что при составлении некоторого проекта выде­лено 12 событий: 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, 10, 11 и 24 связываю­щие их работы: (0, 1), (0, 2), (0, 3),(1,2), (1, 4), (1, 5), (2,3), (2, 5), (2, 7), (3, 6), (3, 7), (3, 10),(4, 8), (5, 8), (5, 7), (6, 10), (7, 6), (7, 8), (7, 9), (7, 10), (8, 9), (9, 11), (10, 9), (10, 11). Необходимо составить и упорядочить сетевой график.

Как следует из перечня работ, исходным событием сетевого графика является событие 0 (ему не предшествуют никакие рабо­ты), а завершающим — событие 11 (за ним не следует ни одна работа). Полагая на сетевых графиках изменение времени слева направо, поместим событие 0 в левую часть графика, а событие 11 — в правую часть, разместив между ними промежуточные со­бытия в некотором порядке, соответствующем их номерам (рис. 1). События свяжем работами-стрелками в соответствии с перечнем работ.

                                   Рис.1

Построенный сетевой график удовлетворяет правилам, предъявляемым к его построению. Однако этот график не полностью упорядочен.

Рекомендуемые материалы

Упорядочение сетевого графика заключается в таком располо­жении событий и работ, при котором для любой работы предшест­вующее ей событие расположено левее и имеет меньший номер по сравнению с завершающим эту работу событием. Другими словами, в упорядоченном сетевом графике все работы-стрелки направле­ны слева направо: от событий с меньшими номерами к событиям с большими номерами.

Разобьем условно сетевой график на несколько вертикальных слоев (обводим их пунктирными линиями и обозначаем римски­ми цифрами).

Поместив в I слое начальное событие 0 (рис.2, мысленно вычеркнем из графика (см. рис. 1) это событие и все выходящие из него работы-стрелки. Тогда без входящих стрелок останется событие 1, образующее II слой. Вычеркнув мысленно событие 1 и все выходящие из него работы, увидим, что без входящих стрелок остаются события 4 и 2, которые образуют III слой. Продолжая указанную процедуру вычеркивания, получим IV слой с событиями  5 и 3, V слой — с событием 7, VI слой—с событиями 8 и 6, VII слой — с событием 10, VIII слой—с событием 9 и, наконец, IX слой — с событием 11.

Теперь видим, что первоначальная нумерация событий не со­всем правильная: так, событие 6 лежит в VI слое и имеет номер, меньший, чем событие 7 из предыдущего слоя. То же можно ска­зать о событиях 9 и 10.

                                               Рис. 2

Изменим нумерацию событий в соответствии с их расположе­нием на графике (см. рис. 2) и получим упорядоченный сете­вой график (рис. 3), в котором над стрелками указана продол­жительность соответствующих работ (в сутках).

                                      Рис. 3

Путь — любая последовательность работ, в которой конечное собы­тие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Среди различных путей сетевого графика наибольший интерес представляет полный путь L — любой путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец — с завершающим.

Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике на­зывается критическим. Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути.

Порядок нумерации событий, расположенных в одном вертикаль­ном слое, принципиального значения не имеет, так что нумерация одно­го и того же сетевого графика может быть неоднозначной.

Например, для рассматриваемого нами сетевого графика ( рис. 3) полными путями будут: путь 0->1->2->7-> 10->11 про­должительностью 8+9+3+5+13=38 суток, путь 0->1->-3>4->б->->10->11 продолжительностью 8+4+10+3+5+13=43 суток, путь 0->5>8->9->11 продолжительностью 9+10+4+17=40 суток, путь 0->3->5->6->9->10->11 продолжительностью 13+7+9+13+6+13=61 сутки и т.д.

Можно убедиться в том, что последний путь имеет наиболь­шую продолжительность (не только среди приведенных четырех полных путей, но и среди всех полных путей, которых в дан­ном случае насчитывается 64), поэтому он и является критическим (способ определения критического пути, не основанного на пере­боре всех полных путей сетевого графика). Продолжительность критического пути составляет 61 сутки, т.е. для проведения комплекса работ понадобятся 61 сутки. Быстрее ком­плекс выполнить нельзя, так как для достижения завершающего события критический путь надо пройти обязательно.

Действительно, для достижения события 11 надо выполнить работу (10, II), т.е. достичь события 10; для достижения события 10 надо провести работу (9, 10), т.е. достичь события 9; для дос­тижения события 9 надо провести работу (6, 9), т.е. достичь со­бытия 6, и т.д.

Определив критический путь, мы тем самым установили кри­тические события сети 0, 3, 5, 6, 9, 10 и 11 и критические работы (0, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 9), (9. 10). (10, II).

Критический путь имеет особое значение в системе СПУ, так как работы этого пути определяют общий цикл завершения всего комплекса работ, планируемых при помощи сетевого графика. И для сокращения продолжительности проекта необходимо в пер­вую очередь сокращать продолжительность работ, лежащих на критическом пути.

Следует отметить, что классический вид сетевого графика — это сеть, вычерченная без масштаба времени. Поэтому сетевой график, хотя и дает четкое представление о порядке следования работ, но недостаточно нагляден для определения тех работ, кото­рые должны выполняться в каждый данный момент времени. В связи с этим небольшой проект после упорядочения сетевого графика рекомендуется дополнить линейной диаграммой проекта. Такая линейная диаграмма для рассматриваемой сети показана на рис. 4.

сутки

Рис. 4.

При построении линейной диаграммы каждая работа изобража­ется параллельным оси времени отрезком, длина которого равна продолжительности этой работы. При наличии фиктивной работы нулевой продолжительности (в рассматриваемой сети ее нет) она изображается точкой. События i и j, начало и конец работы (i, j) помещают соответственно в начале и конце отрезка. Отрезки рас­полагают один над другим, снизу вверх в порядке возрастания ин­декса i, а при одном и том же i — в порядке возрастания индекса j (на рис. 4.) вследствие ограниченности места не показаны работы-отрезки, выходящие из 2-, 3-, 4- и ,5-го событий).

По линейной диаграмме проекта можно определить критиче­ское время, критический путь, а также резервы времени всех ра­бот.

Так, критическое время комплекса работ равно координате на оси времени самого правого конца всех отрезков диаграммы:

 сутки.

Для определения критического пути рассматриваем работы-отрезки, конечные события которых совпадают с завершающим событием сети (в нашем примере (9, II) и (70, 77). Затем находим отрезок (9, 10), правый конец которого лежит на одной вертикал!. t (10) с левым концом одного из рассматриваемых ранее отрезков (10, 77). Аналогично определяем и другие работы-отрезки крити­ческого пути: (6, 9), ..., (О, 3) (на рис. 4) все они выделены жир­ным шрифтом).

Временные параметры сетевых графиков

Рассмотрим содержание и расчет указанных параметров.

Параметры событий.

Событие не может наступить прежде, чем свершатся все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок  свершения i-того события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

,              (1)

где - любой путь, предшествующий i – тому событию, т.е. путь от исходного до i- того события сети.

Если событие  j  имеет несколько предшествующих путей, а следовательно,  несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события  j удобно  находить по формуле:

.            (2)

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке завершающего события ( а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности ( длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути.

Поэтому поздний (или предельный) срок свершения i-того события равен

      (3)

Где  - любой путь, следующий за i- м событием, т.е. путь от i-того до завершающего события сети.

Если событие имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле

.          (4)

Резерв времени - того события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения

.

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события.

Из этого следует, что для того чтобы определить длину и топологию критического пути, вовсе не обязательно перебирать все полные пути сетевого графика и определять их длину. Определив ранний срок свершения завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, а выявив событие с нулевым резервом времени, определим его топологию.

Пример

Определить временные параметры событий и критический путь для сетевого графика.

Найденные параметры сведены в таблицу 1.

 Для i=0,

Для i=1

 суток, так как для события 1 существует только один предшествующий путь

Для i=2

суток, так как для события 2 существует только один предшествующий путь  и т.д.

Для i=3,

Аналогично

и т.д.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 11

сутки.

При определении поздних сроков свершения событий двигаемся по сети в обратном направлении, т.е. справа налево, и используем формулы (3), (4).

Ещё посмотрите лекцию "8. Введение в частную микробиологию" по этой теме.

Для i=11 сутки. (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку ( иначе изменится длина критического пути)

Для i=10  суток, так как для события 10 существует только один последующий путь  

Для i=9  суток, так как для события  существуют два последующих пути  и два последующих события 10 и 11

и т.д.

Резерв времени определяется как разность между поздним сроком свершения события и ранним сроком свершения данного события.

 и т.д.