Статическая детерминированная модель управления запасами с дефицитом
Лекция 9.
Статическая детерминированная модель управления запасами с дефицитом
В рассматриваемой модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при J(t) = 0 спрос сохраняется с той же интенсивностью 
, но потребление запаса отсутствует -
, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис. 3. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рис. 1. характеризует накопление дефицита.
Из рис. 1 видно, что каждый период "пилы" Т =
разбивается на два временных интервала, т. е. Т = 
, где 
- время, в течение которого производится потребление запаса, 
- время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии.
Рис. 1. Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен ее объему п, а меньше его на величину дефицита п - s, накопившегося за время Т2.
Из геометрических соображений легко установить, что
(1)
Рекомендуемые материалы
В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами С1 (на пополнение запаса) и С2(на хранение запаса) необходимо ввести затраты С3 — на штраф из-за дефицита, т.е.
Затраты С1, как и ранее, находим по формуле (9). Было показано, что затраты С2 при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т1 равен 
; поэтому с учетом (5) и (3) эти затраты составят
(2)
При расчете затрат С3 будем считать, что штраф за дефицит составляет в единицу времени с3 на каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период ; равен (п - s)
, то штраф за этот период Т2 составит 
, а за весь период 
(3)
Теперь, учитывая предыдущие соотношения, суммарные затраты равны
(4)
Нетрудно заметить, что при п = s формула совпадает с ранее полученной в модели без дефицита.
Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии п и максимального уровня запаса s, при которых функция С принимает минимальное значение. Другими словами, необходимо исследовать функцию двух переменных 
на экстремум. Приравнивая частные производные дС/дп, дС/дs к нулю, получим после преобразований систему уравнений:
(5)
Решая систему, получаем формулы наиболее объема партии 
и максимального уровня запаса 
для модели с дефицитом
Величина 
(6)
называется плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса и играет важную роль в управлении запасами. Заметим, что 
. Если значение с3 мало по сравнению с с2, то величина р близка к нулю: когда с3 значительно превосходит с2, то р близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что 
или 
= 1.
Используя основные формулы выражения можно записать компактнее:
Из сравнения формул следует, что оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением
откуда вытекает, что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (в 
раз), чем в задаче без дефицита.
Обратите внимание на лекцию "1.4. Неньютоновские жидкости".
Пример.
Найти наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, сохраняя условия предыдущей задачи, кроме недопустимости дефицита, если известно, что отсутствие на сборке каждой детали приносит в сутки убытки в размере 3,5 ден. ед.
Решение.
По условию с3 = 3,5. Ранее было получено по формуле 
4335 и 
= 13,2. Найдем плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса по формуле = 3,5/(0,35 + 3,5) = 0,909, т.е. 100(1-0,909) =9,1% времени мeжду поставками детали на сборке будут отсутствовать.
Теперь оптимальный размер партии по формуле = 4335/
= 4547. В силу пропорционального увеличения , должен увеличиться интервал между поставками, т.е.
дней.
