Задачи принятия решений в условиях риска и неопределенности

Лекция 1

ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Один из принципов классификации задач исследования операций связан с типом ин­формационного состояния лица, принимающего решения. В соответствии с этим принципом все задачи исследования опе­раций могут быть разбиты на три класса: детерминированные, стохастические и неопределенные.

Детерминированные задачи исследования операции возни­кают лишь при наличии всей необходимой информации. По­этому их также называют задачами принятия решений в условиях определенности.

Ограниченность или неточность информации приводит к одной из двух возможных ситуаций:

1) принятие решений в условиях риска (задачи принятия решений в условиях риска);

2) принятие решений в условиях неопределенности (задачи принятия решений в условиях неопределенности).

В первом случае степень неполноты исходной информации находит свое отражение в виде законов распределения случайных величин, входящих в стохастические модели принятия решений. Во втором случае априорная информация о законах распределения соответствующих случайных величин не известна.

Таким образом, по отношению к исходной информации определенность и неопределенность представляют собой два крайних случая, а риск определяет промежуточную ситуацию.

Рекомендуемые материалы

Задачи принятия решений в условиях определенности - это марковские задачи принятия решений.

В лекции мы ознакомимся с общими положениями теории принятия решений в условиях риска и неопределенности, т.е. в условия неполной информации. При этом мы не будем касаться задач принятия решений в условиях неопределенности, в которых „лицу, принимающему решения", противостоит мыслящий противник. Теория, в которой рассматриваются подобные задачи принятия решений, известна как теория игр.

Одноэтапные процедуры принятия решений в условиях риска

При анализе марковских моделей принятия решений в качестве принципа оптимальности, формально совпадаю­щего с критерием оптимальности, используется критерий максимальности ожидаемой прибыли. В общем случае в зада­чах принятия решений в условиях риска используют и другие принципы оптимальности, которые, как правило, базируются на следующих характеристиках:

1) ожидаемое значение доходов, расходов и т.п.;

2) комбинация ожидаемого значения и его дисперсии;

3) заданный предельный уровень ожидаемого значения;

4) наиболее вероятное событие в будущем.

Рассмотрим критерии, наиболее часто используемые при принятии решений в условиях риска, с тем чтобы для каждого из них определить области не только возможного, но и наиболее целе­сообразного применения.

Критерий ожидаемого значения. Использование этого критерия, обусловленное стремлением максимизировать ожи­даемую прибыль или минимизировать ожидаемые затраты, представляет собой естественный переход в задачах принятия решений от условий определенности к условиям риска. Коли­чественно критерий ожидаемого значения можно выразить в денежных единицах или в единицах полезности денег.

Пример 1. Предположим, что инвестиции в 20000 денежных единиц с равными вероятностями дают либо нулевой доход, либо доход в 100000 денежных единиц. В этом случае ожидаемый доход составляет

100000 • 0,5 + 0 • 0,5 - 20000 = 30000

денежных единиц и на первый взгляд может показаться, что решение о вложении 20000 денежных единиц является опти­мальным. В действительности же подобное решение является приемлемым не для всех инвесторов.

Например, инвестор А может полагать, что из-за ограни­ченности наличных средств потеря 20000 денежных единиц может привести его к банкротству, и, возможно, предпочтет не вкладывать деньги при сложившихся обстоятельствах. Напро­тив, инвестор В, располагающий бездействующим капиталом, значительно превышающим необходимую наличность, может охотно пойти на риск.

Этот простой пример иллюстрирует значение отношения „лица, принимающего решения", к ценности или полезности денег. Данный фактор можно проиллюстрировать еще более наглядно, если вновь обратиться к инвестору А.

Предположим, что инвестор А не желает рисковать суммой более чем в 5 000 денежных единиц и у него есть две возможно­сти: 1) вложить 20000 и с равными вероятностями получить либо 100000, либо 0; 2) вложить 5000 и с вероятностью 0,5 получить либо 23 000, либо с той же вероятностью ничего не получить. Из этих условий следует, что инвестору ничего не остается, как выбрать второе решение, хотя ожидаемая в этом  случае прибыль составляет

23000 • 0,5 + 0 • 0,5 - 5000 = 6500, что много меньше, чем при выборе первого решения.

Рассмотренный пример показывает, что полезность денег не обязательно пропорциональна их количеству. Отметим так же, что понятие полезности сложно формализовать. На практи­ке влияние полезности денег может быть отражено введением дополнительных ограничении, отражающих поведение „лица принимающего решения". Эта ситуация встретилась в приме­ре в котором был введен максимальный уровень потерь приемлемый для инвестора А.

Итак, в общем случае нецелесообразно использовать ожи­даемое значение стоимостного выражения как единственный критерий. Экстремальное значение этого критерия может слу­жить лишь ориентиром, а окончательное решение может быть принято только с учетом всех существующих факторов, опре­деляющих отношение „лица, принимающего решения", к полез­ности денег.

Остановимся на формальном аспекте практического ис­пользования скалярного критерия типа „ожидаемое значение" в задачах принятия решений в условиях риска. Пусть - случайная выборка объема п из генеральной совокупности случайной величины , имеющей математическое ожидание т и дисперсию , т.е.   и . В этом случае выборочное среднее

                               (1)

обладает следующими числовыми характеристиками:

,  при . Таким обра­зом, использование критерия „ожидаемое значение" допустимо лишь тогда, когда одно и то же решение приходится прини­мать достаточно большое число раз (значение п велико). Тогда случайная величина начинает проявлять свойство устой­чивости, являющееся основным содержанием закона больших чисел, и для любого  существует предел

                           (2)

Критерий „ожидаемое значение — дисперсия".

При анализе критерия ожидаемого значения мы выяснили, что его использование в задачах принятия решений в условиях риска оправдано лишь для многократно повторяющихся ситуаций. Так как этот критерий является весьма удобным при решении практических задач, то попы­таемся адаптировать его для редко повторяющихся ситуаций.

Предположим, что величина дохода является случайной величиной с математическим ожиданием m и дисперсией . Введем функцию полезности дохода . Счи­тая, что скалярная функция является достаточно гладкой в некоторой окрестности точки, приближенно предста­вим функцию полезности дохода по формуле Тейлора:

.    (3)

Таким образом, ожидаемое значение функции полезности дохода определяется следующим приближенным равенством:

.                            (4)

Полученное соотношение указывает на то, что целесообразно учитывать не только ожидаемую прибыль, но и ее дисперсию.

Из-за сложности формализации понятия функции полезно­сти дохода в задачах принятия решений в условиях риска для редко повторяющихся ситуаций, как правило, используют не критерий ожидаемого значения функции полезности дохода, а критерий ожидаемое значение – дисперсия

.

где значение параметра К интерпретируют как уровень не­склонности к риску.

Так, например, если случайная величина представляет собой прибыль, инвестор, особенно остро реагирующий на воз­можные большие отклонения прибыли вниз от ее ожидаемого значения, может выбрать большое значение К. Это придаст больший вес дисперсии и приведет к решению, уменьшающему вероятность большой потери прибыли.

Критерии предельного уровня.

Рассмотрим ситуацию, когда на продажу выставлен подержанный автомобиль. Указав предлагаемую цену, продавец должен в разумно короткий срок решить, приемлема ли она для него. С этой целью он может установить цену, ниже которой автомобиль не может быть продан (предельный уровень), и согласиться с первым же предложением цены, превышающим этот уровень.

В рассмотренной одношаговой процедуре принятия реше­ний использован критерий, который называют критерием предельного уровня. Использование критерия предельного уровня при принятии решений в условиях риска в общем случае не приводит к нахождению оптимального решения, например, максимизирующего прибыль или минимизирующего затраты. Скорее, он соответствует определению приемлемого способа действий. Действительно, если вернуться к ситуации с прода­жей подержанного автомобиля, то можно заметить, что одно из последующих предложений может оказаться более выгодным, чем первое предложение цены, превышающее предельный уро­вень.

Одним из преимуществ критерия предельного уровня явля­ется то, что его практическое использование не предполагает обязательного знания законов распределения соответствующих случайных величин. Однако знание этих законов позволяет не только избежать трудностей, связанных с формализацией раз­личных понятий, но и более обоснованно назначать предельный уровень.

Критерий наиболее вероятного исхода.

В основе этого критерия лежит преобразование случайной ситуации к детер­минированной путем замены случайной величины ее единствен­но возможным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации.

Пример 5. Если доход С от некоторого изделия пред­ставляет собой дискретную случайную величину с мно­жеством возможных значений то величина такая. Что

может рассматриваться как детерминированное значение дох да от этого изделия.

Люди также интересуются этой лекцией: 8 Ливонская война.

Критерий наиболее вероятного исхода можно рассматривать как упрощенный вариант некоторого более сложного критерия для принятия решений в условиях риска. Но это упрощение не связано с чисто аналитическими соображениями, а обу­словлено прежде всего тем, что с практической точки зрения знание наиболее вероятного исхода обеспечивает потребность деформации для принятия решений.

При использовании критерия наиболее вероятного исхода для принятия решений в условиях риска необходимо помнить о том, что, как и другие рассмотренные критерии, он не является универсальным. Чтобы понять это, достаточно представить две элементарные ситуации:

1)  - дискретная случайная величина, принимающая значения , общее количество п которых велико, причем

2) наибольшую вероятность реализации имеют несколько возможных значений дискретной случайной величины.

В обоих случаях критерий наиболее вероятного исхода явно не годится для принятия обоснованного решения.