Формула Коши
§12. Формула Коши.
Пусть функция f (z) является аналитической в односвязной области G, а z0 – произвольная внутренняя точка этой области. Построим замкнутый контур Г и содержащий эту точку. Рассмотрим вспомогательную функцию Эта функция регулярна во всех точках области D ограниченной контуром Г, за исключением т. z0. Проведем окружность γ с центром
в т. z0 радиуса ρ, целиком принадлежащую области D. Если оба контура ориентировать против часовой стрелки, то будет иметь место равенство: (§11 ). Так как левая часть равенства не зависит от ρ, то и правая от ρ не зависит. На контуре γ и интеграл в правой части будет равен:
Вам также может быть полезна лекция "3.2 Доосевые культуры Древнего Востока".
Подынтегральная функция в последнем интеграле стремится к нулю при , а сам интеграл от ρ не зависит. Отсюда сразу следует, что этот интеграл равен нулю (если предел постоянной – ноль , то постоянная равна нулю). Окончательно получаем:
− формула Коши
Формулу Коши можно написать для произвольной точки , не принадлежащей контуру Г:
(равенство нулю сразу следует из теоремы Коши (§11)).
Выражение, стоящее в левой части последней формулы, называют интегралом Коши.