Теория интегрирования Коши
§11. Теория интегрирования Коши.
Примеры предыдущего параграфа: а) показывают существенное отличие интегрирования в комплексной области от интегрирования в действительной и б) легко обобщаются.
Теорема Коши. Пусть − аналитическая функция в односвязной области D , а Г − любой кусочно – гладкий замкнутый контур, принадлежащий этой области. Тогда интеграл от функции f (z) по контуру Г равен нулю:
{Так как f − аналитическая функция, то ее действительная и мнимая части удовлетворяют условиям Коши – Римана: , , откуда сразу следует, что подынтегральные выражения и (§10) представляют собой полные дифференциалы (см. ФНП)
и, следовательно соответствующие криволинейные интегралы по замкнутому контуру (см. ТП) равны нулю (Пример 2.2 §10)}
Доказанная теорема легко обобщается на многосвязные области.
Теорема. Пусть функция f (z) – аналитическая в многосвязной области , ограниченной ориентированным контуром Г. В этом случае
{ Доказательство теоремы проведем для двусвязной области (Рис.2):
Рекомендуемые материалы
Область D ограничена контуром Г = Г1 + Г2 , ориентированным в положительном направлении. Соединим контуры Г1 и Г2 линией γ. Ориентируем γ двумя способами: γ+ и γ− . В результате получим односвязную область,
ограниченную контуром По теореме Коши
Так как получаем:
В общем случае
При этом, каждый из интегралов может быть и не равным нулю (пример № 2.1 §10)}
Обозначим буквой Г кусочно – гладкий замкнутый контур, ориентированный против часовой стрелки, а тот же контур, ориентированный по часовой стрелке − символом Г − (в этих обозначениях в последней теореме следовало бы писать и ).
Лекция "59 Практика культурной обособленности" также может быть Вам полезна.
Следствие. Пусть область D ограничена внешним контуром Г и внутренними контурами
Г1, … , Гn . В последних обозначениях, для аналитической на функции имеет место
равенство:
{В указанных обозначениях утверждение теоремы имеет вид: Отсюда:
}
Замечание. Из полученных результатов следует, что примеры §10 верны для любого кусочно – непрерывного замкнутого контура Г, содержащего точку z0 : и