Регулярные неполные планы

12.2. Регулярные неполные планы

По полному плану 2^p увеличение числа включаемых в эксперимент факторов связано с увеличением числа необходимых для выполнения опытов, что ведёт к росту требуемых для проведения эксперимента затрат. Например, эксперимент по плану 2⁶ требует выполнение 64 опытов. Однако если можно обоснованно допустить, что воздействия определённых многофакторных взаимодействий на отклик пренебрежимо малы, то оценка воздействий основных факторов и их двух- или трёхфакторных взаимодействий может быть сделана на основе результатов выполнения лишь части опытов эксперимента по полному факторному плану 2^p. Такие эксперименты выполняются по регулярным неполным или дробным факторным планам и широко используются в многофакторном экспериментировании.

Регулярные неполные двухуровневые планы применяются, в основном, для планирования экспериментов по изучению многих факторов с целью выявления активных. Как правило, такие эксперименты проводятся в начале исследования, когда вероятно, что многие из рассматриваемых факторов мало или совсем не влияют на отклик. Отобранные активные факторы затем исследуются более тщательно на основе результатов уже проведённого эксперимента по дробному плану или последующих экспериментов. Однако неактивные факторы могут тоже привлечь внимание с целью изучения устойчивости объекта исследования к их воздействиям.

Уменьшение избыточности опытов, экономность и простота

Результаты выполненного по полному плану эксперимента позволяют найти раздельные и некоррелированные результаты оценки воздействий всех факторов и их взаимодействий. Например, результаты 32 опытов эксперимента по плану 2⁵ позволяют оценить не только среднее значение переменных отклика, воздействия 5 факторов и 10 двухфакторных взаимодействий, но и воздействия 10 трёхфакторных взаимодействий, 5 четырёхфакторных взаимодействий и одного пятифакторного взаимодействия. Таким образом, по результатам 32 опытов можно оценить 32 параметра. Однако если результаты оценки найдены, и по ним можно сделать допущение, что воздействиями трёхфакторных и более высокого порядка взаимодействий можно пренебречь, то остаются результаты оценки среднего, воздействий 5 факторов и 10 двухфакторных взаимодействий. Таким образом, результаты эксперимента по плану с 32 опытами используются для оценки только 16 воздействий. Это указывает на избыточность опытов данного эксперимента. При том же числе факторов использование неполных планов позволяет уменьшить число проводимых опытов экспериментов и сделать оценку воздействий факторов и их низкого порядка взаимодействий, совмещённых с воздействиями высокого порядка, которые считаются пренебрежимо малыми.

Другое оправдание применения неполных факторных планов базируется на совместном использовании экономности и простоты. Ещё в древности Аристотель и Птолемей считали хорошим принципом объяснять определённый феномен простейшей из возможных гипотез. Средневековый философ Уильям из Оккама (William of Occam) сформулировал логический принцип, состоящий в том, что ненужно увеличивать свыше необходимого того, что требуется для объяснения чего-то. Этот принцип часто называют принципом экономности. Для экспериментов по неполным планам он выражается в стремлении использовать минимально необходимое число опытов для оценки воздействий факторов и их взаимодействий низкого порядка. По нему также из набора равноценных моделей для моделируемой зависимости следует выбирать простейшую.

Этот принцип можно использовать в качестве основы экономного формулирования законов физики в виде физического принципа простоты [Soklakov (2002)]. Создаваемые на основе данных экспериментов статистические модели являются формой представления действующих законов в изучаемой зависимости отклика от факторов. Поэтому с целью экономного и простого формулирования статистической модели на основе результатов эксперимента по неполному плану из всего набора возможных факторов отбираются только активные.

Половина полного плана и оценка совместных воздействий

Допустим, что в эксперименте с подшипниками из раздела 11.2 необходимо было изучить влияние четвёртого фактора х₄, представляющего тип смазки подшипников. Для проведения эксперимента с четырьмя факторами полный его план 2⁴ требует выполнения 16 опытов. Однако, если допустить совмещение воздействий фактора х₄ и взаимодействия х₁₂₃ факторов х₁, х₂ и х₃, то можно использовать половину исходного плана 2⁴/2=2^4–1, требующую выполнения только 8 опытов. План, в котором факторы х₁, х₂, х₃ и х₄ имеют ортогональные между собой векторы х₁, х₂, х₃ и х₄=х₁₂₃ их уровней, представлен в таблице 12.2.1.

Рекомендуемые материалы

Таблица 12.2.1. Одна вторая часть 2^4–1 полного факторного плана 2⁴

Анализ данных выполненного по такому плану эксперимента показал, что фактор х₄ не имеет большого влияния на отклик. Этот фактор является неактивным. В любом исследовании важно установить которые факторы имеют существенное влияние на рассматриваемый отклик, а которые нет. Существенные влияния могут проявляться через воздействия самих факторов или воздействия от их взаимодействий с другими факторами. Если изменить уровень любого фактора, то некоторые воздействия почти всегда обнаружатся в определённой области факторного пространства. Поэтому неактивность означает только то, что этот фактор является локально неактивным, то есть, только в пространстве уровней факторов проводимого эксперимента. Заметим также, что неактивный фактор по существу не обязательно то же, что статистически незначимый. Например, можно иметь статистически значимое воздействие фактора, не представляющего практический интерес.

Если использовать полный факторный план 2⁴ с четырьмя факторами х₁, х₂, х₃ и х₄, то с использованием построенной на его основе матрицы Адамара можно оценить 16 независимых параметров: среднее переменных отклика, четыре воздействия самих факторов, воздействия шести их двухфакторных взаимодействий, четырёх трёхфакторных взаимодействий и одного четырёхфакторного взаимодействия. Что можно оценить с использованием данных эксперимента, выполненного по половине 2^4–1 этого плана?

Неполный план в приведённом выше примере получен посредством использования уровней фактора х₁₂₃ для нового фактора х₄. Поэтому воздействие фактора х₄ на отклик нельзя отличить от воздействия фактора х₁₂₃ взаимодействия трёх факторов х₁, х₂ и х₃. Следовательно, на основе результатов эксперимента по плану 2^4–1 можно сделать оценку только совместного воздействия факторов х₄ и х₁₂₃. Эта оценка может быть сделана в виде (–у₁+у₂+у₃–у₄+у₅–у₆–у₇+у₈)/4, что является результатом оценки совместного воздействия факторов х₄ и х₁₂₃. Воздействия факторов х₄ и х₁₂₃ нельзя оценить по отдельности, так как для их оценки используется один контраст и эти воздействия называются совместными.

Это совмещение воздействий имеет последствия для всех оцениваемых воздействий. Из таблицы 12.2.1 видно, что вектор х₁ уровней фактора х₁ является результатом произведения х₂◦х₃◦х₄ =х₁. Это значит, что с использованием данных эксперимента по неполному плану 2^4–1 и контраста х₁^Ту оценивается совместное воздействие факторов х₁ и х₂₃₄ в виде (–у₁+у₂–у₃ +у₄–у₅+у₆–у₇+у₈)/4. Аналогично получается и для остальных факторов. Вектор х₂ уровней фактора х₂ является результатом произведения х₁◦х₃◦х₄=х₂, поэтому с использованием контраста х₂^Ту оценивается совместное воздействие факторов х₂ и х₁₃₄ в виде (–у₁–у₂+у₃ +у₄–у₅–у₆+у₇+у₈)/4. А для фактора х₃ вектор х₃ его уровней является результатом произведения х₁◦х₂◦х₄=х₃, поэтому с использованием контраста х₃^Ту получается результат (–у₁–у₂–у₃–у₄+у₅+у₆+у₇+у₈)/4 оценки совместного воздействия факторов х₃ и х₁₂₄.

Также получается и при оценке воздействий от взаимодействий факторов х₁, х₂ и х₃. Из таблицы 12.2.1 видно, что вектор х₁₂=х₁◦х₂ уровней фактора х₁₂ взаимодействия двух факторов х₁ и х₂ является результатом произведения х₃◦х₄=х₁◦х₂=х₁₂. Это значит, что с использованием контраста х₁₂^Ту получается результат (+у₁–у₂–у₃+у₄+у₅–у₆–у₇+у₈)/4 оценки совместного воздействия факторов х₁₂ и х₃₄. Аналогично для факторов х₁₃ и х₂₃ двухфакторных взаимодействий имеем х₁₃=х₂◦х₄ и х₂₃=х₁◦х₄. Следовательно, с использованием контрастов х₁₃^Ту и х₂₃^Ту получается результат (+у₁–у₂+у₃–у₄–у₅+у₆–у₇+у₈)/4 оценки совместного воздействия факторов х₁₃ и х₂₄, а также результат (+у₁+у₂–у₃–у₄–у₅–у₆ +у₇+у₈)/4 оценки совместного воздействия факторов х₂₃ и х₁₄.

Часто воздействия от взаимодействий между тремя или более факторами являются достаточно малыми, чтобы ими можно было пренебречь. Поэтому получаемые результаты оценки совместных воздействий являются приблизительными значениями результатов А, В, С и D оценки воздействий соответственно четырёх факторов х₁, х₂, х₃ и х₄.

Создание регулярного неполного плана и его разрешающая способность

Двухуровневый факторный план 2^4–1 был создан на основе полного плана 2³. Поэтому он называется регулярным неполным или дробным планом. В нём уровни трёх факторов х₁, х₂ и х₃ остались такими же, как и в плане 2³, но четвёртому фактору х₄ были присвоены уровни фактора х₁₂₃ трёхфакторного взаимодействия. Таким образом, вектор х₄ уровней фактора х₄ равен вектору х₁₂₃ уровней фактора х₁₂₃. Поэтому равенство х₄=х₁₂₃=х₁◦х₂◦х₃ называется генерирующим равенством создания плана 2^4–1 на основе плана 2³. Если найти произведение Адамара любого вектора уровней фактора на самого себя, то всегда получается вектор 1, то есть х₁◦х₁=1, х₂◦х₂=1, х₃◦х₃=1 и х₄◦х₄=1. Произведения Адамара обеих частей генерирующего равенства на х₄ дают равенство х₄◦х₄=х₁◦х₂◦х₃◦х₄, то есть 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄. Это выражение является более удобной формой генерирующего равенства. Проверкой по таблице 12.2.1 можно обнаружить, что произведение Адамара х₁◦х₂◦х₃◦х₄ векторов уровней факторов х₁, х₂, х₃ и х₄ плана 2^4–1 даёт вектор 1.

На основе генерирующего равенства 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄, называемого определяющим отношением, можно получить все структуры совместных воздействий. Например, произведения Адамара обеих частей определяющего отношения 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ на х₁ даёт х₁=х₁◦х₁◦х₂◦х₃◦х₄=1◦х₂◦х₃◦х₄=х₂◦х₃◦х₄. Поэтому воздействия фактора х₁ и фактора х₂₃₄ трёхфакторного взаимодействия являются совместными. Также для плана 2^4–1 воздействия факторов х₂ и х₁₃₄ совместные, так как произведения Адамара обеих частей определяющего отношения 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ на х₂ дают х₂=х₁◦х₂◦х₂◦х₃◦х₄=1◦х₁◦х₃◦х₄=х₁◦х₃◦х₄ и векторы уровней факторов х₂ и х₁₃₄ равны. Аналогично получается, что воздействия факторов х₄ и х₁₂₃ также являются совместными. Кроме этого, произведения Адамара обеих частей определяющего отношения 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ на х₁₂=х₁◦х₂ дают х₁◦х₂ =х₁◦х₁◦х₂◦х₂◦х₃◦х₄ =1◦1◦х₃◦х₄=х₃◦х₄=х₃₄ и векторы уровней факторов х₁₂ и х₃₄ равны. Отсюда воздействия этих факторов являются совместными. Таким же образом получается, что воздействия факторов х₂₄ и х₁₃, а также факторов х₁₄ и х₂₃ являются совместными.

Используемый здесь дробный план 2^4–1 имеет разрешающую способность IV. Данные эксперимента по этому плану позволяют оценить только совместные воздействия факторов с воздействиями трёхфакторных взаимодействий и совмещённые один с другим воздействия двухфакторных взаимодействий. Эти совмещения происходят потому, что определяющее отношение 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ для этого плана содержит в правой части четыре сомножителя, что и определяет его разрешающую способность. Поэтому, при использовании произведения Адамара обнаруживается, что все воздействия факторов совмещены с воздействиями трёхфакторных взаимодействий. Подобно этому каждое воздействие двухфакторного взаимодействия совмещается с другим воздействием двухфакторного взаимодействия. Разрешающая способность дробного факторного плана обозначается римской цифрой. Поэтому рассматриваемый план 2^4–1 включает подстрочный знак и записывается в виде 2_IV^4–1, а читается «план два в степени четыре минус один разрешающей способности IV». Для этого плана определяющее отношение 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ содержит в правой части четыре сомножителя. В общем, разрешающая способность половины любого полного плана равна числу сомножителей в правой части её определяющего отношения.

Если вместо вектора уровней фактора х₁₂₃ для фактора х₄ использовать вектор уровней фактора двухфакторного взаимодействия, скажем х₁₂, то получается равенство х₄=х₁₂=х₁◦х₂ с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₄. В этом случае имеем х₁=х₂◦х₄ и воздействие факторов х₁ и х₂₄ является совместным, х₂=х₁◦х₄ и получается совместное воздействие факторов х₂ и х₁₄, х₃=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ и имеем совместное воздействие факторов х₃ и х₁₂₃₄, х₄=х₁◦х₂ и получается совместное воздействие факторов х₄ и х₁₂, х₁◦х₃=х₂◦х₃◦х₄ и имеем совместное воздействие факторов х₁₃ и х₂₃₄, а для х₃◦х₄=х₁◦х₂◦х₃ получается совместное воздействие факторов х₁₂₃ и х₃₄. Для такого плана три воздействия факторов совмещены с воздействиями двухфакторных взаимодействий. Так как определяющее отношение 1=х₁◦х₂◦х₄ содержит в правой части три сомножителя, то этот план имеет разрешающую способность III, то есть это план 2_III^4–1. Но для получения наиболее желательных структур совместных воздействий обычно используют дробные планы наивысшей разрешающей способности, так как при этом воздействия факторов совместны с воздействиями взаимодействий высокого порядка. Однако из этого правила есть важные исключения.

Матрица коэффициентов совместных воздействий

Выше показано как структуры совместных воздействий определяются на основе определяющего отношения. Однако эти структуры могут быть найдены с использованием данной в разделе 8.2 матрицы совмещения. Эта матрица позволяет получить структуры совместных воздействий факторов и их взаимодействий на основе полного плана, используемого для создания дробного плана, с воздействиями других взаимодействий факторов дробного плана. Для эксперимента по плану из таблицы 12.2.1 рассмотрим структуры совместных воздействий факторов и их взаимодействий. Структуры совместных воздействий всех факторов и двухфакторных взаимодействий, полученных на основе полного плана 2³, с воздействиями остальных взаимодействий, полученных на основе дробного плана 2_IV^4–1, находятся с использованием строк матрицы совмещения.

Пусть Х₁ - матрица модели у=β₀+β₁х₁+β₂х₂+β₃х₃+β₄х₄+β₁₂х₁₂+β₁₃х₁₃+β₂₃х₂₃+ε эксперимента по плану из таблицы 12.2.1 с двухфакторными взаимодействиями полного факторного плана 2³, а Х₂ – матрица столбцов уровней двухфакторных взаимодействий х₁₄, х₂₄, х₃₄ с новым фактором х₄ и факторов х₁₂₃, х₁₂₄, х₁₃₄, х₂₃₄, х₁₂₃₄ взаимодействий трёх и четырёх факторов дробного плана 2_IV^4–1. В этом случае функцию модели эксперимента по плану 2_IV^4–1 с учётом всех факторов и их взаимодействий можно записать в виде

Е(у)=Х₁β₁+Х₂β₂,

где вектор параметров β₁^Т=[β₀, β₁, β₂, β₃, β₄, β₁₂, β₁₃, β₂₃] и вектор параметров β₂^Т=[β₁₄, β₂₄, β₃₄, β₁₂₃, β₁₂₄, β₁₃₄, β₂₃₄, β₁₂₃₄].

Если к данным эксперимента применим метода наименьших квадратов, то для его модели с матрицей Х₁ оценка этим методом вектора β₁ параметров делается по формуле b₁=(X₁^TX₁)^–1X₁^Ty. Математическое ожидание вектора b₁ оценки Е(b₁)= (X₁^TX₁)^–1X₁^TЕ(у). Подставляя в эту формулу функцию модели эксперимента по плану 2_IV^4–1, получаем

Е(b₁)= (X₁^TX₁)^–1X₁^T(Х₁β₁+Х₂β₂)=β₁+Аβ₂,

где А=(X₁^TX₁)^–1X₁^TХ₂ – матрица совмещения элементов векторов β₁ и β₂, являющихся воздействиями факторов и их взаимодействий. Эта матрица даёт коэффициенты совмещения элементов вектора β₂ с элементами вектора β₁. Для рассматриваемого эксперимента по плану 2_IV^4–1 результат вычисления элементов матрицы А показан в таблице 12.2.2.

Таблица 12.2.2. Матрица коэффициентов совмещения воздействий по плану 2_IV^4–1

По этой таблице получается, что воздействие β₂₃₄ трёхфакторного взаимодействия с коэффициентом +1 совмещено с воздействием β₁ первого фактора, то есть имеем β₁+β₂₃₄. Таким же образом по таблице получаем совместные воздействия β₂+β₁₃₄, β₃+β₁₂₄ и β₄+β₁₂₃. Кроме этого по ней получается также, что воздействие β₁₂₃₄ взаимодействия четырёх факторов совмещено со средним β₀ переменных отклика. Данная таблица позволяет установить совместные воздействия и для двухфакторных взаимодействий. По ней получаются совместные воздействия β₁₂+β₃₄, β₁₃+β₂₄ и β₂₃+β₁₄.

Упражнение. Найдите матрицу коэффициентов совместных воздействий по плану 2_III^4–1 при х₄=х₁₂=х₁◦х₂ и сравните получаемые на её основе структуры совместных воздействий с полученными выше по генерирующему равенству.

Проективность дробных планов

Рассмотрим следующий дробный план из четырёх опытов с факторами х₁, х₂ и х₃:

Этот дробный план 2^3–1 получен на основе полного плана 2², у которого уровни х₁₂ двухфакторного взаимодействия используются для нового фактора х₃. План 2^3–1 имеет разрешающую способность III. Для него генерирующим равенством является х₃=х₁◦х₂ и 1=х₁◦х₂◦х₃ - определяющее отношение. Если из плана 2_III^3–1 исключить любой один фактор, то для оставшихся двух факторов получится полный факторный план 2². На Рис.12.2.1 это представлено графически. Можно сказать, что план в трёх измерениях (3D) проецируется в факторные планы 2² всех трёх подпространств двух измерений. Поэтому получается, что трёхмерный план 2_III^3–1 проективности Р=2. Таким же образом план 2^4–1 из примера с подшипниками является планом проективности Р=3, так как, исключая фактор х₄, получается факторный план 2³ с факторами х₁, х₂ и х₃. А если исключить любой один из четырёх факторов х₁, х₂, х₃ и х₄, то получается полный факторный план 2³ с оставшимися тремя факторами.

Рис.12.2.1. Проекции плана 2_III^3–1 в три полных факторных плана 2².

В общем, для дробных факторных планов их проективность Р на единицу меньше их разрешающей способности R, то есть каждое подмножество Р=R–1 факторов дробного плана даёт полный факторный план (возможно с повторением опытов) с Р факторами. Следовательно, если в результате постановки эксперимента по дробному плану некоторое подмножество из Р или меньшего числа факторов найдены активными, то, какими бы они не были, для этих факторов можно сформировать полный факторный план и для его анализа использовать значения переменных отклика проведённого эксперимента по дробному плану. Это сделано в разделе 11.3, где на основе плана 2^5–1 был сформирован план 2⁴. То, что дробный факторный план разрешающей способности R имеет проективность Р=R–1, используется часто в дальнейшем.