Степенные ряды

Степенные ряды.

Степенные ряды  - это частный случай функциональных рядов, в котором члены ряда представляют собой степени отклонения переменной  от некоторой фиксированной точки плоскости  (центра сходимости ряда). Степенные ряды действительной переменной  сходятся в интервале , где - радиус сходимости ряда. Точно так же степенной ряд комплексной переменной сходится на множестве , только в комплексных числах это множество представляет собой круг без границы. Сходимость ряда на границе исследуется отдельно.

Теорема Абеля. Если степенной ряд  сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге . Если степенной ряд  расходится в точке , то он расходится во внешности  круга .

Доказательство (аналогично случаю действительной переменной).

1) Пусть ряд  сходится в точке и .

Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда .

Тогда .

Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. Оценим общий член ряда из модулей.

Рекомендуемые материалы

.

Ряд из модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ). Следовательно, исходный ряд в области  сходится абсолютно.

Замечание. Казалось бы, что из признака Вейерштрасса в области  следует равномерная сходимость исходного ряда, но здесь , а в признаке Вейерштрасса требуется указать один мажорирующий ряд для всех точек рассматриваемой области, то есть не должно зависеть от . Поэтому равномерную сходимость ряда в области  утверждать нельзя. Однако если взять  ( не зависит от ), то в области  степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса.

2) Пусть ряд расходится в точке  и .

Если ряд сходится в точке , то по доказанному в пункте 1), он должен абсолютно сходиться в точке , следовательно, сходиться в точке . Это противоречит тому, что исходный ряд расходится в точке , следовательно исходный ряд расходится в области .

Определение радиуса сходимости и исследование сходимости ряда на границе круга сходимости.

Рассмотрим монотонно убывающую последовательность , такую, что в точке степенной ряд расходится. Если выбрать , то степенной ряд будет сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. То есть .

Такое число  называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно, степенной ряд абсолютно сходится в круге  сходимости степенного ряда.

Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.

Доказательство. Пусть . Выберем , например . На окружности  степенной ряд сходится абсолютно, так как эта окружность лежит внутри круга сходимости. Тогда  ( не зависит от ), тогда в области  степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса (замечание в доказательстве теоремы Абеля).

Следствие. Внутри круга сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании (по любой кусочно-гладкой дуге, принадлежащей кругу сходимости) и дифференцировании ряда.

Теорема. При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.

Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости по признаку Даламбера.

.

Продифференцируем почленно степенной ряд , перейдем к ряду из модулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.

.

Таким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.

Исследуем сходимость степенного ряда на границе круга сходимости.

Рассмотрим  ряд из модулей на границе круга сходимости .

1) Если ряд из модулей на границе круга сходимости сходится, то исходный степенной ряд абсолютно сходится на всей границе.

Вместе с этой лекцией читают "3 Зарождение политических партий".

В самом деле этот ряд является мажорантным для степенного ряда в любой точке границы.

2) Если , то исходный степенной ряд расходится на всей границе.

В этом случае , и не выполняется необходимый признак сходимости для исходного степенного ряда на всей границе круга сходимости. Поэтому исходный степенной ряд расходится на всей границе.

3) Если  ряд из модулей на границе круга сходимости расходится, но , то исходный степенной ряд сходится в одних точках границе и расходится в других. В этом случае для того, чтобы исследовать сходимость в точке границы, надо подставить ее в качестве  в степенной ряд и исследовать сходимость полученного числового ряда.

Приведенные выше примеры 3, 4, 5 (после критерия Коши): ряд , ряд , ряд  иллюстрируют все три случая. Первый ряд расходится на всей границе , так как на ней не выполняется необходимый признак сходимости ряда. Второй ряд сходится на всей границе, третий ряд сходится в одних точках границы и расходится в других.

Теорема. Сумма степенного ряда является аналитической функцией в его круге сходимости  (без доказательства).