Закон больших чисел
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
В теории вероятностей законы больших чисел выражают закономерности во множествах очень большого числа случайных величин, происходящие с вероятностью, сколь угодно близкой к единице. Математически в достаточно общей форме закон больших чисел можно выразить следующим образом. Пусть, например, произвольная последовательность случайных величин 
, на множестве которых определены некоторые симметричные относительно своих аргументов функции 
, сами являющиеся случайными величинами. Если существует последовательность постоянных 
такая, что при любом 
удовлетворяется предел
,
то говорят, что последовательность 
подчиняется закону больших чисел. На практике обычно вместо 
рассматривают среднее арифметическое из случайных величин 
, а вместо 
берут среднее арифметическое из математических ожиданий этих случайных величин.
В 1866г. Чебышев доказал весьма полезное неравенство, с помощью которого удалось как ему, так и ряду других авторов доказать полезные теоремы, касающиеся закона больших чисел.
Неравенство Чебышева. Если случайная величина 
имеет конечную дисперсию 
, то при любом удовлетворяется неравенство
.
В самом деле, по определению вероятности:
.
Рекомендуемые материалы
Если учесть, что
и 
, то
.
Закон больших чисел в форме Чебышева: Если 
- последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых удовлетворяют ограничениям 
, то при любом имеет место предел
.
Доказательство. Поскольку 
попарно независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий и, следовательно:
.
Согласно неравенству Чебышева
, где положено 
;
отсюда получаем
.
Обратите внимание на лекцию "13. Подходы к автоматизации управления предприятием".
Учитывая, что 
, приходим к требуемому результату.
Из теоремы Чебышева, в частности, следует следующее
Утверждение: Если у членов последовательности попарно независимых случайных величин дисперсии ограничены одним и тем же числом , а математические ожидания одинаковы 
, то при любом
.
Это утверждение обосновывает широко используемый на практике выбор эмпирического математического ожидания в виде
.
